全国乙卷文科数学试卷含解析

普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目标答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求。1.已知全集，集合，，则()A. B. C. D.2.设，则()A. B. C. D.3.已知命题，，命题，，则以下命题中为真命题是()A. B. C. D.4.函数最小正周期和最大值分别是()A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和25.若x，y满足约束条件则最小值为()A.18 B.10 C.6 D.46.()A. B. C. D.7.在区间随机取1个数，则取到数小于概率为()A. B. C. D.8.以下函数中最小值为4是()A. B. C. D.9.设函数，则以下函数中为奇函数是()A. B. C. D.10.在正方体中，P为中点，则直线PB与所成角为()A. B. C. D.11.设B是椭圆上顶点，点P在C上，则最大值为()A. B. C. D.212.设，若为函数极大值点，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，若，则__________.14.双曲线右焦点到直线距离为___________.15.记内角A，B，C对边分别为a，b，c，面积为，，，则______________.16.以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥三视图，则所选侧视图和俯视图编号依次为___________（写出符合要求一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生依照要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某厂研制了一个生产高精产品设备，为检验新设备生产产品某项指标有没有提升，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据以下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品该项指标样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品该项指标均值较旧设备是否有显著提升（假如，则认为新设备生产产品该项指标均值较旧设备有显著提升，不然不认为有显著提升）.18.（12分）如图，四棱锥底面是矩形，底面ABCD，M为BC中点，且.（1）证实：平面平面PBD；（2）若，求四棱锥体积.19.（12分）设是首项为1等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.（1）求和通项公式；（2）记和分别为和前n项和.证实：.20.（12分）已知抛物线焦点F到准线距离为2.（1）求C方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率最大值.21.（12分）已知函数.（1）讨论单调性；（2）求曲线过坐标原点切线与曲线公共点坐标.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，圆心为，半径为1.（1）写出一个参数方程；（2）过点作两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）当初，求不等式解集；（2）若，求a取值范围.9

普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学参考答案1.答案：A解析：本题考查集合并集和补集计算.由集合，，得，而，所以.2.答案：C解析：本题考查复数计算.由，得.3.答案：A解析：本题考查惯用逻辑用语应用.由当初，，知p是真命题；由当初，，得，知q也是真命题，所以，是假命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是真命题，是假命题.4.答案：C解析：本题考查三角函数化简与性质.由三角函数，得其最小正周期为，最大值为.5.答案：C解析：本题考查线性规划应用.作出不等式组所表示可行域（图略），能够看出该可行域是由三点，，围成三角形（包含边界），显然，当经过点时，z取最小值，故.6.答案：D解析：本题考查三角恒等变换应用..7.答案：B解析：本题考查几何概型计算.利用几何概型计算公式，可得.8.答案：C解析：本题考查复合函数最小值.A项，；B项，由，令函数，，则函数在内为减函数，所以；C项，由，令函数，，则函数在内单调递减，在内单调递增，故当，即时取得最小值，所以，当且仅当初等号成立；D项，由，得且，当初，，此时，故函数最小值不可能为4.综上可知C项正确.9.答案：B解析：本题考查函数性质.由，得，，所以，显然不是奇函数；是奇函数；显然不是奇函数；，显然不是奇函数.10.答案：D解析：本题考查立体几何中线面关系及解三角形应用.如图，记正方体棱长为a，则，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成角，所以直线PB与所成角为.11.答案：A解析：本题考查椭圆性质、两点间距离公式、复合函数最值、极坐标系.由椭圆C方程：得其上顶点，.由，所以当初，.12.答案：D解析：本题考查函数性质、导数计算与应用.（穿针引线法）当初，若a为极大值点，则如图1，必定有，，可知B项和C项错误；当初，若a为极大值点，则如图2，则有，，可知A项错误，总而言之，可知D项正确.13.答案：解析：本题考查平面向量计算.由得，解得.14.答案：解析：本题考查双曲线性质、点到直线距离.由双曲线方程，得其右焦点为，所以点到直线距离为.15.答案：解析：本题考查解三角形应用.由三角形面积公式得，解得.又，由余弦定理得，所以.16.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥直观图如图1，平面平面ABC，，，，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥直观图如图2，平面ABC，，，，此时俯视图为④.17.答案：（1）由题中数据，可得，，，.（2），，所以，则新设备生产产品该项指标均值较旧设备有显著提升.18.答案：（1）因为底面ABCD，底面ABCD，所以.又因为，，PB，平面PBD，所以平面PBD.因为平面PAM，所以平面平面PBD.（2）由底面ABCD，所以PD即为四棱锥高，是直角三角形.由题可知底面ABCD是矩形，，M为BC中点，且.设，取CD中点为E，CP中点为F，连接MF，AF，EF，AE，可得，，那么，为直角三角形，且，，，.因为是直角三角形，所以依照勾股定理得，则.由是直角三角形，可得，解得，所以底面ABCD面积，则四棱锥体积.19.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.因为是首项为1等比数列，设其公比为q，则，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.，①所以，②①-②，得，所以，所以，所以.20.答案：（1）由题意知，所以.（2）由（1）知，抛物线，.设点Q坐标为，则，，所以点P坐标为，将点P代入C得，整理得，所以，当且仅当初取最大值，所以直线OQ斜率最大值为.21.答案：（1）由题知，.①当，即时，因为图象是开口向上抛物线，故此时，则在R上单调递增；②当，即时，令，解得，.令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当初，在R上单调递增；当初，在，上单调递增，在上单调递减.（2）设曲线过坐标原点切线为l，切点为，，则切线方程为，将原点代入切线方程，得，所以，解得，所以切线方程为，令，即，所以，解得或，所以曲线过坐标原点切线与曲线公共点坐标为