人教版高数选修2-2第8讲数学归纳法(学生版)

033322数学归纳法0333221、数纳法的原理及应2、数学归纳法的思想实质及在纳推理中发现具体问题的递推关一数归法数学归纳法是证明关于正整数n命题的一种方高等数学中有着重要的用途而成为高考的热点之一。近几年的高试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加了对于不完全归纳法应用的考查，要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初形成“观察—－归纳—－猜想—－明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数有命题，可按下列步骤进行：（1（归纳奠基）证明当n第一个值n时题立（2推假设（）命题成立，证明当

时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断命题对从叫做数学归纳法。

开始的所有正整数n成立。上述证明方法数学归纳法是推理逻辑，它的第步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证即只要命题对某个正整数成立能证命对继整都立合在一起为完全归纳步，称为数学归纳法，这两步各司其，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，是证明命题是否具有传递性，如果有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等例1学归纳法证明1

＋2

＋3

＋…＋n

3

=

n＋1）题型二、用数学归纳法证明不等1

例2纳法证明

11…＞2n3（n＞1，

nN

题型三、用数学归纳法证明几何题例4有n

)圆每两个圆都交于两个圆都不相交于同一证个圆把平面分成

n

2

n2

个部分题型四、用数学归纳法证明整除题例4用归纳法证明

2n

nN

能被64整除题型五归纳想、证明例：否存在常数a，b使等式2

*n2nn21*23**n2nn21*23*对一切自然数n都成立证明你的结论。一、选择题111．用数学归纳法证明1＋＋＋时第一步应验证不等()23－11A．1＋<2211B．1＋＋＜22311C．1＋＋＜323111D．1＋＋＋＜32342．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…的项为)A．1

1－a＋＝∈N，a，n＝1时，所得1B．1＋a＋a

2C．1D．1＋a1113．设＋＋…＋那么于n＋1n2n1A.2n＋111C.＋2n＋12n＋2

1B.11D.－2n＋12n＋23

*nn**n2n*22n4．某个命题与自然数n关，n∈N，该命题成立，那么可推得时题也成立．现在已知当n时命题不成立，那么可推()*nn**n2n*22nA．n＝6时该题不成立B当＝6时该题成立C当＝4时该题不成立D．n＝4时该题成立5．用数学归纳法证明命题“当n奇数时x能整，在第二步的证明时，正确的证法()A．设n明n时题也成立B假设n是证＋1命题也成立C假设n是证命题也成立D．设n∈N明＋1命题也成立6．凸形有对，凸边形对角线的条数()ABC－1D7．用数学归纳法证明“对一切n∈N，都有>n－2”一题明过程中应验()A．n＝1命题成立B．n＝1＝2时命立C．n＝3时命立D．n，n＝2，n＝3命题成8．已知＋9自然数，得对任意∈N都能使m整则大的m值()A．30BCD．69．已知数的前项和，＝1过计算a、a，)nnn1234n2A.＋1)2B.＋1)2C.2－14

2222222n12*3＋a2222222*n12n2*22222222n12*3＋a2222222*n12n2*D.2n－110．于不等式n≤n∈N学生的证明过程如下：n＝1，1≤1＋1，等式成立．假n时，不等式立，即k＋k<k＋1则n＝k＋1时＝k＋3k＋2<＋3k＝＋1∴当＋1时，不等式成立，述证)A．程全都正确B．n＝1验证确C归纳假设不正确D．n到n＋1的不确二、填空题．学归纳法证明≥n∈N时一步的验证________．1111112．知数列，，，，，通过计算得S＝＝，S，由猜测1×2＋1)123S＝________.n13．任意n∈N

*,

4n22n

1

都能被14，则最小的自然＝________.14．数学归纳法证明命题1×4＋3×10＋.n＝________，左边＝____________边＝；n＝k时0等式左边共________________，第是_________________．设时题，_成n时题的形式_；，左边增加的项_．三、解答题15．证1－2＋3－4＋＝1111n16．证：＋…＋．242217．平面内有直线，其中两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．n＋n求证：这条直它们所在的面分成个域．218水高二检比与n的∈N并数纳法证明你的结论．5

nn*2nn21*23**nn*]题目可获取以下主要息：nn*2nn21*23**nn*①此题选用特殊值来找到2

与

2

的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结．解答本题的关键是先利用特殊值想．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基巩一、选择题111．用数学归纳法证明1＋＋＋23－1

，第一步应验证不等()1A．1＋<2211C．1＋＋＜323

11B．1＋23111D．1＋＋＜32342．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…的项为)

1－a＋＝∈N1

，a，证n＝1时左边得A．1

B．1＋a＋a

2C．1

D．1＋a＋a＋a1113．设＋＋…＋那么于n＋1n2nA．

12n＋1

1B2n11C＋2n＋12n＋2

11D2n2n＋24．某个命题与自然数n关，n∈N

，题成立，那么可推得n时命也成立．现在已知当n时命题不成立，那么可推()A．n＝6时该题不成立C当＝4时该题不成立

B当时命题成立D当时命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n奇数时x能整，在第二步的证明时，正确的证法()A．设n

命立，证明n时题也成立B假设n是命立，证明命题也成立C假设n是命立，证明命题也成立6

n**4222242222D．设n∈N题立，证明命题也成立n**42222422226．凸形有对，凸边形对角线的条数()A＋1C－1

BD－2二、填空题7．用数学归纳法证n＝2n∈N，n到＋1左边需增乘的代数式()A＋1＋1C＋1

B＋1)＋3D＋11111238．已知数列，，，…，，通过计算得S＝＝，此可猜测1×2n＋11223S＝________.n11111119．用数学归纳法证明：1－…＋－＝＋＋，步应验证的2342n－12nn＋12n等式_．三、解答题10．列满S∈Nnnn算a、a，猜想a的公式；123n数学归纳法证(猜．能提一、选择题n＋n数纳法证明＋3…＝当n＋1时左端应在n的上加上2(A．k

B＋1)C

＋1＋2

2

D12．凸k边内角和为凸＋1边形的内角和＋________.()A．2πBπ7

333*33333244577n12**,4n333*33333244577n12**,4n22n12n2*C2

πD313．数学归纳法证明n∈N9整除要利用归纳假设证＋1的情况，只需展()AC＋1)

B＋2)D14．察下列各式：已知a＋b＝1，a

2

＋b

，a

3

＋b

3

＝4，a

＋b

＝7，a

＋b

5

＝11，则归纳猜测＋b＝