高考数学最后20组常考压轴题

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高考数学20组常考压轴题

1.二次函数

1,对于函数/(X)=G，+("1K+，-2(g0)，若存在实数与，使/(%)=%成立，则称“为/(X)

的不动点.

(1)当“=26=-2时，求/■(•<)的不动点；

(2)若对于任何实数万，函数恒有两个相异的不动点,求实数。的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若."/(”的图象上48两点的横坐标是函数/(x)的不动点，且

直线*㈠罚是线段.归的垂直平分线,求实数的取值范围.

分析：本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力.

函数与方程思想

解,/(A)=ax2+(b+l)x+b-2("。)

(1)当4=2,6=-2时，f(x)=2x2-x-4

设x为其不动点，即2f…4“,贝512f.21=0.所以玉=-也=2,即/仕)的不动点是

-1,2

(2)由/(刈=-丫得/+法+方-？”

由已知，此方程有相异二实根，所以~=〃-4“(6-2)>0,即〃_4而+瓯>0对任意匕“恒

成立.

二.“<0,「.16“2-32a<0:.0<a<2

t,

1

(3)设2g，为),直线1~十五市是线段.您的垂直平分线.

记松的中点,3),由⑵知％=$."(x)=x=#+法+-2=。"+马—

.［_!_

•••A/在尸、+，2+］上,"~2^=2^+2a2+\

,+_______!_>1&

化简得：°2产°，当。2时，等号成立.

b>-—,:.be

即4

f(X+x?)</6)+/&)

例2已知函数/(x)="+4x-2,若对任意占产eR且寸七，都有I2J2

(I)求实数“的取值范围；

(n)对于给定的实数a,有一个最小的负数A'3),使得xe[A/("。]时，山〃木4

都成立，则当"为何值时，“㈤最小，并求出“⑷的最小值.

A一+♦)/($)+/(.)=/$+.丫].+.)|c冬2+如+。+/2+如+。

解：([)..・2_"1亍1-2

=-?x「xJ<0

实数”的取值范围为(°收)•

(D)Jx)3+4x-2HT-2-i,显然/(。)=一2,对称轴“J<°。

(1)当"TJ,即0<“<2时，八］⑷七，。)，且小《叫=7.

一士-〃

2x=«-----2----------

令/+4*-2=~4,解得a,

一)=-2+,4_2a二-2^/\__2

此时"(a)取较大的根，即《~y/4-2a+2f\'0<a<2，:.5/4-2aS.

4/\2

(2)当HL"4,即““时，”卜工，且小/(MX.

一

2±j4+x6=a--------------

令ax2+4x-2=4，解得,a此时"(a)取较小的根，即

-6

a>/4+6^+2

A/(a)=.—>-3

•••^2,。+6吁2.当且仅当"2时，取等号.

，3<-1,告=2时,"(a)取得最小值.3.

2复合函数

1.已知函数/(')满足其中“。，且"1。

(1)对于函数/(、)，当xw(TJ)时，/(~)+/(1")<0,求实数m的取值范围；

(2)当xe(f.2)时，/(力-4的取值范围恰为(7.0),求“的取值范围。

解：/(咋#=号(*7.>0且.川

设，=啕、，则、="..，〃，)=号/")=号(/-「)

_^_<0

当ae(0,I)时，/-I在其定义域上T

--->0

当aw(L-)时，a2-\，球T,「J.•・夕=/3在其定义域上T

A丫。>0且,都有八/«)为其定义域上的增函数

„=-T—(«'J-a')--/(x)〃讣"皿

又：。T为奇函数

(1)\-当xw(-l,l)时,/(I-w)+/(I-m2)<0•/(I-w)<-/(I-w2)=f{nr-1)

-1<1-w<1

•-1<m2-1<I=1vm<41

.1—m<m2-1

(2)当2)时，-.­万(2=/@)-4在10,2)上个,且值域为(f0)「.?⑵=/⑵-4=0

a.］、“adl-1.

—_;(a2r)=4——-=4r-

a2-1a2ci-1a2cr+1«4a/,a=2±"3

=2_1(/A=4-3X

例2.函数〃X)是・记=-0''的反函数，g(x)的图象与函数一二h的图象关于

直线尸XT成轴对称图形，记/设)=/3+g(x)。

(1)求网外的解析式及其定义域X2)试问仪6的图象上是否存在两个不同的点A、

B,使直线AB怡好与「轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。

.>・=------110,+1=—^―W—―x=1g-；-=~—(-)<x<l)

解：(1)’10J+1『+11+丁1+儿:I+.Y

4-3》

••・g⑺的图象与‘二F■的图象关于直线，7T成轴对称图形

_4-3x3-2x

鼠*+1的图象与‘=嗔的图象关于直线尸.'对称

3-Zt

即：Ex〉+I是'=TT的反函数-9->-3-2A

r=>+3,、-X+3,、1

G+2JX7+3A齐2...^>+，=771...

尸(刈=〃X)+g(x)<=lg+—^-(-1<X<1)

(2)假设在的图象上存在不同的两点A、B使得/。轴，即文”使得方程

l-.r1

'=’有两不等实根

,=I二，_[+.2

设1+x-1,则，在(-1,1)上[且，>。

1-<1r+1，+1

/.a由，文门使得方程口+而”有两不等正根

糖’…k(°T)+不

设“，2),)=(1)+备

由函数图象可知：次04，方程亚京仅有唯一正根••.不存在点A、B符合题

=e*g(x)=%、］

3.设“eA且u*。，，为自然对数的底数，函数f（X）

（1）求证：当4时，/（小鼠、）对一切非负实数X恒成立；

（2网于（0,1）内的任意常数a，是否存在与a有关的正常数％,使得小。“（"）

成立？如果存在，求出一个符合条件的％；否则说明理由.

分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知

识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归（转化）思想方法

解,（1）当双X0喙、受令=犷+f='"吁侬-少

­.<i^l,.v>O.-./r（J）20.n*x）fqO.+«）上单调递增

心)N皿0)=1=/(MSg(x)

/(*.)>g(*,)==.T：+-I<o

(2)2e(1),

Z（.r）=—xJ

需求一个与，使（1）成立，只要求出2/的最小值，满足心—

vf'（x）=».3--^而0.-Ina）

«上I

在(-Inax)上1..，(*J卜产+

__________3n'a+Mlna+l)-l<0在ae(O.l)..、,____

只需证明2内成立即可，

人飙。)=£ln'a+<X-lns+1)-1n，(u)=；(ln%)>0=双。)

为抻函数=到4)<到1)=0=3，|%+词-1nu+DTV。

•••（«*））-<°，故存在与a有关的正常数使（1）成立.

3.创新型函数

1.在R上定义运算®：?®g=T（p-c）（"8）+4"（bc为实常数）.记〃％）=/-勿，

A（X）=X~2b，/eR冷/（Z）=4（Z）®/（Z）.

(I)如果函数广(力在z，处有极值一§,试确定b、c的值；

(n)求曲线，=/(，)上斜率为C的切线与该曲线的公共点；

(m)记g⑺=1八寸(-"、钊的最大值为".若"“对任意的b、C恒成立，试示*的

最大值.

解.../(x)"(x)®/；卜)=-；(x'-3c)(x-%)+欣=-*+/+点+庆./，(#=*+2HV+C

4

(I)由‘⑴在"I处有极值F,可得

/<⑴=_]+勖+.0

卜⑴1丁一工4解得f…6Hl或伍H-l

若b=l.c=-l,则/(X)=4+Z「I=-(XT)Z0,此时/⑴没有极值;

若“-I.c=3,贝旷(*)=*-2*-+3=-(\-1)"+3).

当、变化时，仆”、广⑺的变化情况如下表：

X(-«o.-3)-3(T1)1。・48)

r(x)0+0-

极小值单调递增4

/W单调递减极大值X单调递减

-12

・•・当一是，山)有极大值々，故"T。=3即为所求.

(n)设曲线厂/⑺在一，处的切线的斜率为C,

AT2_2Ar.c，•才+2A,+C=C,即〃-物・0.解得'=°或'=〃<>

若…。，则"。)=乩，得切点为(°»),切线方程为yy+乩；

若“，则〃"，得切点为困"引，切线方程为广。+叫、

若_#+M+a+/w+Aox>-3/=0,解得玉=玉=0,$=36,

则此时切线y2+友与曲线门小)的公共点为(°&),绝皿)；

।.4

—V+*+cr+Ac=ex+ftc+-nx*_3bx:+46J»0

(2)若33,

解得…"J…此时切线与曲线'=/(")的公共点为任守‘"L

国，)

综合可知当“。时斜率为C的切线与曲线尸/⑺有且只有一个公共点(“°)当行。

斜率为C的切线与曲线>'=/(")有两个不同的公共点，分别为(°，)和(•他42或

(24口+叼6？)

(in)g(x)Tr("T-(i)'+〃+d

⑴当忖>|时，函数”八*)的对称轴一位于区间t矽卜，/⑸在卜川上的最值在两端

点处取得，故M应是和⑴中较大的f.

•2\f^g(l)+g(-l)=|-1+2&+c|+|-l-2A+c|>p^|>4即.”〉2

⑵当小曲.因蜘=八*)得对称轴x=b位于区间IT』之内

此时V=niax(g(-irg(l>g(6)}

由，'(1)-/'(-1)=46.例'(6)-八±1)=(而»iO

若-ISbSQWIf•⑴"(l)<f(b),.-.g(-l)Smax{g(-1Xg(/>))

M=max旷(-1)|.|八辅}2或(1八*1八年=尸

是工'工

若0SH1,则，"⑴SmaxfM-n/g}

，W=max{|/*(-b|.|rS)|}WlC+l八帅4|八-1)卜/囱)=:”+心！

十是2222

综上，对任意的b、C都有-2

8=0g(工)=Lx'+4=』

而当，2时，默I习在区间II上的最大值2

I

故”2人对任意的b,C恒成立的k的最大值为5.

x+—I

/（K）----j---Jj--住〉0

例2.设困数㈤叮佃勺+i，其中⑶表示不超过'的最大整数，如

|2|2.|1|=0.11.8]=1

（I）求/母的值；

（口）若在区间口）上存在X,使得/⑶”成立，求实数k的取值范围；

（in）求函数的值域

32

心=—二—』

解：（1）因为,呻7所以2中削,加刎12

①）因为2-3,所以如吁°.

则〃加如虬求导得小）+子）,当2X3时显然有—，

所以，川在区间—上递增即可得““）在区间E3）上的值域为69，

在区间⑪）上存在x,使得“工）"成立，所以"尾

（ni）由于公）的表达式关于x与：对称，且X>0,不妨设X>1.

当x=l时,±1,则'⑴T；当X>1时，设x=n+%nwN*,%a<L

「I]#y

则凶所以〃力〃一六

v»5^（J4X-g（x）I-0,

XIX'

g"）在[1,+OC）上是增函数,又"，"a<"T,

「Q”+…

/（«）■7-f-”‘y="”川,2）

当X2时，

当4a2）时，〃办（L故'a+6>时,/㈤的值域为IlUI2U...UInU...

〃+一—I.+.

u,—.b.------\-------------

设〃+1小+1)”+lgl)，则(，%”)■

n-2

"("+I)(M，2),.•.当n22时,a2=a3<a4c…<anv...

又bn单调递减,.•.b2>b3>...>bn>....-.[a2,b2)=121314...In

IlUl2U...UlnU...=IlUI2=[1,?)=K-

综上所述,/⑶的值域为共唯7)

例3.我们用丽3和分别表示实数叫』.….”中的最小者和最

大者.

(1)设/⑸=min{sin.v.8S.W,g(A：)=maxjsinA.wsx}A€(0.2^|函数八工)的值域为.4,函

数或0的值域为8,求^8；

(2)提出下面的问题：设外，%.....人为实数，"R，求函数

f{x>=«,r-xj+a.|x-x2++qx-x,

(.<!<,V：<••<X,€R)的最小值或最大值.为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则

先解决两个特例：求函数/(M"2+3-1-IX-】和*(.K)=X+I-4X-L+2X2的最值。

得出的结论是：【/(x)L"mm{〃-2'/(T)/(l)},且/⑴无最大值；

=2{g(TS(“g(2)},且E⑺无最小值.请选择两个学生得出的结论中的一个，

说明其成立的理由；

(3)试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明(如果结论

是分类的，请选择一种情况加以证明).

.r,V2]rV2.1ma「&何

解：(i)L2j,L2J,.-.L22J.

(2)若选择学生甲的结论，则说明如下，

-3x-6,KM-2

-.v-2.-2<xS-l

5x4-4.-1<1

3x4-6,x>1，于是/⑸在区间K-2］上是减函数，在卜ZT|上是减函数

在1-5上是增函数，在IL—上是增函数，所以函数小)的最小值是min{/(-2),/(T),/⑴}

且函数"刈没有最大值.

若选择学生乙的结论，则说明如下，

X-I.*4-1

、3》+1.-1<x<1

*"=-5x+9,l<x42

-KLr>2,于是鼠幻在区间KT上是增函数，在IT用上是增函数，

在IL2I上是减函数，在【2收)上是减函数.所以函数出〉的最大值是nW售(Fg0)^2)},

且函数?但没有最

小值.

(3)结论：

若4+%+…+/>0,则［/(ML11Hmin{/(xj〃xj./(*,)}；

若q+4++q>0,则L/(ML=max{/(.vlX/(.v,).)J.

若4+%++"-0则［/(ME・/(.：)},

1/(ML,・产nwxff(xx\•./(x,))

以第一个结论为例证明如下：

・・q+%++q>0,・当时，

/(.v)«Tq+也+•T狐灯+(<?内+a2x2+),是减函数，

当时/(刈=(6+",++"*芭)，是增函数

当“书.怎|时,函数公)的图像是以点(“(“),屈/(马》,,@“(内为端点的一系

列互相连接的折线所组成，

所以有l/(x)L.=min{/(.«,>/(.v,),•,/(*,)1

4.抽象函数

1.设f(x)是定义在R上的偶函数具图象关于直线x=l对称对任意XLx2日oj1

都有f(xl+x2)=f(xl)f(x2),fif(l)=a>0.

Q)求扃、心;(2)证明f(x)是周期函数；⑶记an=f(n+《),求呵

]XXX

解：Q)因为对xl,x2G[0J]，都有f(xl+x2)=f(xl*(x2),所以f(x)=〃G弓?日

0.XG[0,1]

£2111211111

又因为f(l)=f(2+2)=f(2)f(2)=[f(2)]2,f(2)=f(4+4)=f(7).f(4)=[f(4)]2

1>»,

又f(l)=a>0..f(2)=aYG)=a，

证明：(2)依题意设y=f(x)关于直线x=l对称，故f(x)=f(l+l-x),即f(x)=f(2-x),x

GR.

又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),xeR.-.f(-X)=f(2-x),xeR.

将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的

一个周期.

解：⑶由Q)知f(x)20,x£[0,1]

vf(2)=f(n-痴)=f(二+(n-l)为二f(五)・f((n-1)・G)

J.±±±i±±

=.....=f(2n).f(2n)«......f(2n)=[f(2/r)]=a”，「.f(2”)=a".

又.f(x)的一个周期是2

.•.f(2n+W)=f(当，因此an=a^,.*(皿=阳号3。

例2.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总有“+")=仆)/⑸，且当

x>0时，0<f(x)<l.

(1)判断f(x)的单调性;(2)设4T3川〃力⑻,

5=((x>>)|/(ax->+^)=l,aeR),若AuB为交集,试确定a的取值范围。

解(1底〃M+")=/(雨)/(")中，令K-卜n>0彳导=八°),因为=°,所以

在/(m+x)=/(/»)/5)中,令n--X

因为当0时，,所以当x〈。时r＞。・。＜/(一幻＜1

＞1＞U

而/㈤/(-x)-/(0)=1#所以/⑶=不荷

又当X=0时，/(。)=】＞。，所以，综上可知，对于任意,均有/(工)＞°。

设一COVX]＜孙＜400,贝卜)一勺＞60＜/氏一a)＜1

所以"必)=+(M-Xi)]:/(Xj)/(M-Xi)＜/(Xj)

所以“加在R上为减函数.

(2)由于由数y=f(x)在R上为减函数，所以D/8=〃产+舟＞阿

即有x'+V＜1,又/3r+0)=i=/(S，根据函数的单调性，有”-＞+森=。

由A-B=*所以直线3-＞+笈=。与圆面一十人＜】无公共点.因此有'，门,解得

5.导函数——不等式

1.已知函数/(x)=e'-h.xeR

(I)若…,试确定函数/⑶的单调区间；

(n)若人＞。，且对于任意、eR,〃博＞°恒成立，试确定实数人的取值范围；

(JU)设函数尸“,)=/(*)+/(t),求证：飞尸⑵…〃(")＞(r*+2)；("e\).

分析：本小题主要考杳函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用

导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考

查分析问题、解决问题的能力.

解：(I)由仁。得/(*)=c'y,所以八We'Y.

由小)＞。得6,故/'⑸的单调递增区间是。，+8),

由八*)＜。得,、•＜],故仆)的单调递减区间是BJ).

(n)由/卜巾=/(阳可知/"巾是偶函数.

于是/(即>。对任意、eR成立等价于/(，)>。对任意2。成立.由八x)=d"=。得

.v=InAr.

①当”(<M|时，八*)=e，Y>>AB0(x>0).此时〃*)在供+工)上单调递增.

故/@)“(。)=1>。,符合题意.

②当h(1.+6)时，ln*>0.当'•变化时八》/⑴的变化情况如下表：

X(O.hiA)Ink(In*.+8)

fM一0+

fM单调递减极小值单调递增

由此可得,在。+8)上,/(加*)=*-*In*.

依题意,*-*'"*><>,又*>1•lv*〈e.综合①,,实数人的取值范围是"<A<c.

(in),•^W=/(v)+/(-x)=e44-C,

,-.F(A;)F(X)=<+c'…+c'"''+2>c'"+2,

・•」・(】/(〃)""+2

t

"(2尸"c+

F(n)F(b)"•'»2

由此得，尸(1/(2)…尸(，讨=［尸(l)F(砌叭2A("T)］…［尸

故尸。)尸(2)…尸(”)>(/"+2.neN,

2.设/⑸4,对任意实数，，记"⑸"V,

(I)求函数+品⑸的单调区间；(n)求证：(i)当”。时,对任

意正实数，成立；

(ii)有且仅有一个正实数4,使得45)28飙)对于任意正实数，成立.

分析：本题主要考杳函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以

及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、化归(转化)思想方法

V.16

VB———4r.—

(【)解：’33.

由y'=a'-4=0,得'=12.因为当xe(y.-2)时，./>0,

当xe（-22）时，/＜0,当*e（2.+8）时,八0,

故所求函数的单调递增区间是（Y-2）,（2+8）,单调递减区间是（-2.2）.

（口）证明：（1）方法一：

/22

令/仃）=走）_&（幻=7_八+9（”＞0）则旗刈…」，

当，＞。时,由"（2=。，得,当+8）时,/r（x）＞o,

所以心）在3+吟内的最小值是M，；）=°.故当x＞0时，/（*）〃（，）对任意正实效成立.

方法二：

对任意固定的，＞。，令/“匹）」4，（，＞。），则叱洒」），

由〃（，）=0,得3『.当0＜，＜，时，"⑺＞0；当,〉时，/，'"）＜0,

所以当，什时，厢）取得最大值""".因此当＞。时，/用以，）对任意正实数，成

立.

（ii）方法一：

8

/⑵亍&⑵由（j）簿,&（2户&（2）对任意正实数,成立.

即存在正实数。=2,使得g，（2）2g。）对任意正实数,成立.

下面证明与的唯一性：

当产＞。，，=8时，〃、=¥产）=4%一与，

端-161、总

由（i）得，a＞"不，再取'7,得女G”3,

所以g.（—华吟/沁），即-2时，不满足gg》&«）对任意”。都成立.

故有且仅有一个正实数%=2,使得g-”云&«）对任意正实数，成立.

方法二:对任意4＞°,&（6气-与，

因为&‘沁）关于「的最大值是:,所以要使后小）与区（人）对任意正实数成立的充分必要

条件是：

.]6>1,

•~T3^,即(％-2收+4)WO,①

又因为%,不等式①成立的充分必要条件是％■,所以有且仅有一个正实数％一

使得g(%)Ng,A)对任意正实数，成立.

3.定义函数fn(x)=(l+x)rTLx>-2,neN*

Q)求证:fn(x)>nx;

(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)-f2(x)在区间[a,0]上

的值域为[ka,0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a,0],若不存在，

说明理由.

分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以

及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.分类讨论、数形结合思想方法

解:Q)证明:fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx,

令g(x)=(1+x)n-1-nx,则g'(x)=n[(l+x)n-l-l],

当x£(-2,0)时，9口)<0,当)(日0,+8)时，9仆)>0,

••・g(x)在x=0处取得极小值g(0)=0,同时g(x)是单峰函数,

则g(0)也是最小值..•.g(x)20,即fn(x)znx(当且仅当x=0时取等号).

注：亦可用数学归纳法证明.

(2)-.h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2.-.h'(x)=(l+x)2+x-2(l+x)=(1+x)(l

+3x)

1

令h<x)=0,得x=-l或x=-§,

1A.

.•.当x£「2,­1),h'(x)>0;当XGC1,"3)时，h,(x)<0;

当x£(-；,+⑹时，h'(x)>0.-__—

故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：

14

①当-_<a<0fl?t,h(x)最小值h(a)=ka/.k=(l+a)2>

39

4114-4

②当-,sav-1时h(x)最小值h(a)=h(-)=-=kak=/.

3332727a

14

-4k4c

99

414

③当a=-时h(x)最小值h(a)=a(l+a)2=kak=(l+a)2%,a=-时取等

号.

14

综上讨论可知k的最小值为,此时[a,0]=[-0].

2—一(J

例4.已知"火’在区间上川上是增函数。

(1)求实数“的值组成的集合A；

(2)设关于r的方程""V的两个非零实根为IX。试问：是否劫J,使得不等

式"/+""+"VW对吸，士川恒成立？若存在，求，”的取值范围；若不存在,请

说明理由.

分析：本题主要考杳函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等郸出知识，以

及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.函数方程思想、化归(转化)思想方

法

2x-o

解:(1)•••八幻"771(””)

、翼工'+2)-(2X-a)・2x2(x3-or-2)

...八力~~――正方一

=_4…-2)一

---八崎在一川上T/.fM，+2)：对W*S【TI1恒成立

即VxebI』，恒有/-ar-2Mo成立

=<0J.TSaSl

jgg(x)=x2-ax-2.・.[g(l)H_«r_lSO/./!=|-L1|

f(.2x-a1

(2)-930

.”"、8>o・•.K、4是方程x'-g-2•。的两不等实根，且M+.0=〃，卬:2=-2

•।七一七=J(N7*5=J。"+8e[2423]

••nr+/>//+!2.v,-.v,对U"£,l及，w[-Ll]恒^^

.・.切、向+133对6e。川恒成立

设/“)=〃/•/+(/»'-2),/€[-1.1]

...叱。对必士川恒成立

-m-220_[mS-1或znN2

1/Xl)=+幽-220160-2或用NI

/.三m6-，乙-2]=12.4<1满足

5.已知函数/(x)=ln("+础八0)・

(1)求函数的反函数尸/，(*)和“*的导函数/心).

(2)假设对。”吐口…))，不等式，，，-/J)+皿八初〈0成立，求实数，”的取值范围。

分析：本题主要考直反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础

知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.化归(转化)思想方法

解：(l)y=He'+㈤八/-ox=ln<-a)

.../*(*)=ln(e，.«)・.•y.ln(e"+a).・''"一豕+丁

(2),/▼”日立面).侬4砌，1旭-//)+卬_八刈)<。成立

|m-ln(cv-d)"<-ln-—=In-

・W+“)-*]<“)-ln(e-a)<ln(e"+a)-.v

设g(x)=ln(e，+0)+N/<x)=liXe,-a)+ln(e'+a)-xxe|ln(3</).ln(4«)|

.・,w[In(及nln(4<n]恒有g(A)<w</XA)成立

8(*-e*-a-e4+a+1•.・xe(ln(3a)dn(4a)].・e1e阳・4<i]

-^->io<:<1

/.Ove"

"一口te"+a

.*.g*(-t)>0,g(.t)在［ln(3a)Jn(4aH上T

.・.g(*).=g(in(4<r))<m

.J2

gPhK3a)-ln(5a)+ln(4a)<m'5“

,ea/

.・.MM在［侬加入网恒)］上T

.•.m<Mx)»=Mln(3a))rn<1nZa)♦In4a)-1nla)"

128

J.m的取值范围是（侬彳"则铲"

6设函数'⑸=（用…'且……）

（I）当x=6时，求（“J的展开式中二项式系数最大的项；

/（2。+/（2）

（口）对任意的实数X,证明—2—>八欢/'（•根小讷导函数）：

（DI）是否存在使得a"<""V<“+】）”恒成立?若存在，试证明你的结论并求出

a的值;若不存在,请说明理由.

C，r?L里

（I）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是‘

（n）证法—:因心M研用+（用

22/用（吟）=21+；J{1+加2（吟［

>2（］+；闻+力21+升（叫=2/3

证法二：

因〃狗+/(2)=(词+(叫2卡+丁«+：)$+/(I+;)

而"（力2（叫M叫

故只需对I”标口I3进行比较.

令小训，有m）=讨=?，由?=。，得g

因为当0<xU时，g（x）<。，*⑺单调递减；当l〈x<y时，葭》）>0,8（'）单调递增，

所以在31处《,）有极小值।

故当“>1时，*（*）>*⑴1，从而有Znx>l,亦即x>inx+l>ln*

故有HMM）画也所以/（2"+/（2）22/（x）,原不等式成立.

（m）对"y.¥,且"，>1

有仁口y+u（沙叫5）…+45）

=1+]++"*（小-1.）仕丫+...+矶'"I）…（附-4+1）仕]'+…+加（"7…

2,\m）ml\mJ

=2+U「]+…+U]-3-斗伍匕卜…+邛-斗小巴]

2!（m）k*\m人m）（m）m）\m）

<2+LJJ+..J

2!3!赳m\

<2+JL+Lj・+_^i,+_L^

2x13x2it（jt-l）m（m-l）

=24」]+|1-”+...+仁斗,.4」）

I2）｛23JU-1k）m）

,1.

=3——v3

m

>ogz3.4.…,m）-2<（1+口<3

又因L，故

2<[1+1]<32"v£[l+，）<3n

•••l鬲，从而有/k）成立，

即存在“=2,使得HJ恒成立.

6.函数在实际中的应用

gfd400-叫X40°j）-/吗>o49

所以■府尸式400-叫X400-S）即》>必函数~m400-加在（0,160）上为减函数.

49

同理，函数'=7+丽=在（160,400）上为增函数，设160<ml<m2<400,则

49,49、，、*400-叫X400-M）-%砥m.

4W>-m,-+400-m,）一（叫一叫）叫股式做一个/施一,%）

因为1600<ml<m2<400,所以4（*叫xgf）<4x240x240,9mlm2>9xl60

xl60

所以办吗（400一八）（400-f）<,

当竺3丝*坐也<o,.，+=_

所以一叫E皿。-2xiw-叫）即乂。:曲数,M如0-加在（160,400）上为增函

数.

所以当m=160即x=啦时取"="，函数y有最小值

所以弧&上存在一点，当“4而时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响

度最小.

7.函数与数列综合

1.已知函数小）与函数仃匹刁（”>。）的图像关于直线."♦、对称.

（1）试用含"的代数式表示函数八幻的解析式，并指出它的定义域；

（2）数列4中，4=1,当，*2时,….数列8J中,4=2,s.=4+4+4点

I”在函数小）的图像上，求“的值；

（3）在（2）的条件下，过点''作倾斜角为:的直线/,则/在y轴上的截距为

飘+1）（“心…）,求数列用的通项公式.

分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数

学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。

转化(化归)思想，

解：(1)由题可知：山)与函数“跖R(”>°)互为反函数，所以，

小)，|,go)

(2)因为点’在函数制的图像上，所以，("=1»)

(*)

在上式中令“I可得：'=丁，又因为：，$="=2,代入可解得：旧.所以

SR_a,.

小)Z+1,(*)式可化为：［一“•(”=1.23.)①

£

(3)直线/的方程为：尸”y(“3…),

在其中令行。，得加,又因为/在y轴上的截距为W+0,所以，

"=/叫结合①式可得:…：』+2②

由①可知:当自然数心2时，£=叫、”,s「=(〃-M,：+，，-i,

两式作差得："""’-("-必」+|.

结合②式得：("-3卜」+*,.=("-1卜”：+1("22"€.V)③

在③中，令”=2,结合4=1,可解得：%=团,

又因为：当"22时,…，所以,舍去，L'得%=2.

同上，在③中，依次令”=黯，=4,可解得：％=3,%=4.

猜想：a「"(”e,V).下用数学归纳法证明.

(1)〃=123时，由已知条件及上述求解过程知显然成立.

(2)假设""时命题成立，即入口H*e'323)，则由③式可得：(*-2h—=*“二+1

k'-左+1-.

把4=”代入上式并解方程得：％"="Kr""+

A-+1*(*-1)+1P-k+l

由于*23,所以「Frr-<，所以，/"b

符合题意，应舍去，故只有“八严*+|.

所以，时命题也成立.

综上可知：数列⑨的通项公式为="（"6V）

2、已知由数的七”㈤，点/心w,共、是函数外）图像上的两个点，且线段利

的中点，的横坐标为！.

⑴求证：点/的纵坐标是定值；

（2）若数列入的通项公式为"吧"""心而，求数列卜」的前m项的和;

⑶若“eV时，不等式又乂恒成立，求实数〃的取值范围.

解：⑴由题可知："'7'=2±\所以，

%=加户小小三7占总，飞

「