中考数学高频压轴题突破-二次函数与四边形

试卷第=page11页，共=sectionpages99页试卷第=page88页，共=sectionpages99页中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图，直线交x轴于点，交y轴于点，已知抛物线经过点B，C，交x轴于另一点A．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是第一象限内抛物线上一点，Q是直线上一点，且以A，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标；(3)抛物线上是否存在点D，过D点作于点E，使与相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，，在直线上滑动，以为斜边，在的下方作等腰直角．(1)求抛物线的解析式；(2)当与抛物线有公共点时，求点的横坐标的取值范围；(3)在滑动过程中是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．(1)求点，，的坐标；(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线：与抛物线交于，两点，与轴交于点．(1)则点，，坐标分别为______、______、______；(2)点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点．①求的最大值及相应点的坐标；②在①的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程．7．如图，已知抛物线与x轴交，，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)若点P是直线下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点P作于点D，作轴交抛物线于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直接写出使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．8．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴负半轴交于点C，且．(1)求抛物线的解折式；(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；(3)在（2）的情况下，将该抛物线向右平移，使其经过原点，点M为平移后新抛物线的对称轴上一点，点N在新抛物线上，当以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并选取一个点写出求解过程．9．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标；(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B．(1)求二次函数的表达式；(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标．11．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标．(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧．(1)求的值及点，的坐标；(2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；(3)当点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作交直线BC于D，作轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标；(3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该拋物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的拋物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．16．已知抛物线与x轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，设点的横坐标为，求线段长度的最大值．(3)点是抛物线的顶点，在平面内确定一点，使得以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标.17．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点O垂直于的直线与抛物线交于点M，求点M的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线，与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，点为抛物线上一个动点，横坐标为，点为抛物线上另一个动点，横坐标为．(1)直接写出点，，的坐标．(2)将抛物线上点与点之间的部分记作图像，当图像的函数值的取值满足，求出的取值范围．(3)当点在第一象限时，以，为邻边作平行四边形，四边形的面积记为，求出关于的函数表达式，并写出的取值范围．(4)当以点点为端点的线段与抛物线之间的部分（包括、）有交点时，直接写出的取值范围．答案第=page4949页，共=sectionpages5050页答案第=page5050页，共=sectionpages5050页参考答案：1．(1)(2)或(3)存在，或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，求出的解析式，联立抛物线可得点P的坐标，分两种情况：①为平行四边形的边时；②为平行四边形的边对角线时．根据平行四边形的性质即可求解；（3）分三种情况：①，点D在第四象限时；②，点D在第一象限时；③时．根据相似三角形的性质即可求解．【解析】（1）∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）∵P是第一象限内抛物线上一点，Q是直线上一点，且以A，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，∵，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵抛物线的解析式为：，令，得(舍去），∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，联立抛物线得，解得或（舍去），∴，①为平行四边形的边时；∵，∴点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为，∴点Q的坐标为；②为平行四边形的边对角线时．∵，∴点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为，∴点Q的坐标为；综上，点Q的坐标为或；（3）存在，分三种情况：①，点D在第四象限时，∵，∴，∴，∵，抛物线，∴抛物线的对称轴为直线，∴；②，点D在第一象限时，如图，设交x轴于F，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或（舍去），∴；③时，如图，过点E作轴于G，过点D作于H，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵轴，∴轴，∴，∴，∴，∴，设，∴，∴，∴，代入得，解得或0（舍去），∴，综上，点D的坐标为或或．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的性质等，解题的关键是能利用待定系数法求抛物线解析式，理解坐标与图形的性质，学会利用分类讨论的思想解决数学问题．2．(1)(2)或(3)存在，或或【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据等腰直角三角形的性质求出，，，当点与点重合时，，当点在抛物线上时，，则时，与抛物线有公共点；当点与点重合时，，当点与点重合时，，则时，与抛物线有公共点；（3）由（2）知，，，，设，根据菱形的对角线及边的性质分三种情况讨论：①当为菱形的对角线时，，，求得；②当为菱形的对角线时，，，求得；③当为菱形的对角线时，，，求得；【解析】（1）解：将，代入，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：设直线的解析式为，，解得，，点的横坐标为，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，当点与点重合时，，当点在抛物线上时，，解得或，时，与抛物线有公共点；当点与点重合时，，当点与点重合时，，解得，时，与抛物线有公共点；综上所述：或时，与抛物线有公共点；（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：由（2）知，，，，设，①当为菱形的对角线时，，，解得，；②当为菱形的对角线时，，，解得，；③当为菱形的对角线时，，，解得，；综上所述：点坐标为或或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．3．(1)(2)最大值为4，点P的坐标为(3)或或【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）先求直线解析式为，设，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分以为边和对角线两种情形讨论即可．【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：当时，，∴，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，设，则，∴，∴当时，最大，最大值为4，此时点P的坐标为；（3）解：，∴抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线解析式为，∴新抛物线的对称轴为直线，设，，①以为边时，则或解得或，∴M的坐标为或；②以为对角线时，则，解得，∴M的坐标为，综上，M的坐标为或或．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，平行四边形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．4．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）由题意知点在的角平分线上，设与轴交于点，过作交于点，求出点坐标，直线与抛物线的交点即为所求；（3）设，由菱形的性质可知点与点关于直线对称，求出，再将点代入函数的解析式求出的值即可．【解析】（1）解：将，代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：令，则，解得或，且点在正半轴上，∴，∴，在中，，如图所示，设与轴交于点，过作于点，∵点到距离相等，∴点在的角平分线上，则，∴，则，在中，，即，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，联立方程组，解得或，∴．（3）解：存在点，使四边形为菱形，理由如下，∵，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，如图所示，过点交于点，假设四边形为菱形，设，∴，点与点关于直线对称，即点关于直线对称的点是，根据点关于直线对称点的坐标公式可知，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，∴，解得或，∴（舍）或，∴点坐标为．【点评】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，勾股定理，菱形的性质，点与直线对称的性质是解题的关键．5．(1)，，(2)当时，四边形是平行四边形(3)存在，点的坐标为，，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；（2）如图所示：根据平行四边形的性质得到，设点的坐标为，则，列方程即可得到结论；（3）设点的坐标为，分两种情况：①当时，根据勾股定理列方程求得，（不合题意，舍去），②当时，根据勾股定理列方程求得：，，于是得到结论．【解析】（1），令，得：，解得：，，令得，，∴，，．（2）当时，四边形是平行四边形，∵点与点关于轴对称，∴点，，直线为，由题可得，，则，解得，（舍去），因此当时，四边形是平行四边形．（3）当时，有，即解得：，（舍去），∴有；当时，有，即解得：，，∴有，；综上所述：点的坐标为，，．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．(1)，，(2)①的最大值为，此时点P的坐标为；②或或【分析】（1）分别令，，即可求解；（2）①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得，然后分两种情况：当点P在y轴右侧时，，当点P在y轴左侧时，，结合二次函数的性质，即可求解；②分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．【解析】（1）解：对于，当时，，当时，解得：，∴点，；故答案为：，，（2）解：①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，∴，当点P在y轴右侧时，，∴，∴当时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为；当点P在y轴左侧时，，∴，∴当时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为；综上所述，的最大值为，此时点P的坐标为；②∵将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，∴新抛物线的解析式为，∴新抛物线的对称轴为直线，∵点为对称轴上一点，∴点M的横坐标为2，设点M的坐标为，点N的坐标为，当为对角线时，，解得：，∴点M的坐标为；当为对角线时，，解得：，∴点M的坐标为；当为对角线时，，解得：，∴点M的坐标为；综上所述，点M的坐标为或或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．7．(1)；(2)的最大值为，此时点坐标为：；(3)或或．【分析】（1）由抛物线解析式可得，根据抛物线与x轴交，，设，代入即可求得抛物线解析式；（2）令轴交直线于点，由（1）知，，，则抛物线的对称轴为，，，即，易知，设直线的解析式为，代入，，求得，令，表示出，，由，得到关于的函数关系式即可得到结果；（3）由平移得新抛物线解析式，联立原解析式求得点，设，，分三种情况：①当，为对角线时；②当，为对角线时；②当，为对角线时；利用其中点重合，可求得的值，即可得到的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交，，与y轴交于点C．当时，，即：，设，代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）轴交直线于点，由（1）知，，，则抛物线的对称轴为：，则，，∴，即，∴，∴，∵，∴，设直线的解析式为，代入，，得，解得：，即：，令，则点横坐标为：，即：点横坐标为：，即：，解得：，则，∴即：，当时，有最大值，此时点坐标为：；（3）由题意可知：，原抛物线的对称轴为：，则设，则平移后的解析式为：，联立平移前后解析式，可得，即，则，∴，，，，设，以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，①当，为对角线时，，解得：，∴，解得：∴；②当，为对角线时，，解得：，∴，解得：∴；②当，为对角线时，，解得：，∴，解得：∴；综上，以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为：或或．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．8．(1)(2)的最大值为，此时点P的坐标为(3)或或【分析】（1）根据，可求出点C的坐标，再把点、、代入解析式，即可求解；（2）过点Q作轴于点D，根据题意可得，，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，设点，则点，可用m表示出的长，再根据二次函数的性质，即可求解；（3）根据题意可得抛物线向右平移4个单位得到新抛物线，从而得到平移后的抛物线解析式，进而得到点M的横坐标为，然后结合平行四边形的性质分三种情况讨论，即可求解．【解析】（1）解：∵∴，∵．∴，∴点，把点、、代入，得：，解得：，∴二次函数的解析式为；（2）解：如图，过点Q作轴于点D，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，把点、代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，设点，则点，∴，∴，∴当时，的值最大，最大值为，即的最大值为，此时点P的坐标为；（3）解：，∵将该抛物线向右平移，使其经过原点，，∴抛物线向右平移4个单位得到新抛物线，∴平移后的抛物线解析式为，∴平移后的抛物线的对称轴为直线，∴点M的横坐标为，设点，当为对角线时，有，解得：，∴此时点N的坐标为；当为对角线时，有，解得：，∴此时点N的坐标为；当为对角线时，有，解得：，∴此时点N的坐标为；综上所述，点N的坐标为或或．【点评】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式．9．(1)抛物线开口向上，顶点的坐标为(2)①与；②新抛物线的表达式为【分析】（1）由，故该抛物线开口向上，将抛物线的解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标；（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，解出方程即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为，与轴的交点为，由四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴该抛物线开口向上，又∵，∴顶点的坐标为．∴这条抛物线开口向上，顶点的坐标为．（2）①设抛物线“不动点”坐标为，∴，解得：，，∴抛物线的“不动点”的坐标为与；②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，∴，与不平行，∵新抛物线顶点为“不动点”，则设点，∴新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，又∵点，点，∴，∴，∴新抛物线是由抛物线向左平移个单位得到的，表达式为：．∴新抛物线的表达式为．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．10．(1)(2)点的坐标为时，(3)当点的坐标为时，点坐标为，当点的坐标为时，点坐标为【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）求出直线的解析式，设，求出的长度，列函数关系式，根据函数的性质解答即可；（3）先判断出，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解析】（1）解：设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，∴；（2）∵，对称轴为直线，∴，当时，，得或，∴设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴四边形的面积为，∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，∴点的坐标为时，；（3）当点M在对称轴左侧时，如图，过M作垂直于对称轴，垂足为H，∵，∴,∴，∴M点的横坐标为，∴M点纵坐标为8，∴M点的坐标为，点N的坐标为；当点M在对称轴右侧时，如图，过M作垂直于对称轴，垂足为H，∵，∴,∴，∴M点的横坐标为，∴M点纵坐标为8，∴M点的坐标为，点N的坐标为；综上，当点的坐标为时，点坐标为；当点的坐标为时，点坐标为．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．11．(1)，直线(2)，最大值为4(3)，或，【分析】（1）根据与x轴交点可得顶点式，化简即可求解；（2）由，即可求解；（3）当四边形是菱形时，则，即可求解．【解析】（1）解：设抛物线的表达式为：，即，则抛物线的对称轴为直线；（2）设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：，设点，则点，则，，故有最大值，当时，的最大值为4；（3）存在，理由：当时，点，设点，，而点；四边形是菱形，则，即，解得：，即点的坐标为，或，．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．12．(1)(2)的最小值为，点坐标为(3)，，【分析】（1）利用待定系数法将，代入抛物线解析式，即可求出二次函数的解析式．（2）过点作轴交于，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，则坐标为，表示的长，根据面积最大可以求出有最小值，进而得到点的坐标．（3）将抛物线沿着方向平移个单位，得到抛物线，当从而得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线解析式，即可得到对称轴，从而根据平行四边形的性质可以得到N点的坐标．【解析】（1）解：∵点、在抛物线上解得∴抛物线的解析式为：（2）解：由题意可知点坐标为∵A点坐标∴直线表达式为：如图过作轴交于设点坐标为则坐标为∴∴∵，对称轴为直线，∴时面积最大，此时点坐标为过作直线，过作于，交轴于点则解析式为：∵∴∴∴当且仅当三点共线时取等分过作轴交直线与点，易得∴∴（3）解：，∴将抛物线沿着射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，得到新抛物线为，设，，以，为对角线时，则，解得，∴，∴；以，为对角线时，则，解得，∴，∴；以，为对角线时，则，解得，∴，∴；综上，点的坐标分别为：，，．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积，最值等知识是解题关键，并运用分类讨论的思想．13．(1)(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为(3)存在，点F的坐标为，【分析】（1）把点A的坐标代入得到，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．【解析】（1）将，代入得：，∵抛物线对称轴为对称轴为，∴，即，把代入得：，解得：，∴，∴抛物线的解析式为：；（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，∵，∴，即求面积的最大值即可，把代入得，∴C坐标为，设直线BC的解析式为：，将，代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：，设，则，∴，∴，根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，将代入，得到此时P的坐标为，∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；（3）存在，理由如下：由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，∵，∴，则，∵原抛物线解析式为：，∴设向右平移后的解析式为：，将代入求得：（舍负值），∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，∴设，，则结合A、P的坐标可得：，，，①当时，如图所示，此时根据勾股定理得：，即：，解得：，即：，此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：，解得：，∴；②当时，如图所示，此时根据勾股定理得：，即：，解得：，即：，此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：，解得：，∴；③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，即：，整理得：，∵，∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，综上所述，所有可能的点F的坐标为，．【点评】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键．14．(1)，，(2)或(3)【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可求出，令，列方程即可求出点、坐标；（2）先求出四边形面积，根据，分两种情形：①当直线与边相交于点时，求出点坐标即可解决问题．②当直线与边相交于点时，同理可得点坐标，待定系数法求解析式即可求解；（3）设且过点的直线的解析式为，得到，利用方程组求出点坐标，求出直线解析式，再利用方程组求出点坐标，列出方程求出，即可解决问题．【解析】（1）解：把点代入，得，解得，∴，当时，有，解得，，，；（2）解：抛物线的顶点为，则如图，连接，，设直线与交于点，直线与交于点，，，，，直线将四边形分为面积比为的两部分时，则，，、纵坐标为，设直线的解析式为，直线的解析式为，，，，∴，解得：，∴直线的解析式为，直线的解析式为，∴令，解得：，∴,令，解得：，∴,设直线的解析式为，直线的解析式为，，∴，解得：，，∴直线的解析式为，直线的解析式为（3）存在．理由如下：如图，设、且过点的直线的解析式为，，，．由，∴，，，点是线段的中点，点，假设存在这样的点，直线，设直线的解析式为，由，解得：，，，当四边形是菱形时，，∵，，，，解得，，，，，∴直线的解析式为，，解得：，；，∵，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，以为对角线的四边形为菱形时，此时点的坐标为．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用参数解决问题，用方程的思想思考问题．15．(1)(2)的最大值为，此时(3)点的坐标为：，，【分析】（1）用待定系数法即可求出解析式；（2）过点作轴交BC于，过作交轴于，证明，得到，证明，得到，求出，，则，当取得最大值时，有最大值，求出的最大值即可；（3）求出平移后抛物线解析式、点F的坐标、抛物线的对称轴，设，分三种情况求解即可．【解析】（1）解：将点，代入得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为：；（2）如图，过点作轴交BC于，过作交轴于，∴，，,，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，点A和点B关于直线对称，∴点A的坐标为，，∴，∵，∴,,∴，，∴，∴当取得最大值时，有最大值设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，开口向下∴当时，取得最大值1，此时，，∴；∴的最大值为，此时．（3）由题意得：平移后抛物线解析式为，点，∵抛物线的对称轴为直线，∴设，分情况讨论：①当为对角线时，则，解得：，此时，，∴；②当为对角线时，，解得：，此时，，∴；③当为对角线时，，解得：，此时，，∴，综上所述，点的坐标为：，，．【点评】此题考查了二次函数与图形综合题，考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．16．(1)(2)当时，线段的长度有最大值，最大值为(3)点的坐标为或或【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式（2）先求得直线的解析式为，求得，即可求得当时，线段的长度有最大值，最大值为（3）以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形时：分三种情况：为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线，即可求得点的坐标【解析】（1）将点、代入抛物线得：，解得：，∴抛物线的解析式为：（2）∵抛物线的解析式为：，由得：，∴，设直线的解析式为：，将点，代入得：，解得：，∴