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利用一次函数的性质解等差数列的问题例1已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为A．4

B．

C．－4

D．利用点（n，an）都在同一条直线上求斜率．解析：由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），所以直线的斜率k＝

＝4．名师点评：由等差数列的函数特性知，对于等差数列{an}，设其公差为d，则d＝

（n≠m），所以d为过点（m，am），（n，an）的直线的斜率．利用一次函数的性质解等差数列的问题例2若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p（p≠q），则ap＋q＝________．解析：方法一

∵ap＝aq＋（p－q）d，∴q＝p＋（p－q）d，即q－p＝（p－q）d，0∵p≠q，∴d＝－1．∴ap＋q＝ap＋（p＋q－p）d＝q＋q×（－1）＝0．利用一次函数的性质解等差数列的问题若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p（p≠q），则ap＋q＝________．解析：方法二

∵数列{an}为等差数列，∴点（n，an）在一条直线上．0不妨设p＜q，记点A（p，q），B（q，p），如图所示，则直线AB的斜率k＝

＝－1．由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为（p＋q，0），故ap＋q＝0．例2利用一次函数的性质解等差数列的问题解题通法利用一次函数的性质解等差数列问题的思路等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线即可快速求解．若a，b，c是等差数列，公差为d（d≠0），且（a，l），（b，m），（c，n）三点共线，则

（k为常数），所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列．反之，若a，b，

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