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文档简介

拓扑空间总复习题基本概念一.度量空间1.度量空间的定义2.度量空间的其他概念3.度量空间中的连续映射二.拓扑空间的定义1.拓扑空间的定义（包括子空间与积空间2，常见的拓扑3.拓扑空间的其他概念4，拓扑空间的连续映射与同胚映射三.拓扑空间中的性质1.连通性与道路连通性2.可数性3.分离性4，紧致性

遗传可乘连续映射下连通性

无有有道路连通性

无有有紧致性无有有连通性，道路连通性与紧致性有闭遗传

遗传可乘连续映射下

有有满和开可分空间

无有有Lindeloff空间无

无有有闭遗传

遗传可乘连续映射下

有有无正则性有有无正规性无

无无

分离性

无

有无有闭遗传

无

无无

紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：

紧致子集

闭集紧致的hausdorff空间：

闭集紧致子集

一，选择题1.设X={a,b,c,d}，则下列集族中不是X的拓扑的是2.设X={a,b,c,d}，则下列集族中是X的拓扑的是3.设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:4.设X={a,b,c,}，则点b的邻域系为：5.设X={a,b,c,d}，则下列子空间不连通的是：6.设X={a,b,c,d}，则（X，T）的连通分支是：7.8.9.10.11.12.选择题127891011121314二，填空题1.

在实数空间R中，有理数集Q的导集是()2.

当且仅当对于的每一邻域有()3.4.5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个()

R

X

不连通空间可分空间1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()三，判断题√×

3.Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()√√×

五，证明题1.2.3.4.举例说明不是拓扑5.6.8.7.Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．9.10.11.12.14.13.15

证明欧氏平面中的子集

是连通的.证明:

定义映射,使的对任意f

是一个连续映射，且,所以是连通的16

证明欧氏平面和实数空间E不同胚．所以应该是连通,

证明:

用反证法,假设和E同胚,则存在一个同胚映射,令此时,是连续的,并且有

而

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