高二数学讲义：微积分初步(较为系统的讲义)

高中数学专题讲座咨询电话：82449062，82449060PagePAGE4ofNUMPAGES43PagePAGE3ofNUMPAGES43微积分初步【考纲要求】1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义，求函数，，，，(为常数)的导数.4.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如的复合函数)的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)，且..，且.常用的导数运算法则：法则1：.法则2：.法则3：.5.了解函数单调性和导数的关系.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).7.会利用导数解决某些实际问题.8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.9.了解微积分基本定理的含义.【备考建议】1.导数是中学数学中重要的知识.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数的问题提供了一般性的方法，运用导数还可以简捷地解决一些实际问题.本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，因此要熟练掌握函数的求导法则及公式，会判断或讨论函数的单调性，会函数的极值与最值，会用导数解决一些实际问题.2.定积分也是微积分的核心概念之一.通过定积分可以解决一些简单的几何和物理问题，还要体会导数和定积分之间的内在联系，体会导数与定积分的思想方法.3.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法和初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.第01讲：导数的概念及运算【基础知识】1.平均变化率及瞬时变化率：函数从到的平均变化率为________，函数在处的瞬时变化率为________.2.导数的概念：函数在处的导数就是在处的________，记作或，即.3.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的________的斜率，相应的切线的方程为________.4.几种常见函数的求导公式：________.________.________.________.________.________.________.________.5.导数的运算法则：_______._______(为常数)._______._______.【拓展4】已知直线与曲线相切，则的值为________.【拓展5】已知函数、(为常数)，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为，求直线的方程及的值.【拓展6】点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是________.【拓展7】设，，曲线在点，处切线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为________.【拓展8】若曲线在点，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则________.【拓展9】设曲线在点，处的切线与轴轴所围成的三角形面积为.(1)求切线的方程.(2)求的最大值.【拓展10】设函数、，曲线在点，处的切线方程为y=3．(1)求的解析式.(2)求证：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心.(3)求证：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【拓展11】对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是________.第02讲：导数在研究函数中的应用【基础知识】1.函数的单调性：函数在某个区间，内，若，则为________；若，则为________；若，则为________.2.函数的极值：(1)函数在的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，，而且在点附近的左侧________，右侧________，则点叫作函数的________，叫作函数的________.函数在的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，，而且在点附近的左侧________，右侧________，则点叫作函数的________，叫作函数的________.极小值点、极大值点统称为________，极大值点极值小统称为________.(2)求函数的极值的方法是：解方程.当时，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.3.求函数在，上的最大值与最小值的步骤是：(1)求函数在，内的极值.(2)将函数的各极值与端点处的函数值、相比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.【规律总结】1.利用导数判断函数单调性及单调性应注意的问题：(1)利用函数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)注意在某一区间内(或)是函数在该区间上为增(或减)函数的充分条件.例如在上可导且单调递增，但时.2.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数.(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.(4)如果的根的左右两侧，的符号不变，则不是极值.例如，有，但不是极值点.(5)是为极值点的必要条件，并非充分条件.3.求函数最值的步骤：(1)求出在，上的极值.(2)求出端点函数值、.(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 【例题精讲】【例01】的单调递增区间为________.【拓展1】函数的单调递增区间为________.【拓展2】已知在，上单调递减，则实数的取值范围是________.【拓展3】函数在，上为减函数，在，上为增函数，求、的值.【拓展4】如果函数为常数)，且在区间，上单调递增，方程的根都在区间，内，则的取值范围是______.【拓展5】(2008年全国高考试题)已知函数，.(1)讨论函数的单调区间.(2)设函数在区间，内是减函数，求的取值范围．【例02】函数的图象关于点，对称，当，时成立(其中是的导函数).若，，，则、、的大小关系是________.【拓展】已知函数是定义在上的奇函数，，则不等式的解集为________.【例03】已知函数.(1)当=2时，求曲线在点(1，)处的切线方程.(2)求()的单调区间.【拓展1】(2010年全国高考试题)设函数.(1)若，求的单调区间.(2)若当时，求的取值范围.【拓展2】(2009年辽宁省高考试题)已知函数，.(1)讨论函数的单调性.(2)证明：若，则对任意、，，，有.【例04】试判断函数的极值.【拓展1】函数在，内有极小值，则实数的取值范围是________.【拓展2】函数的极小值为________.【拓展3】若函数在处取得极值，则______.【拓展4】已知函数图象上的点，处的切线方程为．(1)若函数在时有极值，求的表达式.(2)函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围.【拓展5】设函数的图象与轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为.若函数在处取得极值0，试求函数的单调区间.【例05】(2010年天津市高考试题)已知函数.(1)求函数的单调区间和极值.(2)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，求证：当时.(3)如果且，求证.【例06】(2009年天津市高考试题)已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点，处的切线的斜率.(2)当时，求函数的单调区间与极值.【例07】(2009年全国高考试题)设函数在有两个极值点、，且，，，.(1)求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点，的区域.(2)求证.【例08】函数在区间，上的最大值为________.【拓展1】函数在，上的最大值为________.【拓展2】函数在区间，上的最大值为3，则在区间，上的最小值为________.【拓展3】已知，，，，其中是自然常数，.(1)讨论时，的单调性、极值.(2)是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值.若不存在，说明理由.【拓展4】设函数．(1)当时，求的单调区间.(2)若在上的最大值为，求的值．【例09】已知函数()，其中、．(1)当时，讨论函数的单调性.(2)若函数仅在处有极值，求的取值范围.(3)若对于任意的，，不等式在，上恒成立，求的取值范围．【拓展1】已知函数，，设．(1)求函数的单调区间.(2)若以函数，图象上任意一点，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.【拓展2】已知函数是上的奇函数，当时取得极值.(1)求的单调区间和极大值.(2)求证：对任意、，，不等式恒成立.【拓展3】设，且曲线在处的切线与轴平行.(1)求的值并讨论的单调性.(2)证明：当，时，恒成立.【拓展4】已知函数.()(1)当时，求在区间[1，]上的最大值和最小值.(2)若在区间(1，+∞)上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．第03讲：生活中的优化问题举例【基础知识】1.在生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题成为______.2.求实际问题的最值，主要步骤如下：(1)建立实际问题的数学模型，写出函数关系式.(2)求方程的解，即极值点.(3)比较区间端点值与极值，确定最值.【规律总结】求实际问题的最大(小)值的主要步骤如下：(1)建立实际问题的数学模型，写出函数关系式.(2)求函数的导数，解方程.(3)比较区间端点值和使的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值.【例题精讲】【例01】在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，当箱子容积最大时，箱底边长为______.【拓展1】建造一个长方体形状的仓库，内部高为m，长和宽的和为m，则仓库容积的最大值为______.【拓展2】如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为______时其容积最大.【拓展3】一个无盖的圆柱形桶，其体积为为定值，当用料最省时，圆柱底面的半径为______.【拓展4】要做一个圆锥形漏斗，其母线长为cm，要使体积为最大，则其高应为______.【拓展5】若一个球的半径为，作内接于该球的圆柱，则其侧面积的最大值为______.【拓展6】请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3(如右图所示).试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为______时，帐篷的体积最大？OO【例02】某商场从生产厂家以每件元购进一批商品，若该商品零售价定为元，则销售量(单位：件)与零售价(单位：元)有如下关系：.试计算该商品零售价定为多少时总利润最大？并求出最利润.【拓展1】某公司生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的厂品是______.【拓展2】某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系式是.(1)将该厂的日盈利额(元)表示为日产量(件)的函数.(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【拓展3】水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位、年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于的函数关系式为(1)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份(，，…，)，同一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取计算).【例03】一艘渔艇停泊在距岸km，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时km，船速每小时km.问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？【拓展】设工厂到铁路线的垂直距离为km，垂足为.铁路线上距离为km处有一原料供应站，现要在铁路之间某处修建一个原料中转车站，再由车站向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么应选在何处，才能使原料供应站运货到工厂所需运费最省？【例04】电灯可在桌面上一点的垂线上移动，桌面上有与点距离为的另一点，电灯与点的距离怎样可使点处有最大的照度？(，照度与成正比，与成反比)【拓展】半径为R、总质量为m且质量均匀分布的细圆环上均匀地带有总电荷量为q的正电荷，轴线上什么位置电场强度最大？【例05】设某物体一天中的温度是时间的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的，中午12:00以后相应的取正数，中午12:00以前相应的取负数(如早上8：00相应的，下午16：00相应的)．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.(1)求该物体的温度关于时间的函数关系式.(2)该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？【例06】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求的值及的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.第04讲：定积分与微积分基本定理【基础知识】1.定积分的概念：一般地，如果函数在区间，上连续，用分点将区间，等分成个小区间，在每个小区间，上任取一点，，…，，作和式，当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫作函数在区间，上的定积分，记作_______，即，与分别叫作________，区间，叫作________，函数叫作被积函数，叫作积分变量，叫作被积式.2.的几何意义：(1)当在区间，上大于0时，表示由直线________和曲线所围成的曲边梯形的面积.(2)当在区间，上小于0时，表示由直线、、和曲线所围成的曲边梯形的面积的________.3.定积分的性质：(1)________(为常数).(2)________.(3)________(其中).4.微积分基本定理：一般地，如果是区间，上的连续函数，并且，那么.这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿-莱布尼茨公式.可把记成，即________=________.【规律总结】1.用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足的函数，即被积函数的原函数.2.在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上下限.3.要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开来，定积分可正可负可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.【例题精讲】【例01】由直线、曲线及轴所围成的图形的面积为________.【拓展1】由抛物线、直线与轴所围成的图形的面积为().A.面积为0B.曲边梯形在轴上方的的面积大于在轴下方的的面积C.曲边梯形在轴上方的的面积小于在轴下方的的面积D.曲边梯形在轴上方的的面积等于在轴下方的的面积【拓展2】从图示的长方形区域内任取一个点，，则点取自阴影部分部分的概率为________.【拓展3】且与、及轴所围成图形的面积为，则=________.【拓展4】曲线与坐标轴所围成的图形的面积为________.【拓展5】已知函数，，.(1)求函数的值域.(2)从函数图象上的点集向轴作投影，求扫过区域的面积.【拓展6】求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.【拓展7】由曲线、围成的封闭图形面积为________.【拓展8】求曲线、及所围成的平面图形的面积.【拓展9】求由抛物线与直线及所围成图形的面积.【拓展10】设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线围成的面积为，若达到最小值，求值.【拓展11】设是二次函数，方程有两个相等的实根，且.(1)求的表达式.(2)求的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(3)若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值.【拓展12】抛物线在第一象限内与直线相切，此抛物线与轴所围成的图形的面积记为，求使达到最大值的、的值并求.【拓展13】已知函数，其图象记为曲线.(1)求函数的单调区间.(2)对于任意非零实数，曲线与其在点，处的切线交于另一点，，曲线与其在点，处的切线交于另一点，，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为、，求证为定值.(3)对于一般的三次函数，请给出类似于(2)的正确命题，并予以证明.【拓展14】已知二次函数，直线：，直线：(其中，为常数).若直线、与函数f(x)的图象以及、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示.(1)求、、的值.(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.(3)若，是否存在实数m使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【例02】计算下列定积分：(1).(2).【拓展1】下列式子中正确的是________.①②③④【拓展2】若，则的值为________.【拓展3】设，若，则．【拓展4】=________.【拓展5】设函数，若()，则的值为________.【拓展6】设则=________.【拓展7】与的大小关系为________.【拓展8】计算.【拓展9】下列积分正确的一个是().①②③④【例03】试判断函数在区间，上的最值.【拓展】已知，，求函数的最小值.第05讲：定积分的简单应用【基础知识】1.定积分在几何中的应用：利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出________以及积分的________.2.变速直线的运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间，上的定积分，即________.3.变力做功公式：如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，则力所做的功为________.【答案】1.被积函数，上、下限.2..3..【规律总结】1.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围.第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限.第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置.第四步：计算定积分，求出平面图形面积.2.若做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在，时间内的路程是曲边梯形(阴影部分)的面积，即路程.如果时，则路程.【例题精讲】【例01】汽车从处起以速度(其中、均为正的常数)开始减速行驶至点停止，则、间的距离________.【拓展1】汽车以的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度刹车，则从开始刹车到停车期间汽车走了多少千米？【拓展2】列车以速度行驶，当制动时列车获得加速度，则列车应在进站前多少时间以及离车站多远处开始制动？【拓展3】物体以速度做直线运动，它在到这段时间内的位移是________.【拓展4】质点由原点出发时开始计时沿轴运动，其加速度为，当初速度时，质点出发后所走的路程为________.【拓展5】变速直线运动的物体的速度，初始位置，前所走过的路程为________.【拓展6】已知某物体运动的速度关于时间的关系为，则当，时，该物体运动的位移为________，路程为________.【拓展7】某物体以初速度，加速度做直线运动，则质点在时的瞬时速度为________.【拓展8】、两站相距，一辆电车从站开往站，电车开出后到达途中点，这一段加速度为，到达点的速度达，从点到点前的点以匀速行驶，从点开始刹车，经后，速度为，在点恰好停车，试求：(1)、间的距离.(2)、间的距离.(3)电车从站到站所需的时间.【例02】一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向，从运动到(单位：)处，则力做的功为________.BAOOCBO【拓展1】如图所示，小球在BC之间做简谐运动，振幅为A，O为平衡位置.BAOOCBO球从O到C过程中弹力所做的功.【拓展2】若铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，铁锤第二次能把铁钉击入多少？【拓展3】底面半径为4m、高为8m的倒立圆锥形容器内装6m的水，现要把容器中的水全部抽完，需做多少功？【拓展4】设气缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由变至，求气体压力所做的功.【拓展5】在原点O处有一个电荷量为+q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力.现有单位正电荷从距原点a处沿射线方向移至距O点为b(a<b)的地方，求电场力所做的功.如果把该电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？【例03】设有一形状是等腰梯形的闸门铅直竖立于水中，其上底8m，下底4m，高6m，闸门顶齐水面，求水对闸门的压力.【拓展】一个横放的半径为的圆柱形油桶里面盛有半桶油，试计算桶的一个端面所受的压力(设油的密度为).OB60°MN【例04】如图所示，顶角为60°的金属导轨MONOB60°MN的匀强磁场中.一根与两导轨夹角皆为60°的导体棒以初速度v0从O点沿导轨向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触.求导体棒最终停止位置距O点的距离.【例05】求正弦交流电的有效值.第06讲：微积分复习(1)【例题精讲】【例01】(2010年全国高考试题)设函数.(1)若，求的单调区间.(2)若当时，求的取值范围.【例02】(2010年安徽省高考试题)设为实数，函数，.(1)求的单调区间与极值.(2)求证：当且时，.【例03】(2010年北京市高考试题)已知函数()=ln(1+)-+(≥0).(1)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程.(2)求()的单调区间.【例04】已知函数f(x)=ax++c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a表示出b、c.(2)若f(x)>lnx在[1，∞]上恒成立，求a的取值范围.(3)证明：1+++…+>ln(n+1)+)(n≥1).【例05】(2010年重庆市高考试题)已知函数，其中实数．(1)若，求曲线在点，处的切线方程．(2)若在处取得极值，试讨论的单调性．【例06】(2010年全国高考试题)已知函数.(1)若，求的取值范围.(2)求证.【例07】已知三次函数在y轴上的截距是2，且在，、，上单调递增，在(－1，2)上单调递减.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若函数，求的单调区间.【例08】函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意、，有；③.则:(1)求的值.(2)求证在R上是单调增函数.(3)若且，求证.【例09】已知函数(且)．(1)试就实数的不同取值写出该函数的单