第2课时导数的应用（一）单调性（解析版）

第2课时导数的应用（一）--单调性编写：廖云波【回归教材】1.导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a，b)内：（1）如果，函数f(x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f(x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f(x)在这个区间内是常数函数．2.利用导数求函数的单调区间(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求出函数的导数f′(x).(3)解不等式，得函数的单调递增区间；解不等式，得函数的单调递减区间.或则作出导函数的函数图像，x轴上方对应函数的递增区间，x轴下方对应函数递减区间3.导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.如图，函数y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)内的图象“平缓”.【典例讲练】题型一求函数的单调区间【例1-1】利用导数判断下列函数的单调性:（1）；（2）；（3）.【答案】（1）递增；（2）递减；（3）和上单调递增.【解析】【分析】先求导，通过导数的符号判断单调性.【详解】（1）因为，所以所以在R上单调递增.（2）因为，所以所以，函数在上单调递减.（3）因为，，所以所以，函数在和上单调递增.【例1-2】函数的单调递增区间为（）A．()B．(1，+)C．(1，1)D．(0，1)【答案】D【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.归纳总结：【练习1-1】求下列函数的单调区间．（1）；（2）．【答案】（1）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）单调递增区间为（），单调递减区间（）.【解析】【分析】（1）求出，解不等式和即得解；（2），解不等式和即得解.【详解】（1）由题得函数的定义域为.，令，即，解得；令，即，解得或，故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．（2）由题得函数的定义域为.令，得，即（），令，得，即（），故的单调递增区间为（），单调递减区间（）．题型二讨论函数的单调性【例2-1】已知函数．讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【解析】【分析】利用导数法求解.【详解】解：因为，所以．①当时，，在上单调递增；②当时，时，；时，；故在和上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．【例2-2】讨论函数的单调性．【答案】答案见解析【解析】【分析】由题设可得，讨论、、，结合判断的区间单调性.【详解】由题设，，当时，若即时，递减；若即时，递增；当时，，定义域上递增；当时，若即时，递减；若即时，递增；综上，：在上递减，在上递增；：在R上递增；：在上递减，在上递增；归纳总结：【练习2-1】已知函数.讨论的单调性.【答案】答案见解析﹒【解析】【分析】求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．，当，即时，，在R上单调递增；当，即时，由，得，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【练习2-2】已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；【答案】答案见解析【解析】【分析】对求导，讨论、、分别判断的符号，进而确定的单调区间.【详解】由题设，，当时，，令得，令得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，令得或，当，即时，当时或；当时，故的单调递增区间为、，减区间为.当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；题型三函数单调性的应用（比较大小或解不等式）【例3-1】若，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以．故选：A.【例3-2】已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数，可将自变量都转到上，通过比较自变量的大小，以及判断的单调性，即可比较大小.【详解】，是偶函数，又，记，则,所以单调递减，当时，，所以，故当时，单调递减，记当时，,所以在单调递减，故，即,记，当时，,所以单调递减，故，综上可知：当时，单调递减，故故选：B【例3-3】已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据可得，即可得在上单调递减，进而可求解.【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A归纳总结：【练习3-1】已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可.【详解】解：因为，则，所以又时，，所以恒成立所以在上单调递增；又，，所以，则.故选：A.【练习3-2】已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断，，的大小．【详解】解：令，则，当时，，函数在上为增函数，且函数图象过原点，又函数是定义在实数集上的奇函数，即，所以，是定义在实数集上的偶函数，又，，所以，所以，；故选：C．题型四函数单调性的应用（根据单调性求参数范围）【例4-1】已知.(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；（2）函数求导后，在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.(1)解：，在区间内单调递增在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，在，则的取值范围是：.(2)解：在上存在单调递增区间，则在上有解，即在上有解，，又，.则的取值范围是：.【例4-2】设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．【答案】（1），切线方程为；（2）.【解析】【详解】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得（2）由（1）得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．归纳总结：【练习4-1】已知函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】分析可知存在，使得成立，利用参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，存在，使得，可得，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故.【练习4-2】已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；【答案】（1）；【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由题可得在恒成立，构造函数，可利用导数求出最小值，即可求出的取值范围；【详解】解：（1），若在上单调递增，则，即，设，则，因为，所以，故在上单调递增，所以，所以.所以的取值范围为.【完成课时作业（十七）】【课时作业（十七）】A组础题巩固1．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出导函数，然后令，解出不等式即可得答案.【详解】解：，令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.2．函数，，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先通过求导求出函数的单调区间，通过单调性可比较出的大小，然后再通过正负可比较出的大小，进而选出答案.【详解】因为函数，由得，由，得在上单调递减，在上单调递增，，，即因为，所以所以故选:A.3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.故选：B.4．“”是“函数为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据函数单调递增，得到导函数大于等于0，从而求出，由，但得到答案.【详解】若函数单调递增，有恒成立，可得，解得：，因为，但，所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.5．已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系即可求得.【详解】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B6．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上单调递增知，，所以，故选：C7．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】依题意在上恒成立，根据二倍角公式得到，令，即，恒成立，参变分离可得，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：在区间上是增函数，在上恒成立，，因为，所以令，则，即，，，令，，则，在上单调递减，，即，故选：A．8．【多选题】已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（）A．为增函数B．为增函数C．的解集为D．的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD.【详解】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD.9．【多选题】已知函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递减，在上单调递增．B．在上仅有一个零点C．若关于x的方程有两个实数解，则D．在上有最大值，无最小值【答案】BD【解析】【分析】求出导函数，即可得到函数的单调性与极值、最值，再根据零点存在性定理判断函数的零点，结合函数值的变化趋势判断C.【详解】解：因为定义域为，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值即最大值，所以，又，所以在上有一个零点，当时，，所以，当时，，所以，且当时，当时；所以在上仅有一个零点，在上有最大值，无最小值，故A错误，B正确，D正确；对于C：若关于x的方程有两个实数解，则，故C错误；故选：BD10．已知，函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】【分析】求出函数导数，由即可求出单调递减区间.【详解】，令，解得，所以的单调递减区间为.故答案为：.11．设，若函数在区间不单调，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由题意判断得在区间存在极值点，求解导函数，判断单调性，从而得极值点，列关于的不等式求解.【详解】函数的定义域为，由题意，在区间存在极值点，，时，；当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，所以，得，所以的取值范围是.故答案为：.12．已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间，（2）由，所以构造函数，只要利用导数求出的最大值小于等于零即可(1)函数的定义域为，由，得，由，得，解得，由，得，解得所以的单调递增区间为，单调递减区间为，(2)要证，只需证，因为，所以只需证即可，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，所以，即，所以13．在①曲线在处的切线斜率为1；②；③有两个极值点，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.已知.(1)若___________，求实数的值并判断函数的极值；(2)试讨论函数的单调性.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）选①，根据导数的几何意义可得，即可求得，再根据导数的符号结合极值的定义即可得出答案；选②，求导，根据，可求得，再根据导数的符号结合极值的定义即可得出答案；选③，根据极值点的定义可得，即可求得，再根据导数的符号结合极值的定义即可得出答案；（2）求导，分，，和四种情况讨论，根据导数的符号即可得出答案.(1)解：若选条件①，因方，所以，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表，000递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，函数的极小值为；若选条件②，因方，所以，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表，100递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，函数的极小值为；若选条件③，因方，且函数有两个极值点，1，所以，所以，经检验，符合题意，当变化时，，的变化情况如下表，100递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，函数的极小值为；(2)解：因方，①当时，因为，令，得，所以函数在上单调递增，令，得，所以函数在上单调递减；②当，由，得或，若，则，函数在上单调递增；若，则，当变化时，，的变化情况如下表，00递增极大值递减极小值递增所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，若，则，当变化时，，的变化情况如下表，00递增极大值递减极小值递增所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，综上：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当，函数在和上单调递增，函数在上单调递减；当，函数在上单调递增．当，函数在和上单调递增，函数在上单调递减.14．已知函数（）．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，，求k的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)【解析】【分析】（1）求导得，分类讨论即可求解，（2）将问题转化为，，进而构造函数求解最值即可.(1)∵，∴，若，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；若，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增．(2)当时，恒成立；当时，原不等式等价于，令函数，，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，∴，∴．综上所述，k的取值范围是．B组能力提升1．已知，若成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.【详解】解：函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得，由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是.故选：B.2．已知函数满足：，，且．若角满足不等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，，并判断函数为上的奇函数，再根据，可得在上单调递减，最后进行求解得的取值范围.【详解】解：构造函数，，由化为：，，函数为上的奇函数，则，在上单调递减．若角满足不等式，则，即，，解得：．故选：A.3．下列命题为真命题的个数是（）①；②；③；④．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小．