2023年高等数学公式、定理 最全版

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学公式、定理最全版高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+==+-=+=，，，

a

xxa

aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos11

)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

axxaxdxCshxchxdxCchxshxdxC

aadxaC

xctgxdxxCxdxtgxxC

ctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx

x

)ln(lncsccscsecseccscsinseccos222

22

22

2Ca

x

xadxCxax

aaxadxCaxa

xaaxdxCax

arctgaxadxC

ctgxxxdxCtgxxxdxC

xctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

xaxaxdxxaC

axxaaxxdxaxC

axxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnn

narcsin22ln22)ln(221

cossin22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：·诱导公式：

·和差角公式：·和差化积公式：

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx

xx

xx

x-+=-+±=++=+-=

=+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0==+=∞→→ex

xxxxx

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+

'+===-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率：

.

1

;0.)

1(limMsMM:.,13202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

定积分的近似计算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110抛物线法：梯形法：矩形法：

定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdxxfabykr

m

mkFA

pFs

FW)(1)(1

,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：

空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22

2

2

2

2

2

212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak

ji

ba

cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM

dz

y

xzyx

z

yx

z

y

x

zyx

z

yxzyxz

zyyxxzzyyxxuu

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外随意一点到该平、截距世方程：、普通方程：，其中、点法式：平面的方程：

1

1

3,,2221

1};,,{,1

30

2),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt

zznt

yymt

xxpnmstpzznyymxxCBAD

CzByAxdcz

byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA

多元函数微分法及应用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy

v

dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xy

xxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函数的极值及其求法：

????

?????=--=====不确定时值时，无极为微小值为极大值时，

则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

???????????????????????????

?????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

yxIdvzxIdvzyIdv

xMdvzM

zdvyM

ydvxM

xdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz

zryrxzyxrρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1

sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)

,sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220

)

,(0

2

2

2

，，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：

曲线积分：

??

?==+-+-+-+-nnnn

nnnnurrusuuuuuuuuuuu肯定收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而假如收敛级数；绝对收敛，且称为肯定收敛，则假如为随意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnn

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分须要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

普通的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→

∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则假如数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的延续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，假如函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→

x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处延续。

不延续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不延续或间断。

假如x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳动间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为其次类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点延续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点延续的函数。

定理假如函数f(x)在区间Ix上单调增强或削减且延续，那么它的反函数

x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增强或削减且延续。反三角函数在他们的定义域内都是延续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上延续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。假如函数在开区间内延续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上延续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上延续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)函数在该点处延续；函数f(x)在点x0处延续≠>在该点可导。即函数在某点延续是函数在该点可导的须要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分须要条件是函数在该点处可导。

第三章中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)：假如函数f(x)在闭区间[a，b]上延续，在开区间(a，

b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)

内至少有一点ξ(a0，那么函数f(x)在[a，b]上单

调增强；(2)假如在(a，b)内f’(x)0时，函数f(x)在x0处取得微小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的高低性及其判定：设f(x)在区间Ix上延续，假如对随意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上延续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图

形是凹的；(2)若在(a，b)内f’’(x)可积。

定理：设f(x)在区间[a，b]上有界，且惟独有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质：假如在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.

推论：假如在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分离是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估量积分值的大致范围。

性质(定积分中值定理)假如函数f(x)在区间[a，b]上延续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件):假如函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y