第11讲乘法公式（4大考点）（原卷版）

第11讲乘法公式（4大考点）考点考点考向一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如二、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.四、补充公式；；；.考点考点精讲考点一：平方差公式1.下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2.计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．3.计算(2＋1)()()()()()＋1．4.解方程：．5.运用乘法公式计算：（1）；（2）．6.已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．7.计算：（1）；（2）；（3）．8.用简便方法计算：(1)899×901＋1；(2)99×101×10001；(3)－2006×2004；考点二：平方差公式的几何背景1.（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．2.（2020秋•邓州市期中）如图，将图①中大小相同的四个小正方形按图②所示的方式放置变为一个大正方形，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2考点三：完全平方公式1.计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2.计算：(1)；(2)．(3)．3.已知，＝12．求下列各式的值：(1)；(2)．考点四：完全平方公式的几何背景1.（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．62.（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．3.（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30 B．34 C．40 D．44巩固巩固提升一、单选题1．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）已知x²-2mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．±3 B．3 C．±6 D．62．（2021·北京四中八年级期中）如图1，将长为宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（）A． B．C． D．3．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）下列运算中，错误的是（）A．·= B．（）³= C．（ab）²=a²b² D．（a＋b）³=a³+b³4．（2021·福建南安·八年级期中）若x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k的取值是（）A．5 B．±5 C．10 D．±105．（2021·山东临淄·八年级期中）已知，，那么（）A．9 B．10 C．11 D．126．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A． B．C． D．8．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期中）计算：的值是（）A． B．C． D．二、填空题9．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）已知实数a，b满足a-b=5，ab=4，则a+b=_______．10．（2021·福建·厦门市第五中学八年级期中）杨辉三角形在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就出现，比欧洲发现的帕斯卡三角形（杨辉三角形）要早393年．如图为杨辉三角系数表的一部分，我们可以按照其中规律写出形如（a＋b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，再写出（a＋b）4的展开式．（a＋b）＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3则（a＋b）4＝___．11．（2021·四川兴文·八年级期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则的值是___________．12．（2021·天津南开·八年级期中）已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，则a2+b2＝______．13．（2021·江苏·苏州中学八年级期中）已知则＝____．14．（2021·北京四中八年级期中）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果．①______________；请参考丽丽的方法进行运算：②的值为____________．15．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）若x2－2（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值为________．三、解答题16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）计算：（1）（2）17．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）计算（1）（－xyz）·x2y2·（－yz3）（2）8m（m2－3m＋4）－m2（m－3）（3）（m＋1）（m－1）（m2－1）（4）（2x－3y－1）（2x＋3y＋1）18．（2021·山东阳信·八年级期中）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中．19．（2021·河南西峡·八年级期中）一块边长为的正方形纸板，在其中一个角剪去了一个边长为（）的小正方形，如图．请根据图形的面积关系，利用剪拼的方法验证乘法公式．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图，一块空地是由边长为（2a＋3b）米，（2a－3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．21．（2021·福建连江·八年级期中）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，根据此图：（1）写出大正方形、中间小正方形与长方形的面积之间的等量关系式（用含a、b的等式表示），并运用乘法公式验证你写出的等量关系式；（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．22．（2021·四川恩阳·八年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）当x＝时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0