2023年中考数学二次函数专项练习题集

2023年中考数学二次函数专项练习题集（精品收藏）

N题1

1.（2022•湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究）=加（«>0）型抛物线图象.发现：如

图1所示，该类型图象上任意•点可到定点尸（0,的距岗及庐，始终等于它到定直线/：），=-二-上

4a4a

的距离对（该结论不需要证明,，他们称：定点尸为图象的焦点，定直线,为图象的准线’尸.也叫做

抛物线的准线方程.其中原点。为FH的中点，切=2。户=9例如，抛物线尸:『，其焦点坐标为F8，

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2（的焦点坐标和准线/的方程：,.

（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线y=上一点P到准线I的距网为6,求点P的坐标；

8

（3）【能力提升】如图3所示，口知过抛物线y=*（a>0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线点4、

B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;

（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将

AC

-条线段4B分为两段XC和CB,使得其中较长一段4c是全线段4B与另•段CB的比例中项，即满足：—

AB

=骼=叵」.后人把.这个数称为“黄金分割”把点C称为线段A3的黄金分割点.

如图4所示，抛物线的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点H（0,-1）,E为线段HF的黄金分割

4

点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当瞿=应时，请直接写出的面积值.

答案解析

【答案】(1)(0,1),y=-g,

(2)472.4)或(-472.4)

1

(3)«=-

4

⑷6_］或3-有

【分析】(1)根据交点和准线方程的定义求解即可；

(2)先求出点尸的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

(3)如图所示，过点B作轴于O,过点月作■轴fE,证明△FOBSAFHC,推出ED=」-,

6a

则。。=。/-。尸=」一，心8的双坐标为」从而求出3。=正，证明尸，即可求出心.4

12a12。6a

的坐标为(-2道，2+上)，再把点.4的坐标代入抛物线解析式中求解即可；

4a

(4)如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MVJJ于N,则MV=MF,

先证明2INH是等腰荏第三角形，得到NH=MN*次点.”的坐标为(«.-m2)，则MN=-nr+l=-m=HN,

44

求出，"=-2,然右根据黄金分割点的定义求出旌=石-1,则S3=；//E-NH=6-1；同理可求当点E

是靠近H的黄金分割点时的面积.

(1)

解：I；「初物线尸2一的焦点坐标和准线/的方程分别为(0,I),v=-1'

88

故答案为：(0,-),V=--.

88

⑵

解：由题意得抛物线v=-V的准线方程为v=--=-2,

84。

■.•点尸到准线/的距离为6,

.•.点尸的纵坐标为4,

••・当y=4时，—x2=4,

8

解得x=±4-\/2>

二点尸的坐标为（472.4）或（-40，4）；

（3）

解：如图所示，过点5作3O_L.i，轴于。，过点N作4及Ly轴于E,

由题意得点尸的坐标为尸（0,《〉直线/的解析式为：v=-4

4a4a

：.BD//AE//CH,FH=—,

2a

:AFDBSMHC,

.BD_FD_FB

,,丽一丽一正‘

■:BgBF,

.BD_FD_FB

••丽一而一百一屋

：.FD=—,

6a

，OD=OF-DF=—,

12a

...点3的纵坐标为」一，

12a

G

解得

-方（负值舍去）,

.r

正

•z>

：5-

667

AE//BD,

：.^AEFS^BDF,

.AE_BDr-

••-=73，

EFDF

AE=JiEF，

AE2A-EF2=AF2^

・♦・4EF之=2尸二16,

:.EF=2,

，AE=2月,

**•点.4的坐标为(—23"，2+——

4a

2+-^—=12a,

4a

48a2-8o-l=0,

/.(12«+l)(4n-l)=0,

解得a］（负值舍去）;

图7

(4)

解：如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M作于N,则的V=MF,

■:任RlAMNH中,sin/MHN="="=上,

MHMH2

：.4MHN=45。,

二△MNH是等腰直角三角形，

：.NH=MN,

设点A/■的坐标为(〃/,-in2),

4

：.MN=-m2+\=—m=HN,

4

ni--2,

：.HN=2,

•.•点E是靠近点F的黄金分割点，

二HE==75-1.

2

；

/.SLxnmAiE.J2HE.NH=下-1

、IE时靠近a的，点，

2

:•HE=2-—+\=3-«，

综上所述，5/\小区=2石-2或S/\H,1c=3-y/5

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.

题2

变式.（广东也深圳市）己知：RtABC的斜边长为5,但边上的身为2.将达

个■角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与“轴重合（X中0A<

0B）,■角顶点C落在y%正半轴上（如BB1）.

（1）求出段OA0B的长和经过点A.B.C的抛物感的关系式.

（2）如图2.点D的坐标为（2,0）,点P（m."）是谖抛物状上的一个动点

（其中m>0,”>0）,连接DP交BC于点E.

①詈BDE是等修三窗形时，直接写出此时点E的坐标.

生又连接CD、CP（如图3）,CDP是否有■大面积？若有，求出CDP

的事大面积和此时点P的坐标；若没育,请说明理由.

892

答案解析

变式练习：【考点)二欠函数综合题；二次函数的M;待定系数法求二次函数

解析式；两点间的距离;三角形的面积;善■三角形的性质.【专题】压轴题.

【分析X1而RtABC申,C01AB可证AOC-COB，由相似比图OCJ=OA

•0B,设0A的长为x,则OB=5-x,代入可求OA,OB的长,确定A,B,

C三点坐标.求抛物线解析式；(2)根据BDE为等腰三角形，分为DE=EB.

EB=BD,DE=BD三刖R况.分别求E点坐标;(3)作辅助与，将求CDP的

面枳问题§§化.方法一：如图1,连接0P,根据sCO,=SB«CO8-sC8=S

C3+SOOP•sC8,表示CDP的面积；方法二：设点P作PELX轴于点F.

则S»=S■《w•S°8-S°叫表示CDP的面枳；再利用二欠函数的性

质求出CDP的盘大面枳和此时点P的坐标.

(解答】B：(D10A的长为x,MOB=5-x;0C=2,AB=5,zBOC-

^AOC=90*,/OACzOCB;..AOC-COB,..OC2=OA-OB

2

.•.2=x(5-x)l?(W:xj=l,x2=4,OA<OB,OA=1,OB=4;

点A.B.CMM«Mi：A(*l<0).B(4,0).C(0.2)；(nifB

定理的不扣分)

方法一：设经过点A.B.C的抛物线的关系式为:y=axJ+bx+2.

将A、B、C三点的坐标代入图16ttHy2=0解得：a=-l,b=3c=2

U=2c,22

所以这个二次函数的表达式为：尸

方法二：设过点A.B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x•4）将C点

的坐标代入御：a=-1所以这个二;欠函数的表达式为：尸-g/Jx.2（表

2•22.

达式用三件形式中的任一种都不扣分）

（2）①当BDE是等修三角形时，点E的坐标分别是：（3,-J）,（11）.

255

"率.半）.（注：符合条件的E点共再三个,其坐标.号对一个给1

55

分）

②如图1.连接OP,SCDP-SBMcooe•Scoo-Scoe+S8kscoo

■1x2^|x2n-|x2X2»»n♦n-2«[―亭=（*T）2*f

..当m,时,CDP的面积品大.此时P点的坐标为（§，/），§3的昌大

«T-

另•？：如图2、图3,过点P作PF_LX轴于点F,则Sa^SMcowScoo-

Soff

=1x（2+n）i»一夕2乂27）＜l・-2|*n=m+n•2

=4,2*1,=4（■专博“（9分）

当m」时.CDP的面积■大.此时P点的坐标为（?.今），S8P的■大

228

（注：只回答有0大面积，而没有说昭理由的,不给分;点P的坐标，或最大

面积计算耀误的，扣（1分）；其他第法只要合理，的情境分.）

【点评】本题考查二次函数的综合运用.关键是根据■角三鲁形中斜边上的高分

得的两个三角形相似,利用相似比求A,B两点坐标,傅定抛物线篇析式,根据

等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示CDP的面积，由二次

函数的性质求三角形面积的最大值.

用题3

例5.（内蒙古赤峰市）如图，RtA8c的顶点坐标分别为4（0,、：）,B（-

：,?）,C（1,0）,-48090•，尻•与夕轴的交点为0,。点坐标为（0,

'；）,以点。为顶点.y轴为对称他的抛物线过点B.

（1）求该抛物史的解析式；

（2）将48c沿4c折•后得到点8的对应点8,求证：四边形40CJ是矩

形,并判断点8是否在（1）的抛粉线上；

（3）延长64交抛物好点E,在线段8£上取一点P,近夕点作*轴的垂线,

交抛物好点凡是否存在这样的点巴使四边形呷乃是平行四边牛？著存在,

求出点。的坐标,若不存在，说照理由.\\

W

答案解析

例5.【考点】二次函数综合题.1专题】压轴题.

【分析】（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代人求出抛物线解析式；

（2）ABC沿AC折■,要用到点的对称,遇到B的坐标然后验证是否在抛物

线上；（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据aA坐标解出■线BA的解

析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标.

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax?+率；B（1，争在抛物线

上，

.把R《日代入y="，当揖a=...抛物线解析式为+当.

（2）.点B（L）,C（1,O）,CB=J（刎2♦耳）2$，••

CB,=CB=OA.

又CA=J]2.（百）2=2,.AB=JK2-802=1,;AB'=AB=OC.，四边形

AOCB是矩形.vCB=G,OC=1,.B点的坐标为（1,6）..当x=l时，

代入y=合印?+，品y=石，

百）在抛物线上.

（3）存在.理由是：设BA的解析式为y=kx+b一夕也壬

8b=百]山5

P,F分别在直线BA和抛物线上，且PFiiAD.设P（m,4+百）,F

（m,

PF=（V3m+73）•（即时吗,ADSg=1/j如果PF=AD,则

JJJJ.

有：

（bm+6）-（自时+争=J解得mx=0（不符合题熏舍去）,m2=J.

当m=的,PF=AD,存在四边形ADFP是平行四边形.当m=削，

南+港=¥，

"点的坐标是啧苧）.

【点评】考查待定系数求抛物线解析式，折0图形的对称问题，辅助场的作法也

很独特，考查的知识点很全面,是一道综合性题型.

©题4

变式练习:（2011年苏州28题）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以

AB为直径在正方形内作半圆,P是半图上的动点（不与点AB重合），连接PA

PB.PC、PD.

⑴如图①，当PA的长度等于时，zPAB=60°;

当PA的长度等于时，PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为身轴、AD边所在直线为y轴,增立如国

变式练习：【考点】相似三角形的判定与住质;二次函数的£值;正方形的性质；

圆周角定理；解・角三角形•【专题】几何壕合题;数形结合；方程思想.

【分析】（1）由ABMS,可J|-APB=90・,然后利用三角函数即可求图PA

的长；当PA=PB时,PAB是等厦三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定

理即可求得答案.（2）过点P分别作PE1AB.PFiAD.垂足分别为E.Fg

长FP交BC于点G,则PGJ.BJP点坐标为(a,b),PE=b,PF=a,PG=4

-a，利用矩形面积关系与二次函数的知识即可求簿答案.

【解答】解：(1)若-PAD=60・，W^PAB=30\AB是直径,.，APB=9(T,

则在RtPAB中,PA=cos30.AB=26,.•当PA的长度等于2,△的.z

PAD=60*;

若PAD是等国三州形.当PA=PD时，此时P位于四边彬ABCD的中心，

设点P作PE，AD于E,作PM_LAB于M,则四边形EAMP是正方形，

PM=PE=lAB=2,PM,=AM»BM=4,AM*BM=4/AM=2」PA=2我,

2

当PD=DA时，以点D为圆心.DA为半径作BB与亚AB的交点为点P.

连PD,令AB中点为0,再逢DO,PO,DO交AP于点G,则AD(为PD0,

D01AP,AG=PG,.•AP=2AG,又DA=2A0-ADGXAO,

.=5=1,.AG=20G，设AG为2x,0G为x.2x),+x:=4,.J(=

ADAG25

AG=2x=苓，.AP=挈；当PA的长度等于2后8：；』,PAD是等展

三角形；

(2)过点P分别作PhAB,PF1.AD,垂足分别为E,F延长FP交BC于点

G,MPG1BC,

,.P点坐标为(a.b),PE=b,PF=a,PG=4•a,在PAD,-PAB及PBC

中,

Sj=2a,Sj=2b,S,=82a,AB为■径.；xAPB=90*,.PE2=AE-BE,即

b2=a(4a),

.2S1S,•S/=4a(82a)-4bJ=•4a2+16a=-4(a-2)2+16,

当a=2时，b=2,2SS-有毫大值16.

题:

苏州中考题：（2013年・28题）如图，点0为矩形ABCD的对称中心，AB=

10cm,BC=12cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发，沿矩形的边

按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为lcm/s,点F的运动速度为3cm/

s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C（即点F与点CH合）时，

三个点醺之停止运动.在运动过程中，EBF关于直线EF的对称明形是EBF,

设点E,F,G运动的时间为t（单位：5）.

(1)当t=s时,四边形EBFB'为正方形；

(2)若以点E,B.F为顶点的三角形与以点F.C.G为顶点的三角形相似,求t

的值；

(3)是否存在实数t,使得点B.与点。・合？若存在，求出t的值；若不存在,

请说明理由.

答案解析

苏州中考收：(1)2.5;(22=?或-14+2屈；(3)不存在.

q题6

面积与相似：（2012芬州,29）如图,已知抛物线y=：/-：（b+l）x+

是实数且。＞2）与*物的正半轴分别交于点4&点4位于点3的左催）,

与y轴的正半轴交于点U

⑴点8的坐标为,点C的坐标为（用含6的代数式表示）；

。湎探索在第一象眼内是否存在点P,便簿四边形*03的面积等于2b,且

PBC是以点P为直角顶点的等膜宣鲁三角形?如果存在，求出点。的坐标：如

果不存在,请说明理由；

。涵你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使mQCO.QO4和QAB

中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）?如果存在,求出点

Q的坐标；如果不存在.请说明理由.

案解析

面积与相似：解：⑴8（6,0）,C（0,1）;

GXB设存在这样的点P,使得四边形PCO8的面积答于2b,旦夕8c是以点P

为直角顶点的等腰直角三角形.设点夕坐标（*,夕），连接OP.

对、*《»=5*。+$2=""+"k2"二'+4尸16.过P

作P0J.X轴,PEL/轴，垂足分别为D、E.:/PEO=AEOD=4ODP=9QJ

四边形。£。。是矩形.

.N£QO=90・..AQ8C是等腰直角三角形.:.PC=PB.GBPC=9C..；/EPC=N

BPD.

-It

:.PE6PDB.PE^PD,即Jr="由%+：；1”，解得：”[:由PEC

Z=T

a得EC=DB.H^-：=b-与•解得〃=署＞2符合昵意..点〃坐标

（3澜设存在这样的点Q,使得QCO、QN和＜2旧8中的任意两个三角形均

相似*

•：4QAB=LA0Q^4AQ0,:4QAB>“OQXQAB>N4QQ要使得QOA

和Q48相似，只能《04<?=NQ4生90•，即Q4，*轴.b>2../8>OA.:.

«OA>«BA,:4Q0A=4AQ8,此时「"8=90。.由Q4_L*轴知QAny

轴,"COQsOQA.

要使得QO4和“C相似，只能J"69(F18-“C=90・.

(I)当右比白90°时，△QOAiOQC:.AQ=CO=^.由AQ=AQ2=OA•

AB甯：(J)=b-1,解狗：fe=8±4V3..b〉2•力=8+46,：=2+VI

.•点Q坐标为(1,2+b).

(n以“C=90•时go他OCQ.抑OQ2=AQCO.又OQ2H

OAOB..\AQCO=OAOB，m4Q=I也解得：4Q=4,此时b=17>2

符合题意..•点Q坐标为(1.4)…综上可知：存在点<2(1,2+73)28(1,

4),使揖QUO.Q04和Q48中的任熊两个三角形均相似.

"J题7

例4.(广东看湛江市)已知矩形纸片018c的长为4,宽为3,以长所在

的直线为*轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是边上的动点(与

点0A不重合),现将8c沿“翻折遇到PEC,再在48边上选取适当的点

。，将雨。沿户。疆折，得到月初，使得直线。£外■合.

(1)著点£落在8c边上,如图①，求点只C。的坐标，并求过此三点的

抛物线的函数关系式；

(2)若点£落在矩形纸片W8C的内部，如图②，设8=*,4。=y,当身

为何值时，，取得品大值？

(3)在(1)的情况下，过点只C。三点的抛物线上是否存在点Q,使PDQ

是以阳为直角边的自角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的

坐标.

答案解析

例4.【考点】二欠的0综合屋［«K］压轴题；动点型；开放里.

【分析】(1)根据矩形的宽为3即可得出C的坐标为(0.3).当E落在BC边

时,四边形OPEC和四边形PADF均为正方形的住质，那么0P=PE=0C=3.

PA=PF=AD=1.因此P的坐标为(3,0),0的坐标为(4.1).fflWP.

C.D三点的坐标.用得定系做法求出过P.C.D三点的抛物城的解析式(2)

根据析■■质可霉出-CPO=〈CPE，FPD=~APD.由此可辨出-CPD=90・，

由此不唯僵出RtPOC-RtDAP,可根据触OC,OP.PA.AD的比例关

系,蹲出关于X.y的函数关系式.根据关系式即可加出y的■大值以及对应的

x的值（3）可分两裨情况遂行讨论：

①i»PQ是另一条直角边.即-DPQ=90•时,由于-DPC=9（r,且C在抛物自

上，因此C与Q■合，Q点的生标即为c点的坐标.

④专DQ是另一条■角边，即-PDQ=90•时那么此时DQIIPC.如果将PC

所在的■模向上平移商个单位，即可价出蟠DQ所在直纹的第析式.然后联立

■线DQ的解析式以及抛物绶的解析式组成方程组，如果方程组无篇，剜说照不

存在这棒的Q点，如果方程缗有解,那么方程组的解即为Q的坐标.编合上述

两裨情况即可狗出符合条件的Q的坐标.

修：(1)由眩童知，POC.PAD为等||街角三角形，露P(3,0),C(0,

3),D(4,1),

GH

设过此三点的物”为2

JIy=ax*bx+c(a*o),w9sM:R•/.j1

E

过P.c.D三点的例物线的函数关系式为y=S2-2+3.

*A

(2)由已知PC平分“PE,PD平分_APF,且PE.PF■合,乩CPD=9(T,

.zOPC=APD=90・,又JAPD\ADP=90°..<OPC=」ADP..RtPOC

-RtDAP.

答学丐.¥(47)=•呆+/=-1(X-2)2+^(0<X

当x=2时.y有■大值?.

(3)便设存在，分而情况讨论:

①当-DPQ=90•时，由同■可知-DPC=90・，且点C在抛物线上.

故点C与点Q■合，所求的点Q为(0,3)

④当-QDP=90‘时，过点D作平行于PC的gDQ,假设DQ交抛物比

于另一点Q.

点P(3,0),C(0,3),.■>aPC的方程为y=7+3,将■或PC向上平

移2个■位与■线DQ・合，■线DQ的方程为y=•x+5.

由又点D(4,1)..JQ(1,6)，故谖

摘视场上存在两点Q(0.3).(•1,6)蒲足条件.

【点评】本题■■考查了待定系数法求二次函数解析式、图形幅折变换.三触形

相仞等■要知识点，综合性强，能力要求较高.考壹学生分类讨论,数形结合的

数学思想方法.

乱题8

苏州中考IS：(2011年・29|g)已知二欠函敷6一叫"01的图象与¥

轴分别交于点AB,与夕轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如SB①.连接AC,将OAC沿■线AC翻折，着点O的对应点O恰好

落在该抛物线的对称轴上，求实数,的值；

(2)如al①，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,41(4.3).

边HG位于边EF的右侧.“曲同学经过探索后发现了一个正编的命眩：着点P

是边EH或边HG上的任意一点,则四条城段PAPB.PC、PD不能与任何一

个平行四边影的四条边对IS相尊(即这四条碑S不能构成平行四边形若点P

是边EFSK边FG上的任!!一点,用才暗论是否也成立?请你积极探索,并写出

保索过程；

(3)如图①,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标f蜃大于3的常

数，试问：是否存在一个正数a,使律四条线段PA.PB.PC.PD与一个平行

四边账的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说昭理由.

(MD)8)

答案解析i

苏州中考题:【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.

【分析】(1)本题需先求出抛物线与X轴交点坐标和对称轴，再根据_OAC=60°

霭出0C,从而求出a.(2)本题需先分两种情况迸行讨论，当P是EF上任意

一点时，可图PC>PB,从而得出PBwPA,PBwPC,PB#PD,即可求出线段

PA.PB.PC.PD不能构成平行四边形.

(3)本题需先再出PA=PB，再由PC=PD,列出关于t与a的方程，从而甯出

a的值，即可求出答案.

2

[«SlK：(l)«y=0,ffia(x-6x+8)=0,«<|xix2.x2=4;«x=0,

解得y=8a,

.点A.B、C的坐标分别是(2,01(4.01(0,8a).该抛物线对祢轴为

且线x=3,

•-OA=2,如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M.WAM=1,由题意霭:

OA=OA=2,

/.OA=2AM」/0'AM=60・，/OAC=/O'AC=60・:0C=26即8a=2百,

(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立,

①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM,

•.•点E(4,41F(4.3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y轴上，..PB

<4,PC^4,

PC>PB,又.PD>PM>PB,PA>PM>PB,.PB#PA.PB#PC.PB#PD,

此时城段PAPB.PC.PD不能狗成平行四边形，

②设P是边FG上的任意一点(不与点G■合，

点F的坐标是(4,3),点G的坐标是(5,3),.FB=3.GB-V10,3s

PB<VLO,

•.PCN4,..PC>PB,又PD>PM>PB,PA>PM>PB,.PB,PA,PB#PC.

PBwPD,

此时线段PAPB,PC.PD也不能构成平行四边膨；

(3)存在一个正触a,使霭线及PA、PB.PC.PD能构成一个平行四边形.

如图①「；点A,B是抛物或与x轴交点,点P在抛物线对称轴上4..PA=PB,

当PC=PD时，或段PA、PB.PC.PD能构成一个平行四边形.

•••点C的坐标是(0,8a),点D的坐标是(3.a),点P的坐标是(3,t),

.PC2=32+(t•8a)2,PD2=(t+a)a,由PC=PD得PC2=PD2,.32+(t

-8a)2=(t+a)2,

整理霭:7a2-2ta+l=0有两个不相等的实数根，:.

2t±J4t2-28.t±«2-7

147

【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和

分类讨论，把二次函效的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关81.

*题q

例6.(2014•海南)如图,对称轴为直&x=2的抛物域经过A(1.0),C

(0,5)两点，与*轴另一交点为8.已知乂(0,1)/3，0)/(@+1,

0),点P是第一象阳内的抛物线上的动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当a=l时，求四边形MEFP的面枳的鼻大值,并求此时点P的坐标；

(3)SPCM是以点P为顶点的等晟三鲁彬，求a为何值时,四边形PMEF

周长昌小？请说明理由.

答案解析

例6.【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题.

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)首先求出四边形MEFP

面积的表达式然后利用二次函数的性质求出星值及点P坐标(3目边形PMEF

的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将

取得显小值.如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得

Mi(1,1);作点Mi关于x轴的对称点M?,则M?(1,•1)；连接PM?,

与X与交于F点，此时ME+PF=PM?品小•

【解答】解：(1).对称轴为直线x=2，，设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.

«A(-1,0),(：(0,5)代入霭：［9批:0,解得,y=.(x-2)

\4dk=51K9

，9=•/+4x+5.

(2)Ha=lB5,E(l,0),F(2,0),OE=l,OF=2.igP(x,-x2+4x+5),

a

如答图2过点P作PN_Ly轴于点N则PN=x,0N=-x+4x+5r.MN=ON

•0M=-X2+4X+4.

=1(x+2)(-X2+4X+5)•lx*(-X2+4X+4)-lxlxl=-x2+Jx+-=

22222

-(x--2)

416

..当x=渺,四边形MEFP的面积有品大值为器，把x=My=•(T.2)

2+9=些.

16

此时点P坐标为(^，华)•

416

(3).M(O,1),C(O,5),PCM是以点P为顶点的等腰三角形，..点P

的纵坐标为3.

令y=.x2+4x+5=3，解得x=2土a..点P在第一象噩,/.P(2+76,3).

四边形PMEF的四条边中PM,EF长度固定，因此只要ME+PF品小则PMEF

的周长将取霭最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),

作点Mi关于x轴的对新点M?,则M?（1,•1）;连接PM?,与x轴交于F

点，此时ME+PF=PM?最小,设直线PM?的解析式为y=mx+n，将P（2+a,

3）,M?（1,7）代入得：

’⑵加*3，翻：msW6j,n=.±^，..g.驷.

卜mhF-15555

当y=o时，解得X=在£*（近9，0）.>+1=®?,.a=&.

4444

.'4=①时，四边形PMEF周长晶小.

4

【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；鬻（2）问考

变了图形面积计算以及二次函数的雕；第（3）问主要考蜜了轴对称■品底g

线的性质.试题计时偏大，注■认真计算.

*题s

变式练习.(四川省眉山市)如图,已知直线y=[1与，轴交于点4,与*

轴交于点。抛物线八1-+加+。与直线六)+1交于4£两点，与身

轴交于8、C两点,且8点坐标为(1,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)动点P在*轴上移动，当必1£是直角三角形时,求点P的坐标：

(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|4例-的值国大，求出点朋的坐

标.

答案解析

即E点的坐标（m+l）又.点E在直线r=+l上

.="一"+1・9+1解得叫・0（舍去），叱・4,，E的坐标为（4,3）

（I）当人为亶角顶点时，过A作APjDE交x轴于PI点，设A（a,O）,易

知D点坐标为（-2,0）,由RtAOD-RtPOA得：空=巴即匚=1，,a

OAOr1a

（n）同理，当E为直角顶点时,P2点坐标为（?，0）

（皿）当P为■角顶点时，过E作EF，x轴于F,设PNM3）由一OPA+N

由崇OP.Ib

FPE=90*,^OPA=zFEPRtAOP-RtPFE.方.口

解得n・3,a■1

此时的点P,的坐标为（1,0）或（3,0）

综上所述，满足条件的点P的坐标为（；，0）或（1,0）或（3,0）或（色，

0）

（3）抛物线的对祢轴为r9分）.B、C关于X=：：对称MC=MB

要便（r大即是使-”8国大.由三角形两边之差小于第三边得,

当A.B、M在同一点线上时AM-MB的值且大.

一________卜・r+l

易知且线AB的解折式为.•由3图-•，（：，•：）

x--5I22

©题

/相切于点A,点"是直径48左他半圆上的动点，过点，作直线/的垂线，垂

足为C”与。。交于点。，连接畋阳，设PC的长为"2<”<4）.

⑴当*=：时，求弦区08的长度；

（2）当身为何值时,PDCD的值晶大？R大值是多少？

千案解析］

苏州中考18:解：⑴00与直线/相切于点A.48为。0的直径，:AB5

文PC。，：.AB\\PC:/CPA=4PAB.为。0的直径，"4月8=90・二

£PCA=LAPBQPCASAPB.:^=搐,即P*=PCAB.PC^,48=4,

:.PA=*4=VT5..,在Rt408中，由勾股定理得：PB=vl6-10=V6.

。应0作OELPD,垂足为£..P。是。。的弦，OFLPD,:.PF=FD.在矩

形0£。中,C£=04=2jP£=£P=*-2.：.CD=PC-PD=x-2(x-2)=

4-x.

:.PDCD=2(x-2)(4-x)=-2^+12x-16=-2("3)?+2./2<

x<4,.当r=3时，P。CD有品大值，最大值是2.

尻切题

例7.(湖南省株洲市)如图，已知48c为直角三角形，"C8=90。，AC=

BC.点4C在x轴上，点8的坐标为(3,m)(m>0),线段48与y轴相交

于点。，以外1,0)为顶点的抛物线过点艮D.

(1)求点4的坐标(用6表示)；

(2)求抛物线的解析式；

(3)设点Q为抛物线上点夕至点8之间的一动点，连结PQ并延长交8c于点

E,连结8Q并延长交4U于点F,试证明：项4。+为定值.

千案解析I

例7.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点里.

【分析】(1)AO=AC-OC=m-3，用蝙的长度表示点A的坐标;(2)/ABC

・

是等股角三角形，.，AOD也是等股直角三角形,.OD=OA,.-.D(0(m-3).

又P(1.0)为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；(3)设Q(x,K-2x+l).

过Q点分别作x轴，y轴的垂线,运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m.代

入即可.

【解答】(1)解：由B(3,m)可知0C=3,BC=m,又ABC为等腰直角三

角形，

,AC=BC=m,OA=m-3..,.点A的坐标是(3-m,0).

(2)H:vzODA=zOAD=45e,..OD=OA=m-3,则点D的坐标是(O.m

•3).

又抛物线顶点为P(l,O),且过点B.D，所以可设抛物镇的解析式为：y=a(x

•l)a.

2

得：'丁解符抛物线的解析式为y=x?-2x+l；

a(0-1)2=B-3I—

(3)证明：过点Q作QM，AC于点M,过点Q作QNJ.BC于点N,

设点Q的坐标是(x,x?-2x+l),则QM=CN=(x•1)2,MC=QN=3-x.

•••QMuCE,.•“PQMsPEC,.•笔金即！=)-=二，得EC=2(x-1)

ECPC.EC2

QNilFC,BQN-BFC,.嘿畿(丁)”，所，号

RAC=4,..FC(AC+EC)=-^-[4+2(x•1)]=-£(2x+2)=-±x2x(x+1]

Hlx41

=8

即FC(AC+EC)为定值8

【点评】本题考查了点的坐标，抛物”解析式的求法,综合运用相似三角杉的比

求城段的长度，本题也可以先求gPE.BF的篇析式，利用解析式求FC.EC

的长.

变式练习:(2012江苏苏州，28,9分)如图，正方形48。的边4。与矩形

日石”的边的重合，将正方形48。以lcm/s的速度沿用方向移动，移动

开始前点A与点下亶合.在移动过程中，边人。始终与边的©合，连接CG.

过点4作CG的平行线交线段GH于点P,连接夕。.已知正方形48。的边长

为1cm,矩形EFGH的边AG、GV的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间

为*(s),线段GP的长为y(cm),其中04*s2.5.

⑴试求出y关于*的函数关系式，并求出y=3时相应X的值；

(2况OGP的面积为”，CDG的面积为试:说明51-5?是常数；

⑴当嫄月。所在■线与正方形48。的对角线4c垂直时,求线段夕。的长.

//

案解析

变式练习*^.CG\iAP^CGD=^PAG^an^CGD=tanzP4G..

rGDAG

•:GF=4,CD=DA=1,AF=x,:.GD=3-x,4俳4-*•.在==，即丫=

••丁关于x的函数关系式为y=咨当N=3时，==3,解霭:*=2.5.

0）；5|=|GPGD=7'77（3-X）=^7~•