转化与化归思想静安新王牌高中数学寒暑假补习班

第二轮复习第三讲：转化与化归思想（教师版）学习目标：（1）理解转化与化归思想，并能灵活运用；掌握转化与化归常见题型；掌握转化与化归常用方法技巧；知识储备：在高中数学学习中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。1．化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一个新问题（相对来说,对自己较为熟悉）通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的．2．转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其思维过程的形式如图．解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一．3．转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性．转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次．而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性．4．化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也是目标向问题靠拢的过程．5．化归思想有着客观的基础，它着眼于揭示内在本质联系，实现转化与化归，通过矛盾的转化，达到解决问题的目的．6．化归转化思想方法要遵循以下原则：（1）目标简单化原则，即越转化，问题越简单，越利于解决问题；（2）和谐统一原则，即转化和化归应满足目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统一使问题的条件和结论更均匀和恰当，使待解决问题在表现形式上，越发趋于和谐；（3）具体化原则，化归方向越具体，越有利于问题的解决；（4）回归原则，无论怎么转化，无论转化为什么新的问题，都是手段，不是目的，最终的目的是解决原始问题．因而，最后要回归到原始问题上来，否则，劳而无功．7．数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，这三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现．各种变换方法，分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段．可以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂．世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。题型归纳：1、等与不等的相互转化2、正与反的相互转化3、特殊与一般的相互转化4、整体与局部的相互转化5、高维与低维的相互转化6、数与形的相互转化7、函数与方程的转化8、常量与变量的转化方法总结：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。经典例题：题型一等与不等的转化与化归例1、若直线通过点，则 （） A． B． C． D．分析：点是单位圆上的点，，则可以通过直线与单位圆的位置关系来转化。，当然也可以把直线看作等式或看作向量的数量积来解答。 解法一：由题意知直线与圆有交点，则． 解法二：设向量，由题意知 由可得答案:D【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题。变式训练1已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m（m是正常数），求b的取值范围．解：方法一设三个实数为由a+b+c=m,得 方法二因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac, 又a+b+c=m,所以则a、c是关于x的方程x2-（m-b）x+b2=0的两个实数根,所以Δ=［-（m-b）］2-4b2≥0,例2、已知都是实数，且求证：。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求与之间的关系。解：，。又，且即。点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决。题型二正与反的转化与化归例1、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个。 分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。 所有四位数有＝300个，末位为0时有＝60个， 末位为5时有＝48个，∴满足题意的数共有300－60－48＝192个。 点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。变式训练2试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分． 解由题意可知，m≠0，所以设抛物线上两点关于直线y=m（x-3） 对称，于是有：因为存在x1∈R使上式恒成立，即12m3+2m2+1＜0,也即（2m+1）（6m2-2m+1）＜0． 因为6m2-2m+1＞0恒成立,所以2m+1＜0,所以． 即当时,抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称． 所以当时,曲线y=x2的所有例2、已知函数在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。解：（法一）当函数在（0，1）内没有零点时在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，.而当（0，1）时，，得。要使，必有故满足题设的实数的取值范围是（法二）设，对称轴为，注意到，故对称轴必须在轴的右侧。(1)当时，即，有，此时；(2)当时，有此时有。综合（1）（2）得实数的取值范围是点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。题型三特殊与一般的转化一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例1、已知向量，若，满足，则的面积等于。分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由条件可得。利用特殊值，如设代入，则，故面积为1。例2、已知函数,求的值.分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系.解:===于是==点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。题型四数与形的转化许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。例1、求函数的最大值和最小值。分析：令，转化为关于的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨讨论可得。解：.设则，并且。当时如图。有当时，,为和中的较大者，即或.当时，有。点评：通过换元降三角问题转化为较为熟悉的二次函数问题，利用二次函数图像结合分类讨论，使问题得到解决。o-2xy2例2、设对于任意实数o-2xy2总有意义，求实数的取值范围。解法一：有意义，有，即在时总成立，设，即当时，总成立。依抛物线的特征，将其定位，有解得：oxyoxy13510只要的最大值即可。设,,的图象如图，可知的最大值为，故最小值为.故[点评]通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数的不等式组，从而求出的范围。解法二是通过分离参数的方法，再通过换元，利用函数的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。题型五常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例1、已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点.分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b).解：设点()在曲线上,则整理得①可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。例2、对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_______分析：对于例2：我们也可以转化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：略解：令为关于a的一次函数，由图像知或x＜1或x＞3例3：设的实数，则的取值范围是：___________分析：把看作是关于的二次方程，则利用△≥0求解的范围。略解：把看作是关于的二次方程，因为的实数，所以方程有解。∴△=≥0∴｛x|x≤-2或x≥3｝题型六函数与方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围.例1、若关于x的方程有实根，求m的取值范围．解法一（从方程的角度）：设则问题转化为方程在内有实根，设其对称轴且得解法二（从函数的角度）：其中归纳：对可化为或的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．变式3：已知为定义在实数集R上的奇函数，且在上是增函数．当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：由是R上的奇函数可得又在上是增函数，故在R上为增函数由题设条件可得又由为奇函数，可得是R上的增函数，即令，于是问题转化为对一切，不等式即恒成立，又，∴存在实数m满足题设的条件，归纳：利用函数的奇偶性和单调性化复简，通过换元化陌生为熟悉（函数、方程、不等式）若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．分析:运用补集概念求解解答：设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。例3(1)定义运算：(ab)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(ab)⊗x<0的解集为{x|1<x<2}，则关于x的不等式(ba)⊗x<0的解集为；(2)已知函数α,β满足，求的值。解析(1)1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－eq\f(b,a)，1×2＝eq\f(2,a)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，))由(－31)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，得3x2－x－2>0，解得x<－eq\f(2,3)或x>1.解析：（2）构造函数则有又在R上是单调递增的奇函数，且故题型七整体与局部的相互转化整体是由局部组成的，研究某些整体问题可以从局部开始。例1、设都是整数，证明：。这是一个多元不等式，从整体上考虑，很难入手，可以先考虑局部：，依次类推，可得出结论。解：∵∴将以上各式相加即得：。本题在分析解题思路时，如果缺乏整体与局部相互转化的意识，而从整体上直接入手，就会导致思维受阻，因此，掌握了这种思维方法，就可以把一个复杂的问题转化为一个或几个简单的问题。例2、设为四个互不相等的实数且满足。求证：解析：四元情形不好处理，可以先考虑少元情形。先考虑两元情形，为此考虑命题：设为不相等的的实数且满足。求证：。=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④得，互不相等。题型八高维与低维的相互转化事物的空间形式总是表现为不同维数，并且遵循由低维到高维的发展规律，通过降维转化，可以把问题由一个领域转化到另一个领域得到解决，这种问题在复数和立体几何中非常多。SABCDSABCDEHM图2SSBACDEFG图1本题是一个立体几何问题，若将侧面沿着SA剪开，展开铺平，则蚂蚁行进路线变为平面图形中的线段问题，如图2，作SH⊥AM，H为垂足，则AH的长即为所求。解：如图2所示的四棱锥侧面展开图中，在ΔSAM中，SA=3cm，SM=cm，∠ASM=，由余弦定理得：作SH⊥AM于H，由面积关系得：∴SH=cm。这个题如果不把立体问题转化成平面问题，而直接求解，则找离顶点最近的点就容易出错，因此，将立体问题转换成平面问题是解立体几何的一条基本思路，利用立体图形的侧面展开图可以解决这类沿侧面饶行最短线问题。例2、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．分析：这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.点评：此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．巩固新知：1、（1）若f(x)=ax+3-a的图像在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则a的取值范围是。（2）当a∈R时，方程|3x+5|=ax+b恒有实数解，则b的取值范围是。这两个问题都是求参变量的取值范围，可结合图形及一次函数的性质转化为解不等式。解：（1）f（x）的图象是一条直线，在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则f（0）·f（1）＜0，则a＞3。（当a=0时不合题意）（2）方程|3x+5|=ax+b恒有实数解，即曲线y=|3x+5|与直线y=ax+b恒有交点，由图可知b≥5时，方程恒有实数解。2、求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m(x－3)对称的两点，求m的范围。解：抛物线y=x2上存在两点（x1，xeq\o(\s\up11(2),\s\do4(1))）和（x2，xeq\o(\s\up11(2),\s\do4(2))）关于直线y=m(x－3)对称，则即消去x2得∴存在∵上述方程有解∴△=＞0∴＜0，从而m＜因此，原问题的解为｛m|m≥｝3、若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋2))x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．解析g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥eq\f(2,x)－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥eq\f(2,t)－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤eq\f(2,x)－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤eq\f(2,3)－9，即m≤－eq\f(37,3).所以，函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－eq\f(37,3)<m<－5.4、设试判断的单调性；若的反函数为，证明只有一个解；解关于x的不等式。解析：（1）判断函数单调区间可以用定义、导数、图象及复合函数的判断法则，但所给函数为具体函数时用导数比较方便；（2）如果是单调函数，则也是单调函数，显然只有一解，但作为证明不容易说明，可以利用反证法；（3）考虑到，可以利用（1）的结论处理。解：（1）的定义域是，∵∴，∴在（-1，1）上是减函数。（2）证明：∵，∴，即是的一个解。设是的解，则∴与矛盾。∴只有惟一的实数解（3）由（2）知，∴，又∵在上是减函数，∴解得或不等式的两边只有都在f的作用下，才能够利用函数的单调性脱掉“f”，即创造条件利用函数的单调性；当脱掉“f”后自变量必须落在单调区间内。5、如图，已知动圆与直线y=-3相切并与定圆内切。（1）记动圆圆心的轨迹为曲线C求曲线C的方程；11-1-1-3（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于第一象限一点，又过作斜率为的直线叫曲线C于，再过作斜率为的直线于，……，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线叫曲线C于点，设点，①令，求证：数列是等比数列；②设数列的前n项和为，试比较与的大小。11-1-1-3本题首先要仔细审题，先求C的方程，再证明是等比数列，最后比较大小。解：（1）设动圆圆心C（x，y），由题意得：，化简得圆心轨迹方程为：（2）①∵，在曲线C上，PAGEXXX∴，，又∵直线的斜率为，∴，即，得，∴则，所以数列是以为公比的等比数列。②由①知，则，所以，因此只需比较与3n+10的大小即可。当n=1时，4＜13，∴；当n=2时，16=16，∴；当n=3时，64＞19，∴；ABCDABCDA1B1C1D1此题综合了相当多的基础知识和解题技巧，对灵活运用知识和技能也提出了较高的要求。6、如图，平行六面体中，AB=BC，，当为何值时，⊥面。本题是一个立体几何问题，利用线面垂直的判定定理可以证明，但是有困难，很麻烦，可以转化成向量问题，利用向量运算解决问题。解：设，|AB|=|BC|=1，∵AB=BC，ABCD为菱形，∴DB⊥AC，∵，要使，只要，而，∴，解得：x=1或x=-1-cosφ（舍去）∴=1时，⊥面。向量方法是解决立体几何问题的重要方法，也是把形的问题转化成代数运算的有效途径。7、设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=___________.分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解：∵∴(a1≠0)∴q=－2或q=0（舍去）8、设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥B—PAQC的体积为：A．VB．VC．VD．V分析：P、Q运动四棱锥B—PAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况9、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝________.解析(1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，代入所求式子，得eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(\f(4,5)＋0,1＋\f(4,5)×0)＝eq\f(4,5).10、(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．(2)设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为解析(1)设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a得a＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,t)))，∵t>0，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,t)))≤－4，∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8]．(2)∵f(x)在R上是增函数，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)，可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]，∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0恒成立，解之，得x≥0或x≤－1.故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.11、如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为eq\r(π2＋9)．解析：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段AP，则AB＝π，BP＝3，AP＝eq\r(π2＋9).12、若不等式对一切均成立，试求实数x的取值范围.解：，令则要使它对均有只要有，13、已知平面上的直线l的方向向量，点(0，0)和A(1,－2)在l上的射影分别为，若则λ为（）A．B．－C．2D．－2分析：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。略解：设l:则可得∴即，=－2求函数的最小值。解析：直觉观察，对右边变形，可化为，其特征可以使我们联想到复数的模，向量的模以及两点间距离公式，这些确定了化归方向。令则，“”成立条件与共线，易得时，。利用向量法差不多，余同。或，记当三点共线时“”成立，。15、在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________解析：根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等。即得体积值为：。16、（1）ABC的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为H，＝m（＋＋），则实数m＝＿。（2）某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。解：（1）分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC是以∠A为直角的直角三角形，则为斜边BC上的中点，H与A重合，＋＋＝＝，于是得出m＝1。点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。（2）分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解解：他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14∴他至少射击击中目标1次的概率为1－P1=1－0.14=0.9999（1）若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）（A）x2＋x－（B）x2＋x＋（C）x2－（D）x2＋（2）已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。A.B.10C.D.解：（1）分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。（2）由和三棱锥的等体积转化法易得。（1）若，则满足的的取值范围是.（2）已知曲线，直线.若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为.解析：（1）数形结合课出答案，（2）由题意易得是中点，即，（1）设是边长为1的正方形所在平面上的动点，求在什么位置时，取得最小值。（2）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围解析（1