选修12讲义精练阶段质量检测（二）

(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．观看一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，那么式子3⊗5是第()A．22项 B．23项C．24项 D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“eq\r(2)＋eq\r(3)是无理数〞时，假设正确的选项是()A．假设eq\r(2)是有理数 B．假设eq\r(3)是有理数C．假设eq\r(2)或eq\r(3)是有理数 D．假设eq\r(2)＋eq\r(3)是有理数解析：应对结论进行否认，那么eq\r(2)＋eq\r(3)不是无理数，即eq\r(2)＋eq\r(3)是有理数．答案：D3．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线局部是演绎推理的()A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论解析：由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：∠A<∠B；结论为a<b，应选B.答案：B4．设a>0，b>0，那么以下不等式中不恒成立的是()A．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD.eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)解析：∵a>0，b>0，对于A，(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥2eq\r(ab)·2eq\r(\f(1,ab))＝4，故A恒成立；对于B，a3＋b3≥2ab2，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，那么B不成立；对于C，a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；对于D，假设a<b，那么eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)恒成立，假设a≥b，那么eq\r(|a－b|)≥eq\r(a)－eq\r(b)⇔a－b≥a＋b－2eq\r(ab)⇔2b－2eq\r(ab)≤0⇔b≤eq\r(ab)，由于a≥b>0，明显b≤eq\r(ab)成立．答案：B5．观看以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：记an＋bn＝f(n)，那么f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观看不难发觉f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，那么f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C6．观看以下各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，那么72015的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16807,76＝117649,77＝823543，78＝5764801，…∴7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z，且n≥5)的末两位数为f(n)，那么f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)，∴72015与73的末两位数相同，均为43.答案：B7．将平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得以下结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：平面对量的数量积的运算满意交换律和安排律，不满意结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．答案：B8．a>0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，那么a的值为()A．n2 B．nnC．2n D．22n－2解析：由x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝x＋eq\f(22,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝x＋eq\f(33,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(nn,xn)≥n＋1，故a＝nn.答案：B9．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排解B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排解D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排解C选项，应选A.答案：A10．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．假设它停在奇数点上，那么下一次只能跳一个点；假设停在偶数点上，那么跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在的点是()A．1 B．2C．3 D．4解析：青蛙第一次跳后停留在1点，其次次跳后停在2点，第三次跳后停在4点，第四次跳后又停在1点，以此类推，循环下去．∵2018＝3×672＋2，∴2018次跳后将停在2点．答案：B11．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，那么△ABC的内切圆半径为r＝eq\f(2S,a＋b＋c).将此结论类比到空间四周体：设四周体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，那么四周体的内切球半径为r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：设四周体的内切球的球心为O，那么球心O到四个面的距离都是r，所以四周体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．那么四周体的体积为V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形〞，它们是由整数的倒数组成的．eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……第n行有n个数且两端的数均为eq\f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，那么第10行第4个数(从左往右数)为()A.eq\f(1,360) B.eq\f(1,504)C.eq\f(1,840) D.eq\f(1,1260)解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、其次个数分别等于eq\f(1,8)，eq\f(1,7)－eq\f(1,8)，第9行的第一个数、其次个数、第三个数分别等于eq\f(1,9)，eq\f(1,8)－eq\f(1,9)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,8)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))，第10行的第一个数、其次个数、第三个数、第四个数分别等于eq\f(1,10)，eq\f(1,9)－eq\f(1,10)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,10)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,8)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)－\f(1,9)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,10)))))＝eq\f(1,840).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，总分值20分．把答案填写在题中的横线上)13．在△ABC中，D为BC的中点，那么eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________________．答案：在三棱锥A­BCD中，G为△BCD的重心，那么eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))14．用火柴棒摆“金鱼〞，如下图：依据上面的规律，第n个“金鱼〞图需要火柴棒________根．解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…所以可以猜想，第n个“金鱼〞图需要火柴棒的根数为6n＋2.答案：6n＋215．观看以下式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推想出一个一般性结论：对于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.答案：n216．如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×eq\f(R＋r,2)为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，假设将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M的面积为πr2，由类比学问可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r的圆为底面，以圆心为O、半径为d的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.答案：2π2r2d三、解答题(本大题共6小题，总分值70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜想凸n(n>3，n∈N＋)边形对角线的条数f(n)，并证明所得结论．解：由题意得当n＝4时，f(4)＝2＝eq\f(4×1,2)；当n＝5时，f(5)＝5＝eq\f(5×2,2)；当n＝6时，f(6)＝9＝eq\f(6×3,2)；…，由此猜想f(n)＝eq\f(nn－3,2)，即凸n(n>3，n∈N＋)边形有eq\f(nn－3,2)条不同的对角线．证明：由于凸n(n>3，n∈N＋)边形中从每一个顶点动身的对角线有(n－3)条，所以从全部的顶点动身的对角线有n(n－3)．又每条对角线都被数了两次，所以凸n(n>3，n∈N＋)边形的对角线的条数为eq\f(nn－3,2).18．(本小题总分值12分)△ABC的三条高分别为ha，hb，hc，r为内切圆半径，且ha＋hb＋hc＝9r，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a，b，c，故只需证a＝b＝c.由于ha＝eq\f(2S,a)，hb＝eq\f(2S,b)，hc＝eq\f(2S,c)，其中S为△ABC的面积，所以ha＋hb＋hc＝2Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c))).又由于S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，ha＋hb＋hc＝9r，所以(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))＝9.所以a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0.将上式分解因式，得a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0.由于a>0，b>0，c>0，所以(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0.所以a＝b＝c.∴该三角形为等边三角形．19．(本小题总分值12分)如下图，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明：假设AC⊥平面SOB，由于直线SO在平面SOB内．所以SO⊥AC.由于SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.由于AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圆O，这明显与平面SAB与底面圆O相交冲突，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．20．(本小题总分值12分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)21．(本小题总分值12分)数列{an}中，Sn为其前n项和且Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，a1＝1，(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝eq\f(an,2n)(n∈N＋)，求证：数列{cn}是等差数列．证明：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N＋)．即an＋2＝4an＋1－4an.变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．∵bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，∴bn＋1＝2bn.∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝4a1＋2＝6，即a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝5－2＝3.∴bn＝3·2n－1.由此可知，数列{bn}是以3为首项，公比为2的等比数列．(2)∵cn＝eq\f(an,2n)(n∈N＋)，∴cn＋1－cn＝eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(an＋1－2an,2n＋1)＝eq\f(bn,2n＋1)，将bn＝3·2n－1代入，得cn＋1－cn＝eq\f(3,4)(n∈N＋)．又c1＝eq\f(a1,2)＝eq\f(1,2)，由此可知，数列{cn}是首项