熊伟运筹学(第版)第二版课后习题答案

目录

教材习题答案..................................................错误！未定义书签。

习题一.......................................................................1

习题二.....................................................................28

习题三.....................................................................38

习题四.....................................................................40

习题五.....................................................错误！未定义书签。

习题六.....................................................错误！未定义书签。

习题七.....................................................错误！未定义书签。

习题八.....................................................错误！未定义书签。

部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。

习题一

1.1讨论下列问题:

（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7

台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化.

（2）在例1.2中，如果设为（j=l,2,7）为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如

何变化.

（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思

路.

（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1%,模型如何变化.

（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不

超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化.

1.2工厂每月生产A、8、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品

利润如表1—22所示.

表1—22

ABC资源限量

材料（kg）1.51.242500

设备（台时）31.61.21400

利润（元/件）101412

根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该

问题的数学模型，使每月利润最大.

【解】设司、加、心分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为

maxZ=IO%]+14x2+12.

1.5x,+1.2X2+4X3<2500

3须+L6X2+L2^3<1400

150<%,<250

260<x2<310

120<x3<130

xt,x2,x5>0

1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1一

23所示：

表1一23窗架所需材料规格及数量

型号A型号B

长度长度

数量（根）数量（根）

每套窗架需要（m）（m）

材料A1：1.72B|：2.72

A2：1.33B[：2.03

需要量（套）200150

问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少.

【解】第一步：求下料方案，见下表。

方案一二三四五七八九-1-—.十二十三十四需要量

Bl:2.7m21110000000000300

B2:2m01003221110000450

Al:1.7m00100102103210400

A2:1.3m01120010130234600

余料0.600.30.700.30.70.610.10.900.40.8

第二步：建立线性规划数学模型

设芍（产1,2,…，14）为第j种方案使用原材料的根数,则

（1）用料最少数学模型为

14

minZ=£xj

j=i

2%+x2+x3+x4>300

x2+3X5+2X6+2X7+/+X9+x10>450

<+x6+2xs+xg+3x]]+2x]2+xl3>400

+/+为+

x2+x3+2X43x10+2xn+3X13+4x14>600

Xj20,4=1,2,…,14

用单纯形法求解得到两个基本最优解

X⑴=（50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;Z=534

X⑵=（0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0）;Z=534

（2）余料最少数学模型为

minZ=0.6再+0.3x3+0.7x44••一+0.4x13+0.8xl4

2x1+x2+x3+x4>300

XXX

x2+35+26+27++xQ+x10>450

<x3+x6+24+x9+3xn+2X12+x13>400

X

x2+x3+2X4+七+/+3X|o+212+3玉3+4x14>600

x.>0,j=l,2,--,14

用单纯形法求解得到两个基本最优解

X⑴=(0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料550根

X(2)=(0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料650根

显然用料最少的方案最优。

1.4A、8两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2

小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时.可供利用的前道工序有11小时，后道工

序有17小时.

每加工一个单位产品8的同时，会产生两个单位的副产品C,且不需要任何费用，产品C一部分可出售赢

利，其余的只能加以销毁.

出售单位产品A、B.C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费为1元.预测表明，产品C最多

只能售出13个单位.试建立总利润最大的生产计划数学模型.

【解】设Xg分别为产品A、B的产量，X3为副产品C的销售量内为副产品C的销毁量，有X3+X4=&2,Z

为总利润，则数学模型为

maxZ=3玉+7x2+2x3-x4

%+2X2<11

2X]+3X2<17

—

<2x2+尤3+4—0

23

Xj20,j=1,2,…,4

1.5某投资人现有下列四种投资机会，三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资：

方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，•年结算一次，年收益率是20%,下一年可继续将本息投入

获利；

方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50%,下一年可继续将本息投入

获利，这种投资最多不超过2万元；

方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60%,这种投资最多不超过1.5

万元；

方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30%,这种投资最多不超过1

万元.

投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.

【解】设殉为第，年投入第j项目的资金数，变量表如下

项目一项目二项目三项目四

第1年孙X12

第2年切工23

第3年131工34

数学模型为

maxZ=0.2再1+0.2x21+0.2x31+0.5x12+0.6x23+0.3x34

X”+/<30000

—1.2xu+x2l+x23<30000

—

—1.5X121.2X2I+孙+X34-30000

■xn<20000

x23<15000

x34<10000

x,.>0,/=l,-,3;j=l,-4

最优解X=（30000,0,66000,0,109200,0）；Z=84720

1.6IV发展公司是商务房地产开发项目的投资商.公司有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及

购物中心，各项目不同年份所需资金和净现值见表1—24.三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目

所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值.例

如，公司按10%投资项目1,现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现

值450万.

公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，

三年后1500万.当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用.

IV公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大.

表1一24

10%项目所需资金（万元）

年份

项目1项目2项目3

0400800900

1600800500

2900800200

3100700600

净现值450700500

【解】以1%为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表（2）。

表(2)

每种活动单位资源使用量（每个百分点投资的累计数）

年份

项目1项目2项目3累计可用资金（万元）

04080902500

11001601404500

21902401606500

32003102208000

净现值457050

设另为/项目投资比例，则数学模型:

maxZ=45X(+70x2+50x3

40%+80x,+900%3-2500

100X]+160x,+140X3<4500

<190x,+240X2+1609-6500

200X,+310X2+2209《8000

x.>0,j=1,2,3

最优解X=(0,16.5049,13.1067)；Z=1810.68万元

实际投资

年份项目2比例：项目3比例：

项目1比例：0累计投资（万元）

16.504913.1067

001320.3921179.6032499.995

102640.7841834.93844乃.722

203961.1762097.0726058.248

305116.5192883.4747999.993

净现值01155.343655.335

1.7图解下列线性规划并指出解的形式:

maxZ=-2xi+x2

x,4-x2>1

(1)：、1

J玉_3X22-]

2>0

minZ=-x1-3x2

2x.-x,2—2

2)一

<2%j4-3X2<12

x]>0,x2>0

【解】最优解X=(3/4,7/2)；最优值Z=-45/4

maxZ=玉+%

3玉+8X2<12

(4)Xj4-x2<2

2x}<3

X),x2>0

【解】最优解X=(3/2,1/4)；最优值Z=7/4

X{-X2>2

⑸%1>3【解】最优解X=(3,0)；最优值Z=3

々46

x19x2>0

maxZ=X]+2X2

Xj-x2>2

(6)%)>3

x2<6

xpx2>0

M+2X2>6

⑺，c

<x,+x2<2

x,,x2>0

【解】无可行解。

3.00

maxZ=2.5玉+2/

2xl+x2<8

(8)0.5%]<1.5

<

x{+2X2<10

xx,x2>0

【解】最优解X=(2,4)；最优值Z=13

8.00

maxZ=玉+4X2-x3

2x}+x2+3X3<20

(1)

5X1-74+4刍>3

10玉+3占+6尤3>-5

X120/2之°，七无限制

【解】（1）令与=E-芯，14，工5，46为松驰变量，则标准形式为

Xj-X

maxZ=42-X3+X^

2x}+x2+3X3-3x；+x4=20

5%|-7x+4X-4X-x=3

<03,35

-lOxj-3X2-6X3+6七+x6=5

%»2，%；，石，%，七46NO

minZ=9%-3x2+5x3

16xl+7x?-4X3|<20

⑵>5

X1+8%2=—8

*>0,x2>0,x3>0

【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为

maxZ'=一9占+3x2-5x3

6占+7X2-4X34-x4=20

-6%—7%2+4X3+/=20

<玉-4=5

—X]—8%2=8

x1?x2,x3,x4,x5,x6>0

maxZ=2x）+3x2

1<%!<5

⑶

v-X|+x2=-]

%,>0,x2>0

【解】方法1:

maxZ=2%+3x2

玉一项=1

玉+%=5

<

玉-Z=1

x19x2,x3,x4>0

方法2：令X=X—1,有须=X；+1，X<5-1=4

maxZ=2（x；+1）+3x2

x；<4

<一（X；+1）+4=-]

xpx2>0

则标准型为

maxZ=2+2x：+3x2

X+工3=4

v-X4-x2=0

%pX2,x3>0

maxZ=min（3玉+4x2,x]+x2+x3）

X[+2X2+x3<30

（4）4%j-x+2X>15

<23

+%+6%3>-5

X1无约束,%2、%320

【解】令,《3芯+4工2，），〈玉+%+工3，芯二片一《，线性规划模型变为

maxZ=y

y<3（X|-xf）+4x2

y<xy-x2+x3

X-x：+2X2+x3<30

4（尤：-xf）-x24-2X3>15

9（x：-x^）+x2+6X3>-5

XX々、/NO

标准型为

maxZ=y

y-+3尤;-4X2+x4=0

y_x；+x；-x2-x34-x5=0

xx-2X2+x3+x6=30

4x；-4x：-x2+2X3-x7=15

-9x[+9k-x2-6七+4=5

1.9设线性规划

maxZ=5玉+2x2

2%j+3X2+x3=50

<4$一2X2+x4=60

XjNO,j=l,…,4

2

取基4=(跖P3)=1、8,=2°，分别指出坊和以对应的基变量和非基变量，求出基本解，并

'13L40J2|_41J12

说明与、当是不是可行基.

T

【解】Bi：X],X3为基变量，X2,X4为非基变量，基本解为x=(15,0,20,0),B,是可行基。B2：x^4

是基变量，X2/3为非基变量，基本解x=(25,0,0,-40)T,B2不是可行基。

1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的

那一个极点.

maxZ=玉+3X2

-2x}+占W2

(1)■

<2x1+3X2<12

xl9x2>0

【解】图解法

4.00

2.00

1.60

1.20

0.80

0.40

0.004.

0.001.202.403.604.806及单纯形法:

C0)1300

bRatio

C(i)BasisXIX2X3X4

0X3-2[1]1022

0X42301124

C(j)-z①13000

3X2-21102M

0X4[8]0-3160.75

C(j)-z①70-306

3X2010.250.257/2

1XI10-0.3750.1253/4

C(j)-Z(j)00-0.375-0.87511.25

对应的顶点:

基可行解可行域的顶点

X(l)=(0,0,2,12)-(0,0)

炉=(0,2,0,6,)-(0,2)

叱)=(=1,0,0)37

（牙5）

42

最优解X=(；3,；7),Z=4?5

minZ=一3$-5x2

须+2X2<6

(2)Xj4-4X2<10

<一

x,+x2<4

%1>0,x2>0

【解】图解法

单纯形法:

cd)-3-5000

bRatio

Basisc(i)XIX2X3X4X5

X301210063

X401[4]010102.5

X501100144

C(i)・Z(j)-3-50000

X30[0.5]01-0.5012

X2-50.25100.2502.510

X500.7500-0.2511.52

-1.75001.250-12.5

XI-3102-102M

X2-501-0.50.5024

X5000-1.5[0.5]100

cg）-z（j）003.5-0.50-16

XI-310-1022

X2-50110-12

X4000-3120

C(j)・Z(j)00201-16

对应的顶点:

基可行解可行域的顶点

X(l)=(0,0,6,10,4)-(0,0)

X(2)=(0,2.5,1,0,1.5,)-(0,2.5)

烈)=(2,2,0,0,0)⑵2)

X(4)=(2,2,0,0,0)(2,2)

最优解：X=(2,2,0,0,0)；最优值Z=-16

该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。

1.11用单纯形法求解下列线性规划

maxZ=3犬］+4x2+x3

2%+3马+<1

(1)

%,+2X2+2X3<3

x.>0,j=l,2,3

【解】单纯形表:

C①34100

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5

X402[3]11011/3

X501220133/2

C(J)-ZG)341000

X24[2/3]11/31/301/31/2

X50-1/304/3-2/317/3M

co)-z(j)1/30-1/3-4/30-4/3

XI313/21/21/201/2

X5001/23/2-1/215/2

C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-3/2

最优解：X=(1/2,0,0,0,5/2)；最优值Z=3/2

maxZ-2x^+x2-3x3+5x4

x]+5X2+3X3—7X4<30

(2)3%1—x+x+x<10

<234

2x}-6X2-&+4X4<20

Xj>0,j=4

【解】单纯形表:

CO)21-35000

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5X6X7

X50153-710030M

X603-1[1]10101010

X702-6-1[41001205

C(j)-z①21-35000

X509/2-11/25/40107/465M

X605/2[1/2]5/4001-1/4510

X451/2-3/2-1/41001/45M

C(j)-Z①-1/217/2-7/4000-5/4

X50320150111-1120M

X21515/2002-1/21010

X45807/2103-1/220M

C(j)-Z(j)-430-2300-173

因为入7=3>0并且«n<0(£=l,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。

maxZ=3±+2x2

-x1+2X2+3X3<4

⑶4x]-2X3<12

3玉+8X2+4X3<10

%1,x2,x3>0

【解】

c(j32-0.125000

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5X6

X40-1231004M

X50[4]0-2010123

X60384001103.3333

C(j)-z①32-0.1250000

X40022.510.25073.5

XI310-0.500.2503M

X600[8]5.50-0.75110.125

C(j)-z①021.3750-0.7509

X40001.12510.4375-0.256.756

XI310-0.500.2503M

X2201[0.687510-0.09380.1250.1250.181818

C(j)-z①0000-0.5625-0.259.25

X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。

CO)32-0.125000

R.H.S.Ratio

BasisXIX2X3X4X5X6

X400-1.6010.5909-0.45456.54556

XI310.73000.18180.09093.0909M

X3-0.12501.4510-0.13640.18180.18180.1818

C(j)-Z①0000-0.5625-0.259.25

原问题具有多重解。

i773477747

基本最优解*“)=(3,-,0,',0)及乂出=《一,0,—,—,0),;2=二，最优解的通解可表示为

841111114

X=aX(1)+(一)X⑵即

1111811111111

minZ=—2Xj-x2-4x3+x4

玉+2X2+x3-3X4<8

(4)一元2++2X4410

2Xj+7X2-5X3-10X4<20

XjNO,j=l,…,4

【解】单纯形表:

C(i-2-1-41000

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5X6X7

X5012[1]-310088

X600-1120101010

X7027-5-1000120M

C(j)-z①-2-1-41000

X3-4121-31008M

X60-1-30[5]-11020.4

X707170-2550160M

270-11400

X3-4[2/5]1/5102/53/5046/523

X41-1/5-3/501-1/51/502/5M

X7022000517035

C①-z①-1/52/5009/511/50

XI-2I1/25/2013/2023

X410-1/21/2101/205

X7001-50-22124

C(j)-z①01/21/2025/20

最优解：X=(23,0,0,5,0,0,24)；最优值Z=-41

maxZ=3玉+2x2+x3

5%[+4X2+6X3<25

(5)

<8%+6X2+3X3<24

x.>0,j=1,2,3

【解】单纯形表:

c(j)32100

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5

X4054610255

X50[8]6301243

321000

X4000.254.1251-0.62510

XI310.750.37500.1253

C(j)-z①0-0.25-0.1250-0.3759

最优解：x=(3,0,0,9,0)；最优值Z=9

maxZ=5%+6x2+8x3

西+3X2+2X3<50

(6)

+4X+80

23X3<

.G>0,x2>0,x3>0

【解】单纯形表:

C(j,56800

R.H.S.Ratio

Basisc(i)XIX2X3X4X5

X4013[2]105025

X50143018026.6667

C(j)-Z(j)568000

X38[1/2]3/211/202550

X50-1/2-1/20-3/215M

C(j)-z①1-60-40-200

XI51321050

X50011-1130

C(j)-Z(j)0-9-2-50-250

最优解：X=(50,0,0,0,0,30)；最优值Z=250

1.12分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划:

maxZ=10玉一5X2+x3

5X]+3々+工3=10

(1)

-5%!+x2-10x3<15

xj>0,j=W

【解】大M法。数学模型为

maxZ=lOxj-5x2+x3-Mx5

5xj+3X2