2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义7.2.1 任意角的三角函数

文档来源网络侵权删除7．2．1任意角的三角函数【知识点梳理】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010知识点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段．知识点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．【题型归纳目录】题型一：三角函数的定义题型二：判断三角函数值的符号题型三：确定角所在象限题型四：三角函数线的应用题型五：圆上的动点与旋转点【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．例2．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．例3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（

）A． B． C．– D．–变式1．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（

）A． B． C． D．变式2．（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．变式4．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（

）A． B． C． D．变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（

）A． B． C． D．例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（

）A． B．C． D．例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））的值（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不大于0变式6．（2022·江西省万载中学高一期中）设，如果且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点所在的象限是（

）A．一 B．二 C．三 D．四例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若，且，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角变式7．（2022·全国·高三专题练习）若且，则角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式8．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式9．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【方法技巧与总结】确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限．题型四：三角函数线的应用例10．（2022·北京房山·高一期中）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，例11．（2022·江苏·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：（1）；（2）；（3）.例12．（2022·江苏·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合：（1）；

（2）.变式10．（2022·江苏·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.变式11．（2022·全国·高一课时练习）利用单位圆中三角函数线.证明：当时，（1）；（2）．变式12．（2022·江西省临川第二中学高一阶段练习）求下列函数的定义域：（1）；（2）.变式13．（2022·全国·高一专题练习）利用三角函数线证明.【方法技巧与总结】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用．题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（

）A． B．C． D．例14．（2022·全国·高一专题练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（

）A． B．C． D．例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（

）A． B． C． D．变式14．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．变式15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）点在直角坐标平面上位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2022·安徽·高三阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）如图，是自行车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向前直行时（车轮向前顺时针滚动，无滑动），下列描述正确的是（

）A．点在前轮的左下位置，距离地面约为B．点在前轮的右下位置，距离地面约为C．点在前轮的左上位置，距离地面约为D．点在前轮的右上位置，距离地面约为5．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边是轴的非负半轴，终边经过点，若，则（

）A．-2 B． C． D．26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高一）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．8．（2022·四川省邻水县第二中学高三阶段练习（理））若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（

）A． B．C． D．∪二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是A． B．C． D．10．（2022·全国·高一课时练习）[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（

）A．一定时，单位圆中的正弦线一定B．单位圆中，有相同正弦线的角相等C．和有相同的正切线D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上11．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）已知是第二象限角，下列结论正确的是（

）A．B．C．的取值范围为D．若扇形的圆心角，半径，则扇形所含弓形的面积为12．（2022·江苏·高一专题练习）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（

）A．若角的终边过点且，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是______．14．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）若，则x是_____________象限角．15．（2022·陕西·安康市教学研究室一模（理））若函数，则___________．16．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．四、解答题17．（2022·全国·高一课前预习）利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围.(1);(2).18．（2022·湖南·高一课时练习）已知角的终边经过点，其中，求角的正弦、余弦和正切值．19．（2022·全国·高一课前预习）已知角的终边落在射线上，求的值.20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，在