《高等数学》教案 08 二阶常系数非齐次线性微分方程_第1页
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第八节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为(8.1)根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解.上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解.方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项有关，如果要对的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就的两种常见的情形进行讨论.1．，其中是常数，是的一个次多项式：；2．或，其中，是常数，是的一个次多项式.内容分布图示★二阶常系数非齐次线性方程的求解问题★型 ★例1★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★或型★例7 ★例8 ★例9★例10 ★例11★内容小结 ★课堂练习★习题12—8 ★返回内容要点：一、型当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如(8.4)的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根的重数（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取为）.二、或型即要求形如(8.7)(8.8)两种方程的特解.由欧拉公式知道，和分别是的实部和虚部.我们先考虑方程.(8.9)这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过.假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.9)的特解的实部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虚部就是方程(8.8)的特解.方程(8.9)的指数函数中的()是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根.因此方程(8.9)具有形如(8.10)的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根的重复次数.例题选讲：型例1（讲义例1）下列方程具有什么样形式的特解?(1)(2)(3)例2（讲义例2）求方程的一个特解.例3（讲义例3）求方程的通解.例4求微分方程的通解.例5（讲义例4）求方程的特解.例6（讲义例5）求方程的通解.例7求方程的通解.或型例8（讲义例6）求方程的通解.例9（讲义例7）设函数满足求.例10（讲义例8）求以(其中为任意常数)为通解的线性微分方程.例11已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,试确定常数与及

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