人教版高中数学【选修4-4】知识点整理及重点题型梳理

精品文档用心整理PAGE资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学选修4-4知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．2.会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1.直线参数方程的标准形式：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2.参数的几何意义：参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离。当点在上方时，；当点在下方时，；当点与重合时，；要点注释：若直线的倾角时，直线的参数方程为.要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是(t为参数)在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，.（t为参数），斜率为当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量.当≠1时，则t不具有上述的几何意义.可化为令t=则可得到标准式t的几何意义是有向线段的数量.要点四、直线参数方程的应用1.直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：（1）有关弦长最值题型

过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=|t1-t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型

直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0.这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型

若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2.则|FP|·|FQ|=|t1·t2|，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程 例1.（2016春福州校级期中）直线（t为参数）的倾斜角是（）20°B.70°C.110°D.160°【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成，消去t，有，即，所以直线的倾斜角为160°．第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，所以直线的倾斜角为160°，选D．【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。举一反三：【变式1】已知直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角．【答案】关键是将已知的参数方程化为的形式。若化成另一种形式，若2t为一个参数，则，在内无解；而化成时，则得．故直线的倾斜角为．【变式2】求直线的斜率。【答案】∴【变式3】为锐角，直线的倾斜角（）。A、B、C、D、【答案】，相除得，∵，∴倾角为，选C。【变式4】已知直线的参数方程为，的参数方程为．试判断与的位置关系．【答案】解法一：将直线化为普通方程，得y=2x+1，将化为普通方程，得．因为，所以两直线垂直．解法二：由参数方程可知的方向向量是a1=（2，4），的方向向量是a2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0，∴．即两条直线垂直．【直线的参数方程406451例题1】例2．设直线的参数方程为．（1）求直线的直角坐标方程；（2）化参数方程为标准形式．【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正．【解析】（1）把代入y的表达式，得，化简得4x+3y－50=0．所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．（2）把方程变形为，令u=－5t，则方程变为．记，，∴直线参数方程的标准形式是：【总结升华】已知直线的参数方程为（t为参数），由直线的参数方程的标准形式可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为再令，，由直线倾斜角的范围，使在[0，π）范围内取值，并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为（t为参数）．由上述过程可知，一般参数方程中的具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。举一反三：【变式1】写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且求出直线上与点M0相距为2的点的坐标.【答案】直线的标准参数方程为即（t为参数）（1）设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,则|M0M|＝|t|=2,∴t=±2将t的值代入(1)式当t=2时，M点在M0点的上方，其坐标为（－2－，3＋）；当t=-2时，M点在M0点的下方，其坐标为（－2＋，3－）.【变式2】直线的参数方程能否化为标准形式？【答案】是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)令t=得到直线参数方程的标准形式t的几何意义是有向线段的数量.【变式3】化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.【答案】令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0).k＝－=－设倾斜角为，tg=－,=,cos=－,sin=的参数方程为（t为参数）t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由(1)、(2)两式平方相加,得∣t∣＝∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长.类型二、直线的标准参数方程的初步应用例3．设直线过点A（2，－4），倾斜角为．（1）求的参数方程；（2）设直线，与的交点为B，求点B与点A的距离．【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.【解析】（1）直线的参数方程为，即（t为参数）．（2）如图所示，B点在上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离．把的参数方程代入的方程中，得，∴，∴．由t为正值，知．【总结升华】（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式．而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程．（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点．举一反三：【变式1】已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。【答案】。将代入得，则，而，得【变式2】已知直线l1过点P(2，0)，斜率为．(1)求直线l1的参数方程；(2)若直线l2的方程为x＋y＋5＝0，且满足l1∩l2＝Q，求|PQ|的值．【答案】(1)设直线的倾斜角为，由题意知tan＝，所以sin＝，cos＝，故l1的参数方程为(t为参数)．(2)将代入l2的方程得：2＋t＋t＋5＝0，解得t＝－5，即Q(－1，－4)，所以|PQ|＝5．【变式3】求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。【答案】由条件，设直线AA'的参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x=−1−eq\f(2,eq\r(13))t，,y=−2+eq\f(3,eq\r(13))t))(t是参数)，∵A到直线l的距离d=eq\f(5,eq\r(13))，∴t=AA'=eq\f(10,eq\r(13))，代入直线的参数方程得A'(−eq\f(33,13)，eq\f(4,13))。【变式4】已知直线过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线的方程．【答案】设直线的倾斜角为，则它的参数方程为（t为参数）．由A、B分别是x轴、y轴上的点知yA=0，xB=0，∴0=2+tsin，即；0=3+tcos，即．故．∵90°＜＜180°，∴当2=270°，即=135°时，|PA|·|PB|有最小值．∴直线方程为（t为参数），化为普通方程为x+y－5=0．类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用例4.经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点．（1）求弦BC的长；（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；（4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．【思路点拨】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．【解析】取AP=t为参数（P为上的动点），则的参数方程为，代入x2+y2=25，整理得．∵Δ=9(2cos+sin)2+55＞0恒成立．∴方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos+sin），．（1）．（2）∵A为BC中点，∴t1+t2=0，即2cos+sin=0，∴tan=－2．．故直线BC的方程为，即4x+2y+15=0．（3）∵，∴(2cos+sin)2=1，∴cos=0或．∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0．（4）∵BC的中点M对应的参数是，∴点M的轨迹方程为，∴．∴．即点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．【总结升华】利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便．举一反三：【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．【答案】D，得，中点为【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程【变式3】过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点，求线段AB的长．【答案】直线的参数方程为曲线可以化为．将直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，∴．AB＝．例5（2016鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0．将代入上式并整理得．解得．∴点T的坐标为．其极坐标为…（5分）（2）设直线l'的方程为．由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为则，．解得k=0，或．直线l'的方程为，或．其极坐标方程为（ρ∈R）举一反三：【直线的参数方程406451例题2】【变式1】已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。【答案】（1）直线的参数方程为，即