求函数最值常见错误剖析

求函数最值常见错误剖析清远市第一中学吴惠清求函数最值时，极易忽视某些或明或暗的条件，导致解题错误，现例举剖析，以供求函数最值时作为借鉴与参考。1忽视正弦、余弦函数的有界性例1求函数y=-4sin2x+12sinx-7的最大值。错解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)2+2W2.\y=2剖析该解法忽视了正弦函数y=sinx的有界性致错。事实上一一3 2sinx=3,即sinx=—>1不可能。2正解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)2+2•:|sinX<1 ・,•当sinx=1时，y=12忽视换元时对新元的限制例2求函数y=x+工/27=1的最小值。错解令*廿1=t，则x=1Q+J2・•・y=112+1+1=1(t+1)2>0 Ay=02 22 min剖析上面解法当t=-1时，y=0,而由t=-<2E>0知土=-1不可能，所以该解法错误，其忽视了换元时对新元t的限制范围。正解令,；27^1=t，则x=1(t2+1) (tN0)2—t2+1+—=—(t+1):tN0At+1^1

.・・y=1(t+1)2>1 .••当t=0时y2 2 min说明：用换元法求函数的最值是常用方法，但切记换元时要限制新元的范围。3忽视相关变量的相互限制例3若$1口*+$也丫=1,求T=sinx-cos2y的最值。错解由已知得$也*=1-$1.，代入T中并变形一.. (siny一一1 2J。-1<siny<siny一一1 2J。-1<siny<1一3<siny一1<12 22・•・Tmin剖析这里虽然注意了kiny区1,但忽视了已知条件sinx+siny=1中的x、y的相互限制导致错误。由于x、y的相互限制，因此决不能孤立地确定各自的范围。正解由已知得sinx=1-siny,代入T中变形，" (一1Y得T=sin2y-siny=siny-I2I-1<sinx=1-siny<1®<[-1<siny<1，OWsinyW1当siny=0或1时，T当siny=0或1时，T=02 min44忽视公式成立的条件

1例4求函数y—4sin2a+sin2a(兀、+10<1例4求函数y—4sin2a+sin2a(兀、+10<a<—2)的最小值.错解1(1..—sin2a+14sin2a)一,'1.. 1一一>2sin2a• +1—24sin2a'ymi=2 ,剖析这里忽视了应用基本不等式求最值时对等号成立条件的检验，事实上，当1sin2a=—1一时，sin2a=2,这是不可能的，故解4 sin2a题出错。错解21(sin2a+2sin2a)+」+18sin2a1一.一>—x2.sin2a•4,+」+12sin2a 8sin2a>遮+工+1-豆+”4 8x1 4 8ymin剖析这里虽然注意到两处等号成立的条件满足sin2a的取值范围（0,1],但因两处等号成立的条件不相同，故y取不到最小值从而解题出错。正解1(sin2a+正解1(sin2a+sin2a)+」+1

4sin2a>X22,1sin2a•4 ■,+j+1sin2a 4sin2aTOC\o"1-5"\h\z3 3 339=+ 2+—=—24sin2a 244当且仅当sin2a=1时，两处等号同时成立，・•・丁=9 .min4 - 1例5求y二%x2+4+ 的最小值.Jx2+41错解・・・y=vx2+4+ 三2,\：X2+4・・・ymin=2.剖析上面解法中，因为当且仅当VX2+4=.]4时取等号，而此时X2=-3无实数解,同样犯了运用基本不等式求最值时等号不成立的错误,事实上，这题不能用基本不等式求解，否则，结果将是错误的，因此，这类题应多加注意。正解1设t=、:X2+4，则t£[2,+8]且y=f(t)=t+1，在[2,+tTOC\o"1-5"\h\z1 1 、， 1、 .8)上任取t<t,则f(t)-f(t)=t-t+-=(t-t)(1-——)<0,由12 1 2 12tt12 111 2 12此可，知f(t)在[2,+8)上为增函数，・•.当t=2即x=0时，y=5.min2正解2,・•(\]X2+4+ 1 )-(；4+上)x2+4 x''4二八:X2+4-2)(2\:X2+4-1)2、；x2+4又・・・x2三0(当且仅当x=0时取“二”)

:・％x2+4—2三0,2、Jx2+4-1>0・•・，.:x2+4+ 1 三2+-（当且仅当x=0时取“二”）vx2+4 2・••当x=0时，y.=5.min2例6求函数y=x+9的最值。x9 ， 9错解y=x+9三2/x•—=6,故函数有最小值6,无最大值。x\x剖析这里忽视了基本不等式x+yN2国中x、y皆为正数条件。正解1二1x1+x三2•/Vx正解1二1x1+x三2•/・•・yW-6或yN6,故函数既无最小值又无最大值。注意：运用基本不等式x+yN2\求函数最值时，只有同时满足下面三个条件才可求得：Qx、y皆为正数；Q当且仅当x=y时取等号；Q“x+y”或“xy”其中一个必为定值。同样，运用基本不等式x+y+z三3书获求函数最值时亦然。5忽视对一元二次方程二次项系数的讨论例7求函数例7求函数y=的最值。错解原函数化为2yx2+4yx+3y-5=0,V此关于y的方程有解・•・A>0，即(4y)2-8y(3y-5)三0解之得0WyW5,故函数有最大值5,最小值0。剖析当y=0时，x不存在，故yw0,忽视了对二次项系数“2y”的讨论，造成了扩大值域的错误，这种情形应多加注意。正解1原函数化为2冲2+4冲+3y-5=0Q•.•y=0时即为-5=0,不可能，，y牛0由关于y的方程Q有解知A>0，即(4y)2-8y(3y-5)三0解之得,0WyW5又•・》丰0A0<y<5故函数有最大值5而无最小值。正解2由2x2+4x+3=2(x+1)2+1三1n0< 1 <12X2+4X+3n0< 5 <5.2X2+4X+3・•・当x=-1时，函数有最大值5,无最小值。6忽视某些不可能成立的情形例8 求函数y=X-2|+\；'而然的最值。错解・・・|x-2|三0,弋(x+1)2三0・•・y=X-2|+,式x+1)2三0,故函数有最小值0,无最大值。剖析要使y=0,只有x-2=0且乂+1=0,即x=2且x=-1,显然这样的x不存在，故yw0,这里忽视了x-2=0且x+1=0这种不可能成立的情形，造成了扩大函数值域的错误。'-2x+1(X<-1)正解y=|x-2|+(i,|(x+1)2=|x-2|+|x+1|=<3(-1<x<2)、2x-1(x>2)当x<-1时，y