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第二节第二类曲线积分

(对坐标的曲线积分)问题的提出对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算小结一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义存在条件：组合形式(对向量函数的积分)对定义的说明：推广到空间曲线性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.（3）当路径L为闭曲线时，规定L的正方向如下：人沿闭曲线行走，若闭曲线所围的区域总在人的左侧，则人前进的方向为正方向.沿闭曲线L正方向的曲线积分记作设闭曲线则三、对坐标的曲线积分的计算说明：（1）定积分的下限与积分曲线的起点对应，上限与曲线的终点对应，与和的大小无关.（2）对于直角坐标方程，通常先化为参数方程，再处理.特殊情形例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.例4.在坐标原点O处放置电荷量为q的正电荷,一单位正电荷在该电场中沿路径L运动，求电场力所做的功.(1)L为直线由点到.(2)L为xOy坐标面上的圆弧由点到解如图所示，在空间中任一点处，电场力为其中从而得功的表达式（1）的参数方程为对应点，对应点，故（2）L的参数方程为：上任一点处的切线方向都与向径垂直，因此而电场力的方向与向径相同，即从而直接应用物理意义例5.求其中从z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程区别四、两类曲线积分的关系其中（可以推广到空间曲线上）联系：可用向量表示有向曲线元；四、小结1．对坐标曲线积分的概念2．对坐标曲线积分的计算3．两类曲线积分之间的联系作业P2509-21、(1)(3)(5)(8)(10)2、(2)(4)4、5例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周二者夹角为例7.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类

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