数分相关第十一章数项级数

无穷多个数相加，称为无穷（数项）级数，ana1a2 an Sna1a2 ann个部分和，若limSnS(S有限数是收敛的，否则，称级数发散数项级数uia1(a2a1)(a3a2) (anan1) 数可以看成是一种特殊的数列借助数列的收敛性结果，可以得到由一般项un刻画的级数的敛散性结果如果级数

都收敛，那么级数(anbn)也收敛，而且 (anbn)anbn，此处是任意两个实数 级 an收敛的充分必要条件是，对任意的0，存在正整数NN()，使得nnNp，都有|SnpSn||ai|lima0

n正项级数

(an比较判别法

设有两个正项级数a和b，如果从某 b收敛aa发散anbn

n

bn发散.nan~bn，则两级数同敛散nn比较判别法的极限形式：设有两个正项级数a和blimnn

n 那么：①若0l，则an和bn l0，则当bnan l，则当bnan Cauchyx1f(x0且递减，那么级数f(n无穷积分 f(x)dx同敛散Cauchy（根值判别法：若a0，且limsupn

q①若q1an收敛；q1an发散；（q1失效 D’Alembert判别法（比值判别法：an0①若lim②若lim

q1，那 an收敛q'1，那 an发散a： 0，limn(an1)q，那么a ①若q1，an收敛；②若q1，an发散 （q1失效 n交错级数(1)nan

n如{an}递减趋于0，那么交错级数(1)nan

(an0)收敛，且有|SnS|an1一般级数的收敛性（anbn型 如果{an}，{bn}满足：①{bn}单调有界；②an收敛；那么anbn收敛

kan那么anbn收敛 若级

收敛，则级数an必收敛，此时级数称为绝对收敛 若级数an收敛，而级数an发散，此时级数称为条件收敛 例1根据下述每一个条件能否断定级 an收敛部分和数列{S有界，且lima0 nk

和a2k1均收敛k 答：1）不能.当an同号时，仅由{Sn有界就可推出ann nnnnlimS不存在，故级数发散n

n1)lima0S

2）能.利用原级数与a2ka2k1的部分和之间的关系易见k k 例2证明级数 收敛，并求其和1 6

5n45n证：因为通项u 1 ，所 S1 1 6 5n45n

n 5n

1 5 5n1 于是lim

lim11 n5 5n 3设数列{nan}收敛,级数n(anan1收敛.证明级数an 由于k(akak1nanakn-1k k Sn1aknank(akak1)k k4求级数

4n13 的和4 2解：因为几何级数5

5n0 n0 4n13 164 62 =

55

5n05

n0 =

1

65

12 n例5：用Cauchy收敛准则证明调和级数 n

n

1n

n

n

1n

np 1p

Snp1

n 从而，如果ε=2NnNp0Snpn n

6求级数

arctan

的和

arctanx–arctany=arctanxy1arctan1

=arctan

2nn k

2n从而lims 所以n

1= k

0,且级数un收敛，则limnun 证：已知unCauchyε>0,N,n>N,p=n,un+1un+2+…由已知条件，u1u2

nu2n<ε2nu2n<2，lim2nu2n又由已知nNu2nu2n+1,2n

2n.n由limn

所以limnu 8设正项级数an收敛,且和为Slima12a2 nan;(2)

a12a2 nan n n(n a12a2 nanSnSnS1SnS2 SnSn1 SS1S2 Sn1SS1S2 Sn1n1 所以lima12a2 SS

n a12a2 nana12a2 nana12a2 nann(n1) n1a12a2 nana12a2 nan(n1)an1 n bba12a2 nan,则a12a2 nan

n(n 所以

a12a2 nanb

an

n(n

n

n 1判断级数n2sin23n25)解：因 1,由比较判别法知级数收敛n2sin2(3n2 e 例2判断级 n!(

n

解：由于liman1 ，且(11)n单调增加趋于e，故有an1 n nan1an0，从而liman0

(11n3设a4tannxdx，试证：对任意的常数0，级数an

n11 分析:要证对任意的常数0，级数收敛，如能证得an 证:an4tan

xdx

1tndt

1

11 1t 1

n

t4判断级数ln(n!)的收敛性，其中t0解：当t1时

an

t

t

（n2当t1时,由ln(n!)lnnln(n1) ln2ln1nlnn,t anln(n!)nlnnCauchynlnn5

n2sin n

(

nn n)pln ，pn3 3

n n n n

nnnn 2

)na ~ ，所以a~ ，得 3 3极限形式可知

nsin1

1

n n因n

n)p ~(n(n1 n

，ln n nn

) n a

11

，故

nplnn1

， n n

n因为

n1ln(1111o(1，且lnn11) n )0a1lnn1 1o(1a~

1lnn1

，n1 nnnnnnno( 1(11)11(11(1)2 111o(1nnnnnnno( n3/ n3/ n所以an n

n3/

) n3/ n3/6 n（1）1 (2)n (0)nn1 1cos

2n

2，而n

1cos也收敛n

n1 1 1n1 n n 1n1时，级数变 np1即1时发散p1即1时收敛7设

0,p1,且limnp(e11)a1.a收敛试确定p的取值范围n n

解:因为en1 (n),所以limn(en

limn

由正项级数的比较判别法知若an收敛,p11,p的取值范围应为(2, 判断级数

k k k ke1n1 11 解:因为

n 1n1n

ke 所以当ke时， <1，级数收敛.当ke时， >1级数发散 例9a1,a2,a3,

收敛，反之不成立 an12 1 所以 a1an

收敛1,n 1反之不成立，例如an1

,n2k

发散 设函数f(x)在点x00有连续的二阶导数,且f(0)0.试证明⑴若f(0)0 则级数⑵若f(0)0 则级

f(1发散nf(1收敛n ,f(x)f(0)f(0)xf()x211

f(0)xf()x2 介于0x之间2f )n

f(0)1n

f()1 若f(0)0,则当n充分大时f )不变号,可认为

f nf(1)f(0)1,1,

1f

n1 若f(0)0,注意到f(x)在点x00连续 f(x)在点x00的某邻域内界,f f(x)2M 有 1f n

1M1221

f(1),

f n1

1设anlimnan0 2)．若对nN*an同号，则limnan0解:1).2

a1)n1 2)．当{a}单调时，有lim

0 不趋向于0，但是对nN*S

1

1121 k1kk

k1k1k p1p k1kk从而级数an收敛2设(1)na

(an0)为交错级数，由liman0

n( 1)131)145n11

收敛 nnnn例3an0.证明级数ansin

和ancosnx对x02x x 2 coskx x k

2sin(n1)xsin(n sin(n1)x 2) sin(n1)x(0,2)时，sinx0， coskx n 2sin2x02时,级数coskx的部分和有界.Dirichletancosnxansinnx 注an

ln

例4讨论级 ln(1

)n

p0)分析：尽管此级数为交错级数，但由于|an||ln(1

n 1 )n

2po2p 1

令bn2n2

on2p，bn~2n2p，所以级数bn与n2p 当p1时，n 绝对收敛，bn绝对收敛，故ln(1

)n

当2p1时，n 条件收敛，bn绝对收敛故ln(1

)n

当0p 条件收敛，bn发散，故ln(1

)n 设f(x)单调下降且非负，a1，试证f(n)与anf(an)有相同的敛散性

f(x)dx1f(x)dx与

f(a

选择合适的{xn}1f(x)dxn1

f(x)dxx1

f(x)dx

f(x)dx f(n

a)(a f(n)a其中n(an,an1),n 因为f(x)单调下降且非负，0f(an1)f(n)f(an)，n

f(an1)an1

f(x)dx(a

f(an f

af(a

Cauchy积分判别法，f(n与

f(x)dx

注：Cauchy积分判别法直接断言

f(a1f(a)adxf(xf(ax)axf(x)1 a6设正项数列{an}单调减少，且(1)an发散，证明级数a

收敛证：由正项数列{a}单调减少且有下界，知数列收敛，设limaaa0 n若a0，则 判别法知(1)nan收敛，所以a0，于 an a所以可知级数收敛 设级数(anan1)绝对收敛,bn收敛.证明级数anbn收敛n证：先证数列{an}收敛.事实上 (aiai1)ana0收敛

n令Bn bi,则数列{Bn}收敛,故有界.设|Bn|M,于是由Abel变换, SnaibianBn(aiai1)Bi1,(或anBn(ai1ai 而|aiai1||Bi|M|aiai1| (aiai1)Bi1收敛. 数列{an}和{Bn}收敛, 数列{anBn}收敛, 部分和数列{Sn}收敛 判断级数(

lnnlnnnx01x时，有ln(1xx.lnn1ln(11)1

lnn1 ln(1 1) 1即n

lnn11

n11

n

nlnnn于是01 1 lnnn1

n(n1)nn

.2n3/(

lnnnlnnn例9．讨论np p1p1

~1，级数绝对收敛；np n ~1，级数不绝对收敛； n 111111 1

2n

(12)(34) (2n12n) 111111 1 2n (1)

)

) (