角平分线的性质 市赛获奖

汕头市翠英中学王炜煜

12.3角平分线的性质（3）

角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PE.OP是的平分线，∵∵\OP是的平分线PD=PE用途：证线段相等.用途：判定一条射线是角平分线.一、复习旧课1.已知PA=PB，∠1+∠2=1800，

求证：OP平分∠AOB.AOBP12EF二、补充例题证明：∵过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则∠PEA=∠PFB=90°，∵∠1+∠2=1800,∠PBF+∠2=1800,∴∠1=∠PBF.在△PAE和△PBF中，∠PEA=∠PFB=900

，∠1=∠PBF，

PA=PB，∴

△PAE≌△PBF（AAS).∴PE=PF.∴OP平分∠AOB.2.如图：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？∟∟ACBEFGD解：AD与EF垂直.理由如下：证明：∵

AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFB=90°，DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL).∴

∠ADE=∠ADF.在△DEG和△DFG中，DE=DF，

∠ADE=∠ADF，

DG=DG，∴

△DEG≌△DFG（SAS).∴∠DGE=∠AGF.

∵∠DGE+∠AGF=180°，∴

∠DGE=∠AGF=90°.∴AD⊥EF垂直.3.如图所示，△ABD、△ACE和△BCF都是等边三角形，求证：BE=DC=AF证明：∵△ABD、△ACE为等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°.∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC=60°+∠BAC.∴∠DAC=∠BAE.在△ADC和△ABE中

AD=AB，∠DAC=∠BAE，

AC=AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）.∴

CD=BE.同理可证CD=AF.∴BE=DC=AF.BE=CD∠BOC=120°BE=DGBE⊥DG4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.证明：在BC上取BF=AB∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE，在△ABE和△FBE中

AB=BF，∠ABE=∠FBE，

BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）.∴

∠A=∠BFE.∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°.∵∠BFE+∠FCE=180°,

∠D=∠FCE.F在△CDE和△CFE中∠DCE=∠FCE，∠D=∠FCE.CE=CE，∴△CDE≌△CFE（AAS）.∴

CF=CD.∴BC=BF+FC=AB+DC.4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.证明：延长BE交CD的延长线于点F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.∵AB∥CD，∴∠F=∠ABE，∴∠F=∠CBE.4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在△BCE和△FCE中，

∠ABE=∠F，EC=EC，∠ECB=∠ECF，

∴△BCE≌△FCE（SAS）.

∴BC=CF，BE=EF.

4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在△ABE和△DFE中，

∠ABE=∠F，BE=EF，∠AEB=∠DEF，

∴△ABE≌△DFE（ASA），

∴AB=DF，∵CF=DF+CD，

∴CF=AB+CD，

∴BC=AB+CD．要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1.可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2.把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）1.已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。ABCFED证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，

BD=CD，∴

△BDF≌△CDE（AAS).∴DF=DE.∴AD平分∠BAC.三、课堂练习2.已知:如图，AB=AC，CD=BE，BC=DE，C、D在BE边上.求证:∠CAE=∠DAB．证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠ABD=∠ACE．

∵CD=BE，CD=DB+BC，BE=CE+BC，

∴DB=CE．