R为幂级数的收敛半径课件

Chapter8級數微積分函數與極限8.1數列8.2級數8.3積分及比較檢定法8.4其他收斂檢定8.5冪級數8.6函數的冪級數展開8.7泰勒及馬克勞林級數8.8泰勒多項式的應用8.1數列數列(sequence)是指把一系列的數依照某種順序寫下來：a1為第1項，a2為第2項，……，an為第n項。數列{a1,a2,a3,...}也可表示為或a1,a2,a3,a4,…,an,…如果數列{an}的第n項an在n夠大時會靠近L，則{an}的極限(limit)為L，並記為或當n→∞時an→L當存在，即此數列{an}收斂(converges)；反之則是發散的(diverges)。定義I圖1極限趨近於L之數列如果對任意的ε>0，都可以找到正整數N使得

若

n>N

，則數列{an}的極限是L，並記為

或當n→∞時an→L定理:若且則定義II定義III如果對任意的正數M，都可以找到正整數N使得

若

n>N

則如果對任意n≧no都滿足an≦bn

≦cn而且，那麼極限如果則¥=nn→∞alim假設數列{an}和{bn}都收斂，c是常數，則:

[]limlim=¥®¥®apnnpnna若p＞0而an＞0定義IV數列{rn}在-1<r≦1時會收斂，而在其他情形都會發散。如果一數M使得對任何n≧1都滿足an≦M，則數列{an}是有上界的(boundedabove)。而如果存在m使得n≧1時都有m≦an，則{an}是有下界的(boundedbelow)。當這個數列同時有上界和下界時，即是有界數列(boundedsequence)。單調數列定理:所有單調有界的數列都是收斂的。如果把數列的每一項加起來，其結果為:

則稱此為無窮級數(infiniteseries)或級數(series)。級數也可以表示為或

a1+a2+a3+…+an8.2級數部分和(partialsums):用sn表示級數前n項的部分和:

當數列{sn}收斂而且極限是個實數，即此級數收斂，並記為

s為級數和。如果{sn}是發散的，則級數是發散的。或å¥==1nnsaa1+a2+a3+…+an+…=s定義I幾何級數:

當│r│<1時是收斂的，而且此級數的和為當│r│≧1時，幾何級數是發散的。…araraarnn+++=å¥=-211定理I如果級數是收斂的，那麼數列{an}會滿足但是，即使，也不一定保證收斂。發散檢定如果不存在或那數列就是發散的。

如果級數和都是收斂的，那麼級數（c為常數）、以及也都是收斂的，且其極限值為：

(i)

(ii)

(iii)

定理II積分檢定法:

假設函數f在[1,∞)連續、遞減而且是正的，同時令an=f(n)。則級數會收斂若且唯若瑕積分收斂。(a)若收斂，則也收斂。(b)若發散，則也發散。p-級數:

在p>1時收斂，而在p≦1時發散。

8.3積分及比較檢定法比較檢定法:假設級數及的項都是正的。(a)如果收斂而且對任意n都滿足an

≦bn

，那麼也是收斂的。(b)如果發散而且對任意n都滿足an≧bn

，那麼也是發散的。極限檢定法:

假設級數及的項都是正的。如果極限其中c>0是一個有限的數。那麼二個級數就會同時收斂或發散。8.4其他收斂檢定交錯級數(alternatingseries):正負數會輪流出現的級數。例如交錯級數檢定法:如果交錯級數滿足(i)對任意n

都有

(ii)這個級數就會收斂。交錯級數估計定理:如果是交錯級數的和，而且滿足

(i)(ii)則然而對其他數列來說，這個性質並不適用。定義如果級數的絕對值形成的級數是收斂的，則此級數為絕對收斂(absolutelyconvergent)。如果級數收斂但是不是絕對收斂，則此級數為條件收斂(conditionallyconvergent)。定理:

如果級數是絕對收斂的，那級數就會是收斂的。比值檢定法:(i)如果級數

滿足條件

，則此級數為絕對收斂。

(ii)如果級數

滿足條件

或

，則此級數就會發散。(iii)如果級數

滿足條件

，比值檢定並不適合，即不能由此判斷級數的收斂性。根式檢定法:

(i)如果級數

滿足條件

，則此級數會絕對收斂。(ii)如果級數

滿足條件

或

，則此級數就會發散。(iii)如果級數

滿足條件

，根式檢定並沒有用。8.5冪級數若一級數的形式為:1.

其中x為變數，cn為常數。此級數稱為冪級數(powerseries)，而常數cn稱為這個級數的係數(coefficients)。2.

此級數稱為(x-a)的冪級數，或以a為中心的冪級數，或者是在a點的冪級數。對於冪級數來說，會有三種情形發生：(i)級數只在x=a

這點收斂。(ii)級數對任何x都會收斂。存在正數R

使得級數在時收斂，而在時發散。R為冪級數的收斂半徑(radiusofconvergence)。冪級數的收斂區間(intervalofconvergence)是所有會收斂的x值形成的區間。(i)中的收斂區間只有一個點a，(ii)中的收斂區間是(-∞,∞)。(iii)中不等式│x-a│<R可以寫成a-R<x<a+R定理表1各級數之收斂半徑及區間級數收斂半徑收斂區間R=1R=0R=1R=∞(-1,1){0}[2,4)(-∞,∞)8.6函數的冪級數展開定理:

如果冪級數的收斂半徑R>0，那麼函數在區間(a-R,a+R)可微，且(i)(ii)(i)和(ii)中的冪級數也都有收斂半徑R。定理如果f在a點有冪級數展開，即

而係數為│x-a│<R8.7泰勒及馬克勞林級數f在a點的泰勒展開式或泰勒級數(Taylorseries):泰勒級數當a=0時，泰勒展開式為

此稱為f的馬克勞林級數(Maclaurinseries)。馬克勞林級數泰勒級數的部分和

Tn是一個次數為n的多項式，稱為f在a點的n次泰勒多項式。微積分,8.7頁8-57它就會是泰勒級數的和，如果令或者是

Rn

(x)稱為泰勒級數的餘項(remainder)。微積分,8.7頁8-578.定理如果f(x)=Tn(x)+Rn(x)，其中Tn是f在a點的n階泰勒多項式，而且對任意│x-a│<R都滿足那麼在區間│x-a│<R

中，f會等於泰勒級數的和。微積分,8.7頁8-589.泰勒公式

如果函數

f在包含

a的區間I中一直到第n+1階的導數都存在，那麼對任何在I中的x，都可以找到一個介於x和a之間的數z，使得泰勒展開式的餘項為微積分,8.7頁8-5811.對任意的實數

x

都會有極限微積分,8.7頁8-5812.對任意

x

都滿足微積分,8.7頁8-5913.微積分,8.7頁8-5916.對任意