2023年高三数学模拟试题(含答案)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高三数学模拟试题(含答案)高三数学模拟试题（含答案）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则．2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则?U（A∪B）＝．

3．某校共有师生1600人，其中老师有1000人，现用分层抽样的办法，从全部师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取同学的人数为．

4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．

5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：．

6．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m∥n，则m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，则n⊥β；

其中正确命题的序号为．

7．已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．

8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．

9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为．

10．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观看下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推想，A﹣B＝．

11．设函数f（x）＝x|x﹣a|，若对于随意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是．

12．已知平面对量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）?（）＝0，则||的取值范围是．

13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为．

14．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．

15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分离为a，b，c，若sinA，tan（A﹣B），角C为钝角，b＝5．

（1）求sinB的值；

（2）求边c的长．

16．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．

（1）求证：VA∥平面BDE；

（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．

17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

18．如图，两座建造物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分离是10m和20m，从建造物AB的顶部A看建造物CD的视角∠CAD＝60°．

（1）求BC的长度；

（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建造物的视角分离为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？

19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．

（1）求p的值；

（2）求证：数列{an}为等比数列；

（3）证实：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．

20．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．

（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；

（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；

（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．

本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]

21．试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．

[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分离把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线l被圆截得的弦长．

【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．

23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．

【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．

24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分离为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．

参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．∵z＝2+i，

∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．

故答案为：3﹣4i．

2．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}

∴A∪B＝{1，3，9}

∴?U（A∪B）＝{5}，

故答案为{5}．

3．分层抽样的抽取比例为：，

∴抽取同学的人数为60030．

故答案为30．

4．由题意可得x＝1，y＝2，r，

∴sinα，

∴sin（π﹣α）＝sinα．

故答案为：．

5．程序在运行过程中各变量的取值如下所示：

是否继续循环ix

循环前14

第一圈是44+2

其次圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循环，

所以打印纸上打印出的结果应是：28

故答案为：28．

6．对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；

对于②，当m?α，n?α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；

对于③，当α∥β，且m?α，n?β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；

对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n?α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；

综上知，正确命题的序号是④．

故答案为：④．

7．如图所示：

①当x≥2时，由函数f（x）单调递减可得：0＜f（x）；

②当0＜x＜2时，由函数f（x）＝（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．

由图象可知：由0＜2k＜1可得，

故当初，函数y＝kx与y＝f（x）的图象有且惟独两个交点，

∴满足关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是

．

故答案为．

8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，

①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，

故解集为（a，4），

因为a（﹣a）≤﹣24，

当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，

∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；

②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；

③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，

∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；

综上所述，a＝﹣2．

故答案为：﹣2．

9．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，

∴由正弦定理得，…①

又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，

∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，…②

①②联解，得，可得，

∴双曲线的，结合，得离心率

故答案为：

10．按照所给的已知等式得到：

各等式右边各项的系数和为1，

最高次项的系数为该项次数的倒数，

∴A，A1，

解得B，

所以A﹣B．

故答案为：．

11．由题意知f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．

（1）当a≤2时，

若x∈[2，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，

此时2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；

（2）当a＞2时，

①若x∈[a，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，所以f（x）在[a，+∞）上是递

增的；

②若x∈[2，a），则f（x）＝x（a﹣x）＝﹣x2+ax，其对称轴为x，所以f（x）在[，a）上是递减

的，因此f（x）

在[2，a）上必有递减区间．

综上可知a≤2．

故答案为（﹣∞，2]．

12．由（）?（）＝0可得（）?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1，α为与的夹角．

再由2?1+4+2×1×2cos7可得||，

∴||cosα﹣1，解得cosα．

∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0．

解得||，

故答案为．

13．设直线AB的方程为y＝kx+1则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）

由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x

∵A的坐标（0，1），

∴B的坐标为（，k?1），即B（，）

因此，AB?，同理可得：AC?

∴Rt△ABC的面积为SAB?AC?

令t，得S

∵t2，∴S△ABC

当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为解之得a＝3或a

∵a时，t2不符合题意，

∴a＝3

故答案为：3

14．∵PQ∥y轴，P（t，0），

∴Q（t，f（t））即（t，），

又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝xetx，

∴过Q的切线斜率k＝t，

设R（r，0），则kt，

∴r＝t，

即R（t，0），PR＝t﹣（t），

又S（1，f（1））即S（1，et），

∴△PRS的面积为S，

导数S′，由S′＝0得t＝1，

当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，

∴t＝1为微小值点，也为最小值点，

∴△PRS的面积的最小值为．

故答案为：．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．

15．（1）角C为钝角，由sinA，则cosA．

那么：tanA

∵tan（A﹣B），即，

可得：tanB

即，sin2B+cos2B＝1，

解得：sinB．

（2）由（1）可知：sinB，

则cosB

那么：sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB正弦定理：，

可得：c＝13．

16．证实：（1）连结OE．

由于底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又由于E是棱VC的中点，所以VA∥OE，

又由于OE?平面BDE，VA?平面BDE，

所以VA∥平面BDE；

（2）由于VO⊥平面ABCD，

又BD?平面ABCD，所以VO⊥BD，

由于底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又VO∩AC＝O，VO，AC?平面VAC，

所以BD⊥平面VAC．

又由于BD?平面BDE，

所以平面VAC⊥平面BDE．

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．

因为圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，

所以，

即|4m﹣29|＝25．由于m为整数，故m＝1．

故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．…

（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，

代入圆的方程，消去y，

收拾，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，

因为直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，

故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，

因为a＞0，解得a，

所以实数a的取值范围是（）．

（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，

则直线l的斜率为，

l的方程为，

即x+ay+2﹣4a＝0

因为l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得．

因为，故存在实数

使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…

18．（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，

则，

化简得，解之得，或（舍），

答：BC的长度为；

（2）设BP＝t，则，，设，，

令f'（t）＝0，由于，得，

当初，f'（t）＜0，f（t）是减函数；

当初，f'（t）＞0，f（t）是增函数，

所以，当初，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，

由于恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，

由于y＝tanx在上是增函数，所以当初，α+β取得最小值．

答：当BP为cm时，α+β取得最小值．

19．（1）解：n＝1时，由得p＝0或2，

若p＝0时，，

当n＝2时，，解得a2＝0或，

而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；

（2）证实：当p＝2时，①，则②，

②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，

④﹣③得（n∈N*），

又由于，所以数列{an}是等比数列，且；

（3）证实：充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；

须要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，

所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1

明显x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），

由于x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，

故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．

20．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，

f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），

令f′（x）＝3x2﹣6x+2＜0解得，

x，

故函数f（x）的减区间为（，）；

（2）证实：∵f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），

∴f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x2），

又∵x1＜x2＜x3，

∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3）＞0，

f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3）＜0，

f′（x3）＝（x3﹣x2）（x3﹣x1）＞0，

故函数f′（x）在（x1，x2），（x2，x3）上分离有一个零点，

故方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；

（3）∵方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），

∴f′（α）＝f′（β）＝0，

而f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x1﹣x2）2＜0，

f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x3﹣x2）2＜0，

再结合二次函数的图象可知，

αβ．

本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]

21．∵M，N，

∴MN，…4分

∴在矩阵MN变换下，→，…6分

∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．…10分．

[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（1）由，得，

∴y，即．

圆的方程为x2+y2＝100．

（2）圆心（0，0）到直线的距离d，y＝10，