高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4

2.3平面向量的基本定理(dìnglǐ)及坐标表示2.3.1平面向量基本定理(dìnglǐ)第一页，共46页。第二页，共46页。【自主预习】主题(zhǔtí):平向向量基本定理1.在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和?提示:可以.第三页，共46页。2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?提示:不一定,当a与e1共线时可以表示否则不能表示.3.如果e1,e2是两个(liǎnɡɡè)不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?提示:可以,根据是数乘向量和平行四边形法则.第四页，共46页。通过以上探究过程,试总结平面向量基本定理及两向量的夹角.用文字语言描述(miáoshù):由向量的平行四边法则可知,向量a可以用不共线的向量e1,e2表示.⇓第五页，共46页。平面向量基本定理(1)条件:e1,e2是同一平面内的两个_______向量;a是该平面内_____向量.(2)结论:有且只有一对(yīduì)实数λ1,λ2,使a=__________.(3)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线(ɡònɡxiàn)任意(rènyì)λ1e1+λ2e2不共线第六页，共46页。两向量(xiàngliàng)的夹角(1)定义:作向量(xiàngliàng)=a,=b,则__________________________叫做向量(xiàngliàng)a与b的夹角.(2)特例:①θ=0°,向量(xiàngliàng)a,b_____;②θ=90°,向量(xiàngliàng)a,b_____;③θ=180°,向量(xiàngliàng)a,b_____.∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向垂直(chuízhí)反向(fǎnxiànɡ)第七页，共46页。【深度(shēndù)思考】结合教材P94例1,你认为应怎样通过作图,用基底e1,e2表示向量λ1e1+λ2e2?第一步:___________________________;第二步:_________________________________________________________________________________.以点O为起点(qǐdiǎn)作向量λ1e1,λ2e2以λ1e1,λ2e2为邻边作平行四边形则以O为起点的对角线对应(duìyìng)的向量即为所作向量λ1e1+λ2e2第八页，共46页。【预习(yùxí)小测】1.若向量a,b的夹角为30°,则向量-a,-b的夹角为()A.60° B.30°C.120° D.150°第九页，共46页。【解析】选B.将向量移至共同(gòngtóng)起点,则由对顶角相等可得向量-a,-b的夹角也是30°.第十页，共46页。2.已知平行四边形ABCD,下列各组向量(xiàngliàng)中,可以成为该平面内所在向量(xiàngliàng)基底的是()【解析】选D.因为不共线,故可以成为一组基底.第十一页，共46页。3.在正△ABC中,向量的夹角为________.【解析】如图,向量的夹角为∠ABC=60°,向量方向相反(xiāngfǎn),所以向量的夹角为120°.答案:120°第十二页，共46页。4.设D,E分别(fēnbié)是△ABC的边AB,BC上的点,若(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.第十三页，共46页。【解析(jiěxī)】易知所以λ1+λ2=答案:第十四页，共46页。【备选训练】已知G为△ABC的重心(zhòngxīn),设试用基底a,b表示向量(仿照教材P94例1的解析过程)第十五页，共46页。【解析】连接(liánjiē)AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,第十六页，共46页。【互动探究(tànjiū)】1.在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线?提示:若向量e1,e2共线,则λ1e1+λ2e2与向量e1,e2共线,即向量λ1e1+λ2e2只能表示与向量e1,e2共线的向量,无法表示平面内其他的向量.第十七页，共46页。2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数λ1,λ2的值是否相同?提示(tíshì):不相同,根据平面向量基本定理a=λ1e1+λ2e2,向量e1,e2改变时,λ1,λ2的值也变化.第十八页，共46页。【拓展延伸】平面向量基本定理的实质这个(zhège)定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R)就是平面内的全体向量.第十九页，共46页。【探究总结(zǒngjié)】知识归纳:第二十页，共46页。方法总结:用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待(duìdài)求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.(2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.第二十一页，共46页。【题型探究】类型一:对平面向量基本定理的理解【典例1】(1)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法(shuōfǎ)中不正确的是()第二十二页，共46页。①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以(kěyǐ)表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则④若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.A.①② B.②③ C.③④ D.②第二十三页，共46页。(2)设向量(xiàngliàng)e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4第二十四页，共46页。【解题指南】(1)两个向量可以作为基底的条件是不共线.(2)基底若确定.利用平面(píngmiàn)向量基本定理分解的λ1,λ2唯一.第二十五页，共46页。【解析】(1)选B.由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数(shìshù)对是唯一的.对于③,当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1=0.第二十六页，共46页。(2)选D.因为向量e1与e2不共线(ɡònɡxiàn),所以第二十七页，共46页。【规律总结】对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底,关键(guānjiàn)是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.(2)一个平面的基底若确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来,设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则第二十八页，共46页。【巩固训练】若向量a,b不共线,则c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.【解析】设存在实数λ,使c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0,由于向量a,b不共线,所以(suǒyǐ)2-3λ=2λ-1=0,这样的λ是不存在的,从而c,d不共线,c,d能作为基底.第二十九页，共46页。类型二:用基底(jīdǐ)表示平面向量【典例2】如图所示,在▱ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若试用a,b表示向量第三十页，共46页。【解题指南】利用向量的加法运算和中点的有关(yǒuguān)知识结合图形求解.【解析】第三十一页，共46页。【延伸探究】1.本例条件不变,试用基底a,b表示【解析(jiěxī)】由平面几何知识知第三十二页，共46页。2.若本例中的基向量即若试用(shìyòng)a,b表示向量【解析】第三十三页，共46页。【规律总结】平面向量基本定理(dìnglǐ)的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理(dìnglǐ),任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.第三十四页，共46页。(2)要注意适当选择向量所在(suǒzài)的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量.第三十五页，共46页。【补偿训练】如图,在▱ABCD中,M,N分别(fēnbié)为DC,BC的中点,已知用c,d表示=________,=________.第三十六页，共46页。【解析】设则由M,N分别(fēnbié)为DC,BC的中点,得由①②,得a=(2d-c),b=(2c-d),第三十七页，共46页。答案(dáàn):第三十八页，共46页。类型三:向量(xiàngliàng)的夹角【典例3】(1)(2016·韶关高一检测)已知向量(xiàngliàng)a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a,b的夹角等于________.(2)已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,若a+b与a的夹角为α,a-b与a的夹角为β,求α+β.第三十九页，共46页。【解题指南】(1)根据条件,作出a,b,c构成的三角形,结合(jiéhé)图形求夹角.(2)在图形中作出向量a,b,a+b与a-b,利用平面几何的知识结合(jiéhé)向量的知识求解.第四十页，共46页。【解析】(1)作则(如图所示),则a,b夹角为180°-∠C.因为|a|=1,|b|=2,c⊥a,所以(suǒyǐ)∠C=60°,所以(suǒyǐ)a,b的夹角为120°.答案:120°第四十一页，共46页。(2)如图,作=a,=b,且∠AOB=60°,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b,=a,因为(yīnwèi)|a|=|b|=2,且∠AOB=60°,第四十二页，共46页。所以(suǒyǐ)△OAB为正三角形,∠OAB=60°=∠ABC,即a-b与a的夹角β=60°.因为|a|=|b|,所以(suǒyǐ)平行四边形OACB为菱形,所以(suǒyǐ)OC⊥AB,所以(suǒyǐ)∠COA=90°-60°=30°,即a+b与a的夹角α=30°,所以(suǒyǐ)α+β=90°.第四十三页，共46页。【规律总结】两向量夹角的实质及求解的关键(1)实质:两向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角.(2)关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二证三算”的步骤,并结合平面几何(píngmiànjǐhé)