自动控制理论第七章非线性系统

自动控制理论第七章非线性系统第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且还与输入信号及初始条件有关。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系统可能不稳定。

2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生自持振荡。一、非线性系统的特点第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。

4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一二、典型非线性系统及对系统性能的影响1、死区非线性常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增量的方法也无法消除。2、饱和非线性常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而降低了稳态精度。第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一3、间隙非线性常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。4、继电器特性继电器特性中包含了死区、回环和饱和特性，因此对系统的稳态性能、暂态性能和稳定性都有不利影响。第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一三、非线性系统的分析方法

1、相平面法时域方法

2、描述函数法频域方法第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。7.2非线性系统的相平面分析方法

用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S)必须是二阶。第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在平面中，绘制随时间t变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是。奇点是指的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。一、线性二阶系统奇点的类型第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一1、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一2、欠阻尼运动系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一3、过阻尼运动系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一4、系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一5、

系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一6、是对称于原点的实数系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一二、非线性系统的相平面分析借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。例1：有死区继电器非线性的系统框图如下系统线性部分的传递函数，该二阶系统的无阻尼自然振荡角频率，阻尼比，根据前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。二、非线性系统的相平面分析第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一继电器的输入－输出关系为在平面，根据继电器的非线性特性，可分为三个区域，

设初始状态，，绘制相轨迹如图所示，(设r=3)

根据系统的相轨迹，可对系统的性能分析如下：第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一2、相轨迹最后没有到达原点，即，说明系统在阶跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。系统线性部分的传递函数表明，系统是Ⅰ型系统，对阶跃响应的稳态误差应为0，可见死区继电器非线性对稳态精度的影响。1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定焦点。e是单调衰减的。第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一例2：非线性系统框图如下其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节的输入－输出关系为y＝

M

或－M

或第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一根据上述关系，可将平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为和的两条相轨迹。从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

相平面法是分析非线性系统的一种时域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定性和自振荡（极限环），而且可以求取系统的动态响应。这种方法只运用于二阶系统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统来近似，因此相平面法也可用于高阶系统的近似分析。

第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一7.3描述函数法

描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。描述函数法主要用于分析非线性系统稳定性、自振荡特性及消除自振荡的方法。虽然是一种近似方法,但对常见实际非线性系统而言,分析结果基本满足工程需要,在非线性系统分析及设计中得到了广泛应用。第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一设非线性环节的输入为：

其输出的稳定分量y是与x同周期的非正弦周期信号，可用傅氏级数表示：第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一式中由于y的高次谐波幅值小于基波幅值，且系统的线性部分都具有低通滤波性质，可以假设只有基波分量起作用，而将高次谐波忽略不计。第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量y的基波为非线性特性的描述函数定义为

这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比，相角是输出基波对输入的相位移。

描述函数N(X)表示了当x为正弦信号时，输出基波分量与x在幅值和相位上的关系。一、描述函数的定义第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一1、死区非线性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一2、理想继电器非线性的描述函数第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一表7-1常见非线性特性描述函数第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

许多包含非线性环节的控制系统,经过对方框图的变换及简化,都可以表示成由线性部分G（s）（低通滤波器）与非线性部分N相串联的系统。如图所示对非线性系统进行分析时,必然要分析系统的稳定性以及是否产生自振荡。非线性系统的典型结构7.4非线性系统的谐波平衡法分析

描述函数法对系统稳定性、产生自振荡的条件、自振荡的振幅及频率、消除自振荡的途径等问题,都可得出较为符合实际的结果。自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡,与外加给定信号及干扰信号无关,可认为r(t)=0,n(t)=0。第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。非线性系统的特征方程为即：称为描述函数的负倒幅特性。第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一如果满足上式，表示与有交点，此时非线性系统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图在复平面中穿过（－1，j0）点。将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。一、非线性系统稳定一、非线性系统稳定第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一三、非线性系统产生自持振荡

图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。二、非线性系统不稳定二、非线性系统不稳定三、非线性系统产生自持振荡

第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一例：，是与负实轴重合的直线。结论：该非线性系统存在自持振荡，振荡频率为，振幅为2.1。第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

描述函数法是一种频域法，基于谐波线性化的近似分析方法。其基本思想是首先通过描述函数将非线性环节线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。描述函数法在应用时是有条件限制的，其应用条件是：

（i）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分串联的典型负反馈结构。若不是这种典型结构，则必需首先利用系统中信号间的传递关系简化成这种典型结构，才能应用描述函数法做进一步的分析。（ii）非线性环节的静特性曲线是奇对称的。（iii）线性部分应具有良好的高频衰减特性。（iv）只能用来分析非线性系统的稳定性和自振荡。

第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一（i）首先求出非线性环节的描述函数N(X)。（ii）分别画出线性部分的G(j)曲线和非线性部分的1/N(X)曲线。（iii）用奈氏判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自振荡，则进一步求出自振荡的振幅和频率。描述函数法分析稳定性和自振荡的一般步骤是：

特别强调的是，应用描述函数法分析非线性系统，其结果的准确程度取决于线性部分高频衰减特性的强弱。在对数坐标图上，取决于L()曲线高频段的斜率和位置，其高频段斜率越负，位置越低，高频衰减特性越强，分析结果就越准确。

第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

非线性系统的运动形态是十分丰富的，非线性系统的本质特征是不满足叠加原理。直到现在非线性系统理论的研究还在不断进行中，目前由于缺少处理各种非线性问题的一般方法，非线性系统研究的重点通常在系统稳定性分析上，讨论非线性系统动态性能问题的条件尚不成熟。

第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一第七章小结1、基本要求通过本章学习，应该达到：（1）正确理解相平面图的基本概念。（2）熟练掌握线性二阶系统的典型相平面图及其特征。（3）掌握运用相平面法分析非线性系统的动态响应的方法和步骤。（4）正确理解描述函数的基本思想和应用条件。（5）准确理解描述函数的定义、物理意义和求法，并会灵活应用。（6）熟练掌握理想继电特性、死区继电特性、滞环继电特性和死区特性等典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。（7）熟练掌握运用谐波平衡法分析非线性系统的稳定性和自振荡的方法和步骤，并能正确计算自振荡的振幅和频率。第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一2．内容提要及小结本章介绍了非线性系统的两种基本分析方法：相平面法和谐波平衡法。（1）相平面法是分析非线性系统的一种时域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定性和自振荡（极限环），而且可以求取系统的动态响应。这种方法只运用于二阶系统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统来近似，因此相平面法也可用于高阶系统的近似分析。

第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一（2）相平面法分析非线性系统的一般步骤：（i）首先选择合适的相平面坐标，并根据非线性特性将相平面划分成若干个线性区域。若系统没有外部输入，而是分析初始条件下系统的动态过程，可选取系统的输出量c及其导数，作为相坐标。当系统有阶跃或斜坡输入时，选取系统的误差

e和

作为相坐标，会更为方便。（ii）根据系统的微分方程式绘制各区域的相轨迹。（iii）把相邻区域的相轨迹，在区域的边界上适当连接起来，便得到系统的相平面图。然后根据相平面图，进一步分析系统的动态响应。

第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一（3）谐波平衡法法这是一种频域法，基于谐波线性化的近似分析方法。其基本思想是首先通过描述函数将非线性环节线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。描述函数法在应用时是有条件限制的，其应用条件是：

（i）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分串联的典型负反馈结构。若不是这种典型结构，则必需首先利用系统中信号间的传递关系简化成这种典型结构，才能应用描述函数法做进一步的分析。（ii）非线性环节的静特性曲线是奇对称的。（iii）线性部分应具有良好的高频衰减特性。（iv）只能用来分析非线性系统的稳定性和自振荡。

第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一（5）

描述函数N(X)的计算及其物理意义描述函数N(X)可以从定义式出发求得，一般步骤是：（i）首先画出非线性特性在正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的数学表达式。（ii）利用付氏级数求出输出的基波分量。（iii）将求得的基波分量代入定义式，即得N(X)。对于复杂的非线性特性也可以将其分解为若干简单的典型非线性特性的串并联，然后再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线性特性的描述函数。描述函数的物理意义是描述了一个非线性元件对基波正弦量的传递能力。

第四十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一

（6）谐波平衡法法分析稳定性和自振荡的一般步骤是：（i）首先求出非线性环节的描述函数N(X)。（ii）分别画出线性部分的G(j)曲线和