中考数学复习精创专题-《二次函数与三角函数综合压轴题》考前专题达标测评　

春九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》考前专题达标测评（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx−4的图象与x轴交于点A和点B(1)求二次函数的表达式；(2)连接AC，找出图中与∠ACO相等的角，并说明理由；(3)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(4)若点Q在第四象限内，且tan∠AQB=32，M2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−33,0，B3(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为AB的中点，过点D作AC的平行线交y轴于点E，点P为抛物线上第二象限内的一动点，连接PC，PD，求四边形PDEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线y=ax2+bx+c向左平移得到抛物线y′，使y′经过原点，y′与原抛物线的交点为F，点M为抛物线y′对称轴上的一点，若以点F，B3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3a≠0交x轴于点A−1,0、B5,0两点，交(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图，点F为线段BC上一动点，连接AF，交y轴于点G，设点F的横坐标为t，△ABF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）(3)如图3，在（2）的条件下，点F的纵坐标为95，连接FA并延长至点H，连接HC，交横轴于点X，点K为x轴负半轴上点X左侧一点，连接KC并延长交抛物线于点M，当点X为线段HC中点，且tan∠KCH=24．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax−3a(a≠0)的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．我们规定抛物线与x(1)如果抛物线y=ax2−2ax−3a①求a的值；②直接写出“区域G”内整数点的个数；(2)当a<0时，如果抛物线y=ax2−2ax−3a在“区域G(3)当a>0时，抛物线与直线x=a交于点C，把点C向左平移5个单位长度得到点D，以CD为边作等腰直角三角形CDE，使∠DCE=90°，点E与抛物线的顶点始终在CD的两侧，线段DE与抛物线交于点F，当tan∠ECF=235．抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P(1)如图1，若P1，−3①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，当点P运动时，tan∠PAB+6．已知二次函数y=ax2−2ax+a+4(1)求该函数图象的对称轴及点D的坐标；(2)设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC=(3)在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为tt>1，如果△ACM的面积为258，求点M7．如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA=1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC=3，抛物线的对称轴与（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．8．如图，以x轴正半轴上一点M为圆心作⊙M，交y轴正半轴于点C，且OA=1，OB=4．抛物线y=ax2+bx+c过A、B（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）若点D是斜边AB上的一动点，过点D作DE//BC，交AC于点E，连接CD，求△DCE面积的最大值，并求出此时点（3）在（2）的情况下，求tan∠DCE9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−13x2+bx−3的图像与x轴交于点A和点B(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°10．如图1，抛物线y1=−43x2−4(1)求出t与k的值.(2)抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使△BDE与△AOC相似，求出DE的长.(3)如图2，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2=kx+3于点Q，若点Q′是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G(不与点C重合)，使点Q′落在y轴上？，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由.

11．如图，抛物线y=13x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,−5.有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=1010（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.12．如图1，抛物线y=ax2+bx+8与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且点D坐标为−2,4

图1

图2

图3（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P为第四象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，ΔPCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图3，延长CD交x轴于点E，连接PE，直线DG与x轴交于点G，与PE交于点Q，且OG=2，点F在DQ上，∠DQE+∠BCF=45°，若FQ=22，求点P参考答案1．（1）解：将点B8，0代入y=−解得：b=5∴二次函数表达式为：y=−1（2）解：∠ACO=∠ABC，理由如下：令−1解得x=2或x=8，∴A(2，∵C(0，∴OC=4，∴OAOC∴△OAC∽△OCB，∴∠ACO=∠ABC；（3）解：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO=∠BCA+∠ACO，∴∠PCB=∠ACO，∴∠PCB=∠ABC，①当点P在x轴上方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CG=BG，∵OB=8，∴OG=8−BG，∵OG∴(8−BG)2解得：BG=5，∴OG=3，∴G(3，设直线CG的解析式为y=kx+b，则有：−4=b0=3k+b，解得：k=∴y=4联立二次函数解析式可得y=4解得：x=0（舍）或x=14∴P点坐标为143②如图2，当点P在x轴下方时，∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥∴P10综上，P点坐标为143，20（4）解：过点A作AH⊥x轴，过点C作CH∥x轴，连接BH，设N为∵AB=6，∴tan∠AHB=∵tan∠AOB=32∴Q点在以N为圆心，BN为半径的圆上运动，∵H(2，∴N(5，∵M(−4，∴MN=97∴MQ的最大值为97+2．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A∴OA=33∵tan∴OC=6，∴c=6，∴C(0,6)，将A−33,0、B3,0代入y=a∴所求抛物线解析式为：y=−2（2）解：连接OP，如图所示：∵A−33,0、B3,0∴D3设直线AC的解析式为y=kx+t，将A−33,0，C(0,6)代入表达式得−3∴直线AC的解析式为y=2∵DE∥AC，∴设DE的解析式为y=2∴233×(−∴DE的解析式为y=2∴点E(0,2)，设P(p,−2∴==−=−3∵−3∴当m=−523时，S四边形PDEC最大，且最大值为33（3）解：∵y=−2∴抛物线y=−23x2−43∴y′=−23(x+联立y=−23x∴点F的坐标为−3设M−2∵B3∴MFMBBF①当∠BFM=90°时，BF∴75+m2−15m+57=∴M−2②当∠FBM=90°时，BF∴75+m2+27=∴M−2③当∠FMB=90°时，MF∴m2−15m+57+m2∴M−23,15+3综上可知：满足条件的点M的坐标为−23,7、−23,−3、−23．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3a≠0交x轴于点把A−1,0、B5,0代入可得a−b+3=025a+5b+3=0，解得a=−∴抛物线的解析式为y=−3（2）过点F作FD⊥AB于点D，对于抛物线y=−3当x=0时，y=3，∴C(0,3)，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，把B5,0、C(0,3)可得5k+b=0b=3，解得k=−∴直线BC的解析式为y=−3∵点F的横坐标为t，∴F(t,−3∴FD=−3∵A−1,0、B∴AB=6，∴S=1（3）过点H作HR⊥x轴于点R，过点F作FS⊥AB于点S，∴∠ASF=∠BSF=90°，把F点的纵坐标95代入直线BC的解析式y=−可得x=2，则AS=BS=3，又∵FS=FS，∴△FAS≌△FBS，∴∠FAS=∠FBS=∠RAH，∵X是HC的中点，∴HX=CX，∵∠HRX=∠COX=90°，∠HXR=∠OXC，∴△XHR≌△XCO，∴HR=CO，又∠OBC=∠RAH，∴△BCO≌△AHR，∴BO=AR=5，则RO=6，OX=RX=3，∵C(0,3)，∴OC=OX=3，∴△XOC为等腰直角三角形，∴∠OXC=∠KXH=45°，CX=2过K作KQ⊥CH于点Q，则∠QKX=∠KXQ=45°，∴KQ=XQ，∵tan可设KQ=XQ=2a，则QC=5a，CX=3a=32∴a=2，则KX=∴KO=KX+OX=4+3=7，∴K(−7,0)，设直线CK的解析式为y=mx+n，把C(0,3)、K(−7,0)代入，可得−7m+n=0n=3，解得m=∴直线KC的解析式为y=3直线KC的解析式与抛物线的解析式联立方程组为y=−3解得x1=23∴点M的横坐标为2374．（1）解：①∵抛物线y=ax2−2ax−3a∴a−2a−3a=3，解得a=−3②∵a=−3∴y=−3令y=0，则−3解得x=−1或x=3，∴A−1，0，B当x=0时，y=9∴在y轴上有整点0，1，当x=1时，y=3，∴在x=1的直线上有整点1，1，当x=2时，y=9∴在x=2的直线上有整点1，1，综上所述：“区域G”内整数点共有6个；（2）解：令y=0，则ax解得x=−1∴A(−1,0)，B(3,0)，∵y=ax∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵“区域G”内有4个整数点，∴在对称轴上有2个整数点，在x=0和x=2上各有一个整数点，当x=1时，2<−4a⩽3，解得−3∴当−34⩽a<−（3）解：当x=a时，y=−a∴C(a,a∵点C向左平移5个单位长度得到点D，∴D(a−5,a∴CD=5，∵a>0，抛物线的对称轴为直线x=1，∴当a=1时，C点与抛物线的顶点重合，当a≠1时，C点始终在顶点的上方，∵点E与抛物线的顶点始终在CD的两侧，∴E点在C点上方，∴E(a,a过点F作FG⊥EC交于G，∵Δ∴∠FEG=45°，∴EG=FG，∵tan∴FGGC设FG=2x，则CG=3x，EG=2x，∴EC=5x，∵EC=DC=5，∴x=1，∴CG=3，FG=2，∴G(a,a∴F(a−2,a∵F点在抛物线上，∴a(a−2)解得a=12或5．解：（1）①将点P1，−3，B16a+c=0a+c=−3解得a=1∴抛物线的解析式为：y=1②如图：当点D在点P左侧，由∠DPO=∠POB得DP∥OB，D与P关于由P1，−3如图，当点D在点P右侧，即图中D2，则∠D2PO=∠POB，延长PD2交设Qq，0解得：q=5，∴Q5设直线PD2的解析式为：y=kx+b，将P1,−3，Qk=34∴直线PD2的解析式为：再联立y=3得：x=1或x=11∴D2∴点D的坐标为−1,−3或11（2）tan∠PAB+tan∠PBA设Bb，0，则∵点Bb，0∴ab∴b2过点Px0,∴y0∵PH⊥AB，OE⊥AB∴PH∥∴Rt△PAH∽∴OEOA即OEb∴OE=−b同理可证：Rt∴OF∴OFb∴OF=−b∴OE+OF=−b∴OE+OF=−2b2∴OE+OFOC在Rt△AOE中，tan在Rt△BOF中，且OA=OB，tan在Rt△AOC中，tan∴tan∴tan∠PAB+6．（1）解：根据对称轴公式可得抛物线对称轴为直线x=−2a当x=1时，y=4，∴D1∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为1，（2）解：如图所示，作DE⊥y轴于E，由（1）可知顶点D1，4∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽∴EDOC∵tan∠DBC=∴EDOC当x=0时，y=a+4，即点C的坐标为0，∴OC=a+4，∴1a+4解得：a=−1，经检验a=−1是方程的解，∴抛物线的解析式为：y=−x（3）解：在（2）的条件下，如图所示，连接MC，由题意得M的坐标为(t，设直线CM的解析式为：y=kx+b，将C，M的坐标代入得：b=3tk+b=−解得：k=−t+2b=3即：直线CM的解析式为：y=−t+2设直线CM与抛物线对称轴交于P点，则P的坐标为1，∴AP=−t+5，∴S△AMC解得：t=5将t=52代入抛物线解析式得：∴点M的坐标为527．解：（1）∵OA=1且点A在x轴正半轴，∴点A的坐标是(1,0)．∵tan∠OAC=3∴在RtΔAOCOC=OA⋅tan∵点C在y轴负半轴，∴点C的坐标是(0,−3)．（2）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点A∴将A(1,0)，C(0,−3)y=x1+b+c=0,c=−3.解得∴抛物线对应函数的解析式为y=x在OC上取点E，使CE=AE，则∠AEO=2∠ACE．设AE=CE=x，则OE=OC−CE=3−x．在RtΔAOE中，OA2解得x=53．∴∵∠PAB=2∠ACO=∠AEO，tan∠PAB=设AP与y轴交于点F，OFOA=34，OF=3（3）设Q点坐标为t,t可求得直线AQ对应函数的解析式为：y=(t+3)(x−1)，直线BQ对应函数的解析式为：y=(t−1)(x+3)．易得D点坐标为(−1,0)，抛物线对称轴为x=−1．得点M的纵坐标yM点N的纵坐标yNDM=−yDN=−y∴DM+DN=2(t+3)+2(1−t)=8．8．解：（1）如图，连接CM，∵OA=1，OB=4，∴AB=5，∵AM=CM=1∴OM=AM−AO=5在Rt△COM中，OC=C∴C0,2∵A−1,0，B∴列式a−b+c=016a+4b+c=0c=2，解得∴y=−1（2）设DE与y轴交于点F，∵A−1,0，B4,0，∴直线BC的解析式为：y=−1直线AC的解析式为：y=2x+2，设点D坐标为d,0，d的取值范围是−1<d<4，∵DE//BC，∴直线DE与直线BC的k值相同，都是−1∴直线DE的解析式为：y=−1令x=0，则y=d∴F0,联立直线DE和直线AC的解析式−12x+∴点E的横坐标是d−45则点E与点D之间的水平距离是d−d−4CF=2−d∴S△DCE∴当d=32时，S△DCE取最大值，最大值是5（3）由（2）得D3E的横坐标是32−45∴E−CE=−12∵DE//BC，∴∠CED+∠ACB=180°，∵∠ACB=90°，∴∠CED=90°，在Rt△CDE中，tan∠DCE=9．（1）解：将点B9,0代入y=−∴−27+9b−3=0，∴b=10∴y=−1（2）令x=0，则y=∴C0,−3令y=0，则−1∴x=1或x=9，∴A1,0∵∠PCB+∠ACB=∠BCO=∠ACB+∠OCA，∴∠PCB=∠OCA，如图1，当P点在x轴上方时，设PC与x轴的交点为点G，∵OA=1，OC=3，OB=9，∴tan∠OCA=13∴∠OCA=∠OBC，∴∠PCB=∠OBC，∴CG=BG，∵OB=9，∴OG=9−CG，在Rt△OCGCG∴9−OG2∴OG=4，∴G4,0设直线CG的解析式为y=kx+b，4k+b=0b=−3∴k=3∴y=3联立方程组y=3∴x=0y=−3（舍）或x=∴P31如图2，当P点在x轴下方时，∵∠OBC=∠PCB，C0,−3∴OB∥CP，∴−1解得x=10,x=0（舍去），∴P10,−3综上所述：P点坐标为314,45（3）线段MQ存在最大值，且为18．理由如下：作线段AB的垂直平分线GR交x轴于点R，过点C作CG∥x轴，交GR于点G，则四边形OCGR是矩形，∴OC=GR=3，∵AB=9−1=8，

∴AR=4，连接AG，则AG=3以G点为圆心，半径为5的作⊙G，点G5当点Q位于⊙G上时，作直径AT，连接TB，QB，QA，则∠AQB=∠ATB，∵AB=9−1=8，AT=∴TB=10∴cos∠AQB=∴点G位于⊙G的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q三点一线时，MQ取得最大值．∵∠MBO=45°，∴OB=OM=9，∴MC=9−−3=12，∴MG=122+∴MQ=13+5=18．10．解：（1）将点C(0，4)代入抛物线y1=−43x2∴抛物线y1=−43x2∵ON=OC，∴N（-4，0），将N（-4，0）代入直线y2=kx+3，得-4k+3=0，∴k=∴直线y2=34∴t=-2，k=（2）如图1，链接BE，在y1=−43x2+83x+4中，当y=0时，解得：∴A（-1，0），B（3，0），对称轴为x=−b∴D（1，0），∴AO=1，CO=4，BD=2，∠AOC=∠EDB=90°，①当△AOC∽△BDE时，AOBD=OC∴DE=8，②当△AOC∽△EDB时，AODE=OC∴DE=12综上：DE=12（3）如图2，点Q'是点Q关于直线MG的对称点，且点Q'在y轴上，由轴对称的性质知：QM=Q'M，QG=Q'G，∠Q'MG=∠QMG，∵QG⊥x轴，∴QG∥y轴，∴∠Q'MG=∠QGM，∴∠QMG=∠QGM，∴QM=QG，∴QM=Q'M=QG=Q'G，∴四边形QMQ'G为菱形，设G（a，−43a2+8过点G作GH⊥y轴于点H，∵GQ'∥QN，∴∠GQ'H=∠NMO，在Rt△NMO中，NM=NO2∴sin∠NMO=∴sin∠GQ'H=①当点G在直线MN下方时，QG=Q'G=43∴a43a2−②如图3，当