第五讲分式原卷版

第五讲 分式【知识概述】 分式是初中代数的重要内容之一，它以分式的定义和性质作为主要的依据，配合整式的运算、因式分解等知识，题型较为综合、灵活，对计算能力和技巧要求比较高，是考查代数能力的好素材，在自招与竞赛中常以填空、选择的形式出现．

本讲分为三个模块，分别是分式的恒等变形、分式的计算和简单的分式方程（组）．分式的恒等变形是分式中最重要的内容，它是计算分式与分式方程的基础，大部分的技巧和难点都存在在恒等变形之中，因此掌握好各项分式变形的技巧是重中之重．

【知识结构】

模块一：分式的恒等变形【知识精要】分式的恒等变形：

分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，以整式恒等变形为基础，并结合自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在自招考试、数学竞赛中常常出现此类命题．

分式的恒等变形涉及到的主要内容包括分式的基本性质，分式的各种通分、约分、化简、求值及恒等证明．将复杂分式通过恒等变形转化为整式进行运算是常用技巧，因此化简求值的技巧方法上往往与整式有异曲同工之妙，包括设参法、换元法、降次法、裂项相消法等．

分式的基本性质如下：（1）（）；

（2）若，，则（传递性）；

（3）（合比性）；

（4）（合比性）；（5）若，那么（等比性）．【典型例题】若实数满足，则的值为_________．

若，求的值．

（1）已知，则_____________；已知，则_____________．

已知，求的值．

【名师点拨】连比型代数式，设参数k．【答案】

已知为正实数，且，求的值．

【名师点拨】换元法，整体代入．

【答案】

已知，求的值．

模块二：分式的计算【知识精要】分式的计算：

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：分组通分，分步通分，先约分再通分，裂项相消后通分等。

有条件的分式的化简与求值：

给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：恰当引入参数，取倒数或利用倒数关系，拆项变形或拆分变形，整体代入或部分代入，利用比例性质等．

【典型例题】（1）已知，则分式的最小值为___________；

（2）分式可取的最小值为___________．【名师点拨】分离常数求最值．

【答案】已知正数a、b、c、d、e、f满足，，，，

，，则的值为______________．【名师点拨】由已知条件可以求得所有正数的乘积，再分别代入每个等式，即可解出各个正数的值．【答案】．

【解析】已知x、y、z、a为自然数，且，，求x、y、z、a的值．

【名师点拨】从未知数都是自然数的条件入手，结合不等式估计可以将未知数解出来．

【答案】已知，，，则________．

【名师点拨】根据题设等式可将a、b用c表示出来，再代入只含有ab的关系式即可求出c的值．

【答案】

已知，互补相等，则_____________．

【名师点拨】观察题设条件可知，a、b、c具有某种轮换对称性，根据这种对称性对等式两两相减进行化简．

【答案】已知，，，则___________．

【名师点拨】观察所求分式的分母，利用已知条件可“换元”然后进行因式分解，最后利用乘法公式化简求值．

【答案】已知，则代数式化简的最后结果是_______________．【名师点拨】观察所给条件，注意巧用和进行化简．【答案】

模块三：简单的分式方程【知识精要】 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程．一般步骤为：

（1）去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的值是原方程的根，使最简公分母等于零的值是原方程的增根．

需要注意的是，解分式方程的不能忘记验根；

若已知一个分式方程有增根，那么增根只可能使最简公分母的值为零的未知数的值；

若含有参数的分式方程无解，则可能是转化后的整式方程无解或者整式方程的解是分式方程的增根．

【典型例题】关于x的方程无解，则a的值是__________．

【名师点拨】分式方程的无解问题一般分为两种情况：转化后的整式方程无解或整式方程的解为分式方程的增根，从两方面讨论即可判断出a的值．

【答案】解分式方程：．

【名师点拨】考查解分式方程，在把分式方程化为整式方程之前，应该先观察分式的特点，寻求最简便的解法．【答案】解方程（组）：．【名师点拨】考查用换元法解分式方程．【答案】已知，求下列代数式的值：

【名师点拨】观察所给出的条件，发现和的和恰好为1，因此可将所求代数式分组再求值．【答案】

【课堂练习】（15分）若关于x的方程产生增根，则常数_____________．

【答案】

（15分）已知，且，则关于自变量x一次函数的图象一定经过第

（）象限．

A．一，二 B．三，四 C．二，三 D．一，四

【名师点拨】连比型分式常常设参数k，再根据比例关系求解．

【答案】

（15分）当分式方程有解时，求m的取值范围．

【名师点拨】考查参数分式方程有解的情况．

【答案】（15分）已知a、b、c为实数，且，，，那么的值为多少？

【名师点拨】考查分式的化简与求值．

【答案】．

（20分）（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

【名师点拨】考查分式的综合运算和整体代入思想的应用．

【答案】

（20分）已知x、y是正整数，且，，试求的最大值．

【名师点拨】将分式化为整式后，利用x、y均为正整数可求解．

【答案】

【课后作业】（10分）若方程的解为负数，求a的取值范围．

【名师点拨】考查参数分式方程有解的情况．

【答案】（20分）解方程：（1）；

（2）．【答案】

（20分）计算：（1）；

（2）．【名师点拨】考查分式的简便运算，要灵活应用裂项法，写成整式和真分式的方法，换元法和逐步通分法．【答案】（15分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款万元，乙工程队工程款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

【名师点拨】考查列分式方程解应用题，一般完成一项工