2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高二下学期期中数学试题一、单选题1．甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（

）A．180种 B．210种 C．240种 D．270种【答案】B【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.【详解】依题意可知，不同的选法有种.故选：B2．已知数列满足，若，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】通过递推公式逐个求解项，对照选项可得答案.【详解】因为，所以，，，，；因为，所以.故选：D.3．已知，且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【详解】由题设，，则，所以.故选：C4．若的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项为（

）A．15 B．20 C．28 D．35【答案】A【分析】先根据所有项的系数之和求出，再利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中所有项的系数之和为64，所以，解得；的通项公式为，令得，所以常数项为.故选：A.5．甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（

）A．735种 B．686种 C．540种 D．465种【答案】B【分析】先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案.【详解】因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，两人的选择方法均为：（种）；而丙的选择方法有：（种）；所以3人可组成的不同的游玩组合有：（种）.故选：B.6．已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】由题设可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值条件.【详解】由题设，，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，综上，的最小值为.故选：C7．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行.本届世界杯的赛制规定：从小组赛晋级的16支球队将被自动分成8组，每组的2支球队比赛一场，获胜的球队晋级1/4决赛.若从小组赛晋级的16支球队中选出4支球队，且恰有2支球队来自同一组，则不同的选择方法有（

）A．672种 B．728种 C．764种 D．800种【答案】A【分析】首先考虑恰有2支球队来自同一组的选法，再确定另外2支不同组的选法，利用分步计数乘法原理求出结果.【详解】因为小组赛晋级的16支球队自动分成8组，从中选4支，2支球队来自同一组，所以要先从8组中选一组，有种选法，这组两支球队全选，保证2支球队来自同一组；再从剩余7组中选2组，每一组选1支球队，这2支球队来自不同组，有种选法，所以不同的选择方法有种.故选：A.8．“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（

）A．35 B．36 C．56 D．70【答案】C【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案.【详解】杨辉三角第8行的数据为：

1，第9行的数据为：1

8

28

56

70

56

28

8

1，第10行的数据为：1

9

36

84

126

126

84

36

9

1，第11行的部分数据为：1

10

45

……，第12条斜线上的数为：1103656356，所以最大的数是56.故选：C.二、多选题9．在某次数学测试中，学生的成绩，则（

）A． B．若越大，则越大C． D．【答案】AC【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案.【详解】因为，所以，A正确；当时，，当时，，B不正确；因为，所以，C正确；根据正态曲线的对称性，D不正确.故选：AC.10．已知，则（

）A．B．C．D．展开式中所有项的二项式系数的和为【答案】ABD【分析】采用赋值法，分别令和可以判断选项A、C；根据二项式展开式的通项求得x的系数，可以判断选项B；直接由展开式中所有项的二项式系数的和的知识就可以判断选项D.【详解】令，得，所以A正确；展开式的通项为，令，得，所以B正确；令，得，又，所以，所以C不正确；展开式中所有项的二项式系数的和为，所以D正确.故选：ABD.三、单选题11．已知a为常数，等差数列的前n项和满足，则的值可能为（

）A．4045 B．4046 C．4047 D．4048【答案】AB【分析】根据等差数列的前n项和满足，将前n项和公式和通项公式代入，求得首项和公差即可.【详解】解：因为a为常数，等差数列的前n项和满足，所以，则，解得或所以或所以或4045，故选：AB四、多选题12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设，，利用导数研究函数的单调性，再结合作差法和不等式性质逐一验证各选项.【详解】设，，则恒成立，则在单调递减，可得，即.令，则，且，即，故；因为，则，又因为，则，所以，即.因为，则，即，即.综上所述：故选：BC.【点睛】利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.五、填空题13．函数的图象在处的切线方程为_________．【答案】【分析】求得切点坐标为，切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.【详解】解：因为，，所以切点坐标为，又因为，所以，所以切线的斜率，所以切线方程为：，即.故答案为：14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.【答案】【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，设学生答对试题为事件，则，，，，，，所以，所以.故答案为：六、双空题15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6cm，铁块底面圆半径为3cm，放入铁块后的水面高度为6cm，若从时刻开始，将铁块以1cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______cm/s．【答案】匀速【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻的函数关系，通过导数求瞬时速度.【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，则水和铁块的体积为，即①．铁块距离杯底的高度为②．由①②可得．令函数，则．故水面将匀速下降，下降的速度为．故答案为：匀速；.七、填空题16．已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则_________．【答案】【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项，裂项相消求和即可.【详解】由题意可得，方程的实数解个数，即两函数的交点个数，不难发现也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，这里只分析的情况.结合条件作出两函数简要图象如下：当时，此时有两个交点，即，当时，此时有4个交点，即，当时，此时有6个交点，即，以此类推，可知，故，即，故答案为：.八、解答题17．已知数列的前n项和为，且．证明：(1)是等差数列；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据的关系得出的关系，再利用等差数列的定义证明；（2）先求出，再利用裂项相消法进行证明.【详解】（1）证明：因为，当时，；两式相减可得，整理可得，又，故是以3为首项和公差的等差数列.（2）证明：由（1）可知，所以，则，所以，因为，所以，即.18．从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.(1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？(2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？【答案】(1)(2)【分析】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果.（2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果.【详解】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种，3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种，所以共有种填法.（2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上，所以，共有种，从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种，综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种.19．等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差中项可得公比，利用等比数列的通项公式可得答案；（2）先通过求出，再利用错位相减法求和，可得.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，因为，所以，即，所以.（2）由（1）得，因为，所以，所以，即；，，两式相减可得；所以.20．已知函数.(1)求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极小值为1，无极大值(2)【分析】（1）求导，利用导数求解单调性即可求解极值，（2）将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.【详解】（1）由得，令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，（2）由恒成立可得恒成立，记，则，令，则，由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，因此在上单调递增，且，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故21．某单位组职员上进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛已知甲队每一局获胜的概率均为．(1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率；(2)记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，分为甲连赢三局与或甲连输三局，即可得到结果；（2）根据题意可得的可能取值为，然后分别求出其对应的概率，然后由期望的计算公式即可得到期望.【详解】（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，所以，故甲、乙两队3局结束比赛的概率为.（2）根据题意可知，的可能取值为，则，，，，，所以的分布列为则.22．已知函数；(1)若无零点，求a的取值范围；(2)若有两个相异零点，证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足时即可求的取值范围.（2）根据（1）中求导