2022-2023学年河北省邯郸市大名县高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省邯郸市大名县高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数作答.【详解】依题意，，所以.故选：A2．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，解方程即得解.【详解】由，有，得.故选：C【点睛】方法点睛：向量.3．正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】先根据体积求正方体的边长，再根据正方体外接球半径公式计算即可.【详解】设正方体的边长为，正方体的体积为,,正方体的外接球的半径为,所以.故选:B.4．已知一个四边形的直观图是如图所示的正方形，则原四边形的面积为（）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】D【分析】根据斜二测画法原则，还原成直观图，即可求解.【详解】原四边形为平行四边形，底边为，高为，面积为.故选:D【点睛】本题考查用斜二测画出的直观图与原图形的面积关系，属于基础题.5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．最大角为锐角的等腰三角形 D．最大角为钝角的等腰三角形【答案】D【解析】先由余弦定理，结合题中条件，求出，再由，求出，进而可得出三角形的形状.【详解】因为，所以，，所以.又，所以，则的形状为最大角为钝角的等腰三角形.故选D【点睛】本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解．【详解】解：∵，故选D．【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.7．已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可.【详解】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，所以，解得：，将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.线段就是蚂蚁经过的最短距离，设，圆心角是，则由题意知①，②，由①②解得，，，∴，，则.故选：C.8．在中，为上一点，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件转化边角的关系，计算即可.【详解】法一、相似转化边的关系如图所示，在和中，有,故,设，则，,所以设则根据相似比：得又，由余弦定理可得：则，，故法二、正弦定理边化角.设，则,在和中,有，由正弦定理有：，两式相除得：由三角恒等变换公式得：由弦化切，构造齐次式得：，即，解之得：或在中，则，故故选：D【点睛】本题考察向量与解三角形的综合，属于压轴题.方法一通过已知找到边之间的关系是关键，在根据余弦定理即可解得答案；方法二是根据“爪”型三角形，通过两次正弦定理转化边角关系，解有关角的方程，颇考验计算功底.二、多选题9．若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是（

）A．若ab，b⊂α，则aαB．若aα，bα，则abC．若ab，bα，则aαD．若aα，b⊂α，则ab或a与b异面【答案】ABC【分析】根据空间中的平行关系结合线面的位置关系逐项分析判断.【详解】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A为假命题；A1B1平面ABCD，B1C1平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B为假命题；ABCD，CD平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C为假命题；因为aα，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以ab或a与b异面，D为真命题．故选：ABC.10．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（

）A．，，，有两解B．，，，有两解C．，，，只有一解D．，，，只有一解【答案】CD【分析】利用正弦定理，逐项计算判断作答.【详解】对于A，因为，，则，由正弦定理，得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.故选：CD11．如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（

）A．∥ B．∥面C．∥面 D．三棱锥的体积不变【答案】BCD【分析】对于AB，由面面平行的性质分析判断，对于C，由线面平行的判定结合正方体的性质分析判断，对于D，由和∥分析判断.【详解】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误，对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确，对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确，对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以点到平面为常数，因为三角形的面积为常数，所以为定值，因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确，故选：BCD.12．在锐角中，角的对边分别为，外接圆半径为，若，，则（

）A． B．C．的取值范围为 D．周长的最大值为【答案】ACD【分析】根据正弦定理即可得外接圆半径，即可判断A；由锐角得角的范围，从而得的范围，由正弦定理得，即可得的范围，即可判断B；根据数量积的定义将，再由，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的取值范围为从而判断C；同样由正弦定理得，将三角形周长边化角之后，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得周长的最大值，即可判断D.【详解】由正弦定理得，则，故A正确；在锐角中，，则，所以，得，则，由正弦定理得，则，故B不正确；又由于，所以，则，于是有，即的取值范围为，故C正确；由正弦定理得，则，所以周长为：由于，所以，则，于是有，故周长的最大值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知向量，若，则__________.【答案】1或【分析】根据平面向量的平行的性质即可求解.【详解】由，有，即，解得或.故答案为：1或.14．已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为______．【答案】【分析】由于已知向量,利用一个向量在另一个向量上投影向量的定义即可求得.【详解】向量,而向量在向量的方向上的投影为，,,向量在向量的方向上的投影为:;故向量在向量的方向上的投影向量为.故答案为：.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，则，在正三角形中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：.故答案为：.四、解答题17．已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．(1)求复数z；(2)求的模．【答案】(1)(2)【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.【详解】（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数.（2）由（1）可知复数，则，所以的模为.18．已知向量与的夹角，且，．(1)求；(2)与的夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，则，所以；（2）由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.19．在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈．(1)请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征；(2)求所得几何体的表面积和体积．【答案】(1)答案见解析(2)，【分析】（1）直接由旋转体的结构特征得结论；（2）结合图中数据计算该组合体的表面积和体积.【详解】（1）根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体是上部是圆锥,下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体;（2）该组合体的表面积为，组合的体积为.20．在中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求的值；(2)已知的面积为，求a的值．【答案】(1)2(2)1或【分析】（1）边化角，利用正弦定理即可求解；（2）应用三角形面积公式计算出AB边上的高，再利用勾股定理即可.【详解】（1）由正弦定理得：

,，

,，因为A，C是三角形内角，，所以，而由正弦定理得，∴，即；（2）由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h，则三角形ABC的面积，作下图：过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h，设AD=x，则由勾股定理得到下列方程组：，解得，由公式法得，，a=1；21．如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定.【详解】（1）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面.（2）假设在棱上存在点，使得平面，延长交于，连接交于，，为中点，