2022-2023学年黑龙江省双鸭山市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市高一下学期期中数学试题一、单选题1．设，则复数的实部和虚部之和为（

）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】利用复数的乘法可得，从而可得其实部和虚部之和.【详解】，故其实部为，虚部为，两者的和为，故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法以及复数的虚部和实部，注意复数的虚部为，本题属于基础题.2．中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可直接求出.【详解】由余弦定理得，.故选：C.3．向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用坐标求得与同向的单位向量，由可知所求向量为.【详解】，与同向的单位向量，又，所求投影向量为.故选：C.4．已知直线和平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系对四个选项逐一分析，即可判断.【详解】对A：若，，则或，故A错误；对B：若，，则或，故B错误；对C：根据垂直于同一平面的两条直线平行可知，C正确；对D：若，，则与可能平行、可能相交、可能异面，故D错误.故选：C5．如图，在△ABC中，，，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解.【详解】解：由题意得：，故选：D.6．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形如图所示，若，那么原的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，所以的底．斜边，则为直角三角形，高．所以直角三角形的面积是．故选：B．7．空间四边形中，，，分别是，的中点，，则异面直线，所成的角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】取AC中点G，连接EG、FG，可知∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在△EFG中，由余弦定理可得cos∠EGF，结合角的范围可得答案．【详解】取AC中点G，连接EG、FG，由三角形中位线的知识可知：EGBC，FGAD，∴∠EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在△EFG中，cos∠EGF，∴∠EGF＝120°，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°，故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成的角，涉及解三角形的应用，属中档题．8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A二、多选题9．已知两点，，则与向量垂直的单位向量（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】设，根据单位向量的模长公式以及向量垂直的坐标表示列式可求出结果.【详解】因为，，所以，设，则且，所以，解得或，所以或.故选：AB10．，是三个平面，是两条直线，下列四个命题中错误的是（

）A．若，则 B．若则C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.【详解】对于A，若，由平面与平面平行的性质可得，故选项A正确；对于B，若，当与相交时，，故选项B错误；对于C，若则与无公共点，因为，所以与无公共点，所以，故选项C正确；对于D，若，，则或与相交，故选项D错误.故选：BD.11．在中，设所对的边分别为，则以下结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形.B．若，则C．若，则是锐角三角形.D．若，则一定是一个钝角三角形.【答案】BD【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据正弦定理及大边对大角的性质可判断B，由余弦定理以及锐角三角形的定义判断C，根据已知条件及余弦定理判断D.【详解】，，或，即或，为等腰或直角三角形，故A错误；，由正弦定理可知，，故B正确；因为，所以，所以，而角、角不一定是锐角，所以不一定是锐角三角形，故C错误；设，则解得，则，因为，所以是钝角，故D正确.故选：BD12．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（

）A．正四面体的体积为B．正四面体外接球的表面积为C．如果点在线段上，则的最小值为D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为【答案】BCD【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使最小，只需共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值.【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，为底面中心，则共线，为体高，故，所以，故正四面体的体积为，A错误；由题设，外接球球心在上，且半径，所以，则，故外接球的表面积为，B正确；由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，所以且，，又，而，要使最小，只需共线，则，所以，C正确；如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为，所以其侧面积，故当时，，D正确.故选：BCD三、填空题13．已知复数为纯虚数，则________.【答案】【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】因为复数为纯虚数，所以且，解得.故答案为：14．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.【答案】【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，所以圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则，所以，所以圆锥的表面积为.故答案为：.15．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为．【答案】【详解】试题分析：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即【解析】点、线、面间的距离计算四、双空题16．已知锐角的内角所对的边分别，角．若是的平分线，交于，且，则的最小值为________；若的外接圆的圆心是，半径是1，则的取值范围是________．【答案】.【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代换，基本不等式即可得出结果.(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出，进而得出结果.【详解】(1)由是的平分线，得，又，即，化简得，，当且仅当，即，时，取等号．(2)，=，是锐角三角形，，，．故答案为：；.五、解答题17．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5cm，(1)求该组合体的体积；(2)求该组合体的表面积.【答案】(1)（cm3）(2)（cm2）．【分析】（1）根据长方体和球的体积公式可求出组合体的体积；（2）根据长方体和球的表面积公式可求出组合体的表面积；【详解】（1）根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得，又，所以所求几何体体积为：，（2）因为长方体的表面积，半球的底面积，球的表面积，故所求几何体的表面积为.18．已知向量.(1)若，求；(2)若向量与的夹角是钝角，求实数k的取值范围.【答案】(1)；(2)且.【分析】(1)根据向量共线的坐标表示即可求出k，根据向量模长公式即可计算；(2)若向量与的夹角是钝角，则＜0且与不反向，根据数量积即可运算.【详解】（1）∵，∴，解得，∴.（2）∵与的夹角是钝角，∴，且与不反向，即且，∴且.19．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PB中点，连接FG，EG，证明，根据鲜明平新的判定定理即可证明结论；（2）利用线面平行的性质定理即可证明结论.【详解】（1）证明:取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点,所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以,因为平面PBE，平面PBE，故平面PBE.（2）证明:由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面,所以.20．已知的内角、、的对边分别是、、，且.(1)求；(2)若，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答.（2）利用余弦定理结合均值不等式求出的最大值，再由面积定理求解作答.【详解】（1）在中，，由及正弦定理得：，即，，于是得，又，即，则，因，所以.（2），由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，因此，，于是得，当且仅当时取“=”，所以的面积的最大值为.21．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面角的定义进行求解即可.【详解】（1）在正方形中，，因为，所以，又因为侧面是正方形，所以，因为平面，所以平面，而平面，则，而，∴，而，又平面，∴平面（2）连接，如图所示：∵为正方形，，∴，而平面，∴平面，∴为直线与平面所成的角，∵，∴，所以直线与平面所成的角为.22．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)求的取值范围；(3)若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先由向量的数量积