2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：基本不等式章节综合

2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编

基本不等式章节综合

一、单选题

1.（2020・北京•清华附中高一期末）玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x

件，则平均仓储时间为9天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用

O

之和最小，每批应生产产品

A.60件B.80件C.100件D.120件

二、填空题

2.（2017•北京八中高一期末）当xe[l,9]时，不等式卜?-3尤|+产+322公:恒成立，则上的取值范围是

3.（2019•北京师大附中高一期末）已知x,ye（0,+oo）,x+y=l,则的最小值为____________.

xy

4.（2019・北京401中学高一期末）已知正实数x,y满足2x+y=2,则孙的最大值为.

5.（2020.北京.中国人民大学附属中学朝阳学校高一期末）已知平面向量£,石的夹角为120°，且£/=-1，则

卜可的最小值为.

6.（2021•北京二中高一期末）已知函数y=〃i（a>0,且“片1）的图象恒过定点A,若点A在一次函数，=，肛+〃的

图象上，其中〃5>0,则工+工的最小值为.

mn

7.（2020•北京・首都师范大学附属中学高一期末）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该

药品的浓度C（单位：rng/L）随时间，（单位：h）的变化关系为C==207/,则经过_______h后池水中药品的

t+4

浓度达到最大.

19

8.（2019•北京•中央民族大学附属中学高一期末）已知x>0,y>0且一+—=1,求％+）的最小值为______.

xy

三、解答题

9.（2021・北京・101中学高一期末）设A是由〃个实数构成的一个有序数组，记作A=（q,%,…,如…,你）.其中

4（i=l,2,L,〃）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”《的下标，如果数组S=（々也,L4）（％<〃，中的每

个“元”都是来自数组A中不同下标的"元”，则称S为A的“子数组”.定义两个数组A=（q,%,…,为），

8=（自也,…也）的“关系数”为。（A,B）=哂+a2b2+•■•+anbn.

⑴若A=bg,J,8=3也也也），且8中的任意两个“元”互不相等，3的含有两个“元”的不同“子数组”共有

。个，分别记为S「S2，L,s,.

①片一：

②若鸟eN,,1<^.<101（7=1,2,3,4）,记X=£设（A,Sj|,求X的最大值与最小值：

<=1

⑵若A=冬冬/，B=（（W,c）,且/+/+°2=1，s为5的含有三个“元”的“子数组”,求C（A,S）的最

\/

大值.

1.1

10.（2019•北京・101中学高一期末）若X,y为正实数，求证：（x+—）-+（y+—）92>4,并说明等号成立的条件.

参考答案

1.B

【解析】

确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等

式，即可求得最值.

【详解】

解：根据题意，该生产X件产品的生产准备费用与仓储费用之和是8OO+XW=8OO+：X2

OO

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为〃丁)=吧£

800x(x为正整数)

----+—

Xx8

由基本不等式，得陋+?..2?号=20

x8Vx8

当且仅当&=5,即x=80时，/⑴取得最小值,

x8

，x=8O时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故选：B

【点睛】

本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确

给出答案，属于基础题.

2.B13

【分析】

3232

按绝对值定义分类讨论：当1W3，f(x)=3+—>k当3VxM9,f(x)=2x+--3>k,再根据对应函数单调

XiX

性或基本不等式求最值求最值，即得左的取值范围.

【详解】

xe［1,9］时，不等式,一3目+X2+322H恒成立,

等价为k2一3耳+/+32

X

|x~-3x1++32

设/(X)、1------!----------

X

32

当14x43,/W=3+—,在［1,3］上单减，

X

41

/minU)=/(3)=y,

37I32

当3vxW9,/(x)=2x+—-3>2-J2x---3=13,

XvX

当且仅当2x='32,x=4成立，

X

:./㈤最小值为13.

.'4<13.

故答案为：*413.

【点睛】

对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一

端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意

分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

3.4

【分析】

由x,ye(O,y),且x+y=l,进行1的代换,+，=(-+-)(x+y)，展开利用基本不等式可求.

''xyxy

【详解】

''x,y>0.且x+y=l,

,1111yx、

则一+—=(-+-)(x+y)=2+-+->4,

xyxyxy

当且仅当2V=X一且x+y=l即x=y=:1时取等号，此时所求最小值4.

xy2

故答案为4.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用.

41

【分析】

由基本不等式可得2=2x+yN2"五，可求出孙的最大值.

【详解】

因为x>0,y>0,所以2=2x+yN27^，

故当且仅当2x=y=l时，取等号.

故答案为

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件.

5.V6

【解析】

先利用平面向量2,B的夹角为120。，且75=-1解出同卡1=2,然后求解卜片的最值即可得到k-q的最值.

【详解】

因为.4=口帆.8$，=_防雨=_1,所以,，目=2,

而=a-2a-b+b-p/|+1『+222.卜向+2=6,当且仅当W=W=3时等号成立，所以|£-加上木

故答案为：瓜.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.

6.4

【详解】

由题意可知定点A(1,1),所以m+n=l,因为肛〃>0,所以‘+,=」+3(〃?+〃)=2+%+"=2+2、/丝xK=4,当

mnmnnm\nm

时，’的最小值为4.

2mn

7.2

【详解】

<

20r2020一

4-4

C=77A=+

E

4

当且仅当，=—且t>0,即t=2时取等号

t

考点：基本不等式，实际应用

8.16

【分析】

根据x+y=(x+y)(g+(),利用基本不等式可求得最小值.

【详解】

19

vx>0,y>0且一+—=1,

xy

.•.x+y=(x+y)f-+-L10+—+^>10+2P^=16(当且仅当出=工，即y=3x时取等号)，

(xy)y九Ryxyx

・«+6=16.

故答案为：16.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项

配凑成符合基本不等式的形式.

9.(1)①6；②最大值为199,最小值为5；(2)1

【解析】

(1)①根据“子数组”的定义可得；

6O1

②不妨设仄<瓦<区<瓦,则可得X=Z|C(A,S,)|=彳伍-4)+孑(4也)，根据1<^.<101(7-1,2,3,4)可得最值；

;=1'2

(2)分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质即可求解.

【详解】

(I)①根据“子数组”的定义可得，8的含有两个“元”的不同，子数组”有3也),(g4),伯也)俱也),(伪也),(4e)

共6个，，0=6；

②不妨设A<仇<4<2，

X=Z|C(A,Sj=--bt+-b2+--bx+-b3+--bt+-b4+--b2+-by+--b2+-bA+--b3+-b4

3i

=594-仿)+2(4_2)>

因为"44101()=l,2,3,4),

则当么=1也=2也=100也=101时，X取得最大值为彳3x100+]1x98=199,

当4也也也是连续的四个整数时，X取得最小值为]3x3+]1xl=5；

(2)由B=(O,a,b,c),且°2+〃+c2=i可知，实数a,"c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类

讨论，

①当。是S中的“元”时，由于A=冬冬当中的三个“元”都相等及B中三个“元"a,0,c的对称性，可只计算

\/

C(A,S)=4(a+6)的最大值，

^a2+h2+c2=\,则(a+»2w2(/+从)工2(/+从+/)=2,

可得a+bE[-\/2,V2J,

故当c=0,a=%=孝时a+b达到最大值夜，故C(A,S)四=^x&=*；

②当0不是S中的“元”时，

C(A,S)=(a+b+c)<{(a+S+c)2=>Ja2+b2+c2+2(ab+be+ac)>

又a2+b2>lab,b2-\-c2>2bc,a2+c2>lac,

则yja2+h2+c2+2(ah+hc+ac)<,3(/+〃+c2)=1,

当且仅当a=6=c=且时，取到最大值，故C(A,S)m”=l,

3

综上，CM.SU=1.

【点睛】

本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解子数组的定义以及“关系数”的定义，巧妙利用不等式的性质求解.

10.当且仅当x=y=也时取等号，证明见解析