高中数学必修五不等式测试题

PAGEPAGE4必修五阶段测试三(第三章不等式)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山西太原期末)不等式x(x－2)>0的解集是()A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－2,0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)2．(2017·江西金溪县一中月考)直线a>b>0，那么下列不等式成立的是()A．－a>－bB．a＋c<b＋cC.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．(－a)2>(－b)23．y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2－4x＋3)·\f(1,x2＋x－2)))的定义域是()A．{x|x≤1或x≥3}B．{x|x<－2或x>1}C．{x|x<－2或x>3}D．{x|x≤－2或x>3}4．若x，y∈R,x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值eq\f(1,2)和最大值1B．最小值eq\f(3,4)和最大值1C．最小值eq\f(1,2)和最大值eq\f(3,4)D．最小值15．(2017·黑龙江鸡西期末)若x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥y，,x＋y≤1,y≥－1，))，则z＝－2x＋y的最大值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．2D．－56．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b7．已知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．58．(2017·山东德州武城二中期末)不等式eq\f(3x2＋2x＋2,x2＋x＋1)≥m对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是()A．m≤2B．m<2C．m≤3D．m<39．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1B．2或eq\f(1,2)C．2或1D．2或－110．(2017·贵州铜仁期中)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2＋c2＝2a2，则cosAA.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5B．29C．37D．4912．若对满足条件3x＋3y＋8＝2xy(x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋16≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，8]B．[8，＋∞)C．(－∞，10]D．[10，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设常数a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．14．(2017·湖北黄冈期末)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,x≥0，,y≥0，))则w＝eq\f(4x＋2y－16,x－3)的取值范围是________．15．给定区域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0，))令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．16．(2017·山西忻州一中期末)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a，b，c为不相等的正数，且abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).18.(12分)(2017·安徽蚌埠二中期中)解不等式0<eq\f(x－12,x＋1)<1，并求适合此不等式的所有整数解．19．(12分)(2017·内蒙古阿盟一中期末)(1)已知x>0，求f(x)＝eq\f(2,x)＋2x的最小值和取到最小值时对应x的值；(2)已知0<x<eq\f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值．20.(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7＝0，,y＝1，))得A(6,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3＝0，,y＝1，))得B(－2，1)，而目标函数z＝a2＋b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与A(6,1)重合时，a2＋b2取到最大值37.12．C∵xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，∴3x＋3y＋8＝2xy≤eq\f(x＋y2,2)，∴eq\f(x＋y2,2)－3(x＋y)－8≥0，解得x＋y≥8，∵(x＋y)2－a(x＋y)＋16≥0恒成立，即a≤x＋y＋eq\f(16,x＋y)，又x＋y＋eq\f(16,x＋y)≥10.∴只需a≤10，故选C.13.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析：∵a>0，x>0，∴9x＋eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))＝6a.当且仅当9x＝eq\f(a2,x)，即3x＝a时取等号，要使9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1成立，只要6a≥a＋1，即a≥eq\f(1,5).∴a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)).14.[5,6]解析：w＝eq\f(4x＋2y－16,x－3)＝eq\f(4x－3＋2y－4,x－3)＝4＋2×eq\f(y－2,x－3)，设k＝eq\f(y－2,x－3).则k的几何意义是区域内的点到定点D(3,2)的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象得AD的斜率最小，BD的斜率最大，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，B(1,0)，此时kAD＝eq\f(\f(1,2)－2,0－3)＝eq\f(1,2)，此时w最小为w＝4＋2×eq\f(1,2)＝4＋1＝5，kBD＝eq\f(0－2,1－3)＝1，此时w最大为w＝4＋2×1＝6，故5≤w≤6.15．6解析：画出可行域如图所示，其中z＝x＋y取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线．16．18解析：由2x＋8y－xy＝0得eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(8,x)))＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥18.当且仅当2x2＝8y2，即x＝2y时，等号成立．17．证明：证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＝eq\r(\f(1,bc))＋eq\r(\f(1,ca))＋eq\r(\f(1,ab))<eq\f(\f(1,b)＋\f(1,c),2)＋eq\f(\f(1,c)＋\f(1,a),2)＋eq\f(\f(1,a)＋\f(1,b),2)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).故原不等式成立．证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝bc＋ca＋ab＝eq\f(bc＋ca,2)＋eq\f(ca＋ab,2)＋eq\f(ab＋bc,2)>eq\r(abc2)＋eq\r(a2bc)＋eq\r(ab2c)＝eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).故原不等式成立．18．解：∵0<eq\f(x－12,x＋1)<1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－12<x＋1，,x－1≠0，))∴0<x<3，且x≠1.故不等式的解集为{x|0<x<3，且x≠1}，∴适合此不等式的所有整数解为x＝2.19.解：(1)f(x)＝eq\f(2,x)＋2x≥2eq\r(\f(2,x)·2x)＝4，当且仅当eq\f(2,x)＝2x，即x＝1时，等号成立，∴f(x)的最小值为4，此时对应的x的值为1.(2)∵0＜x＜eq\f(1,3)，∴1－3x＞0.y＝x(1－3x)＝eq\f(1,3)·3x(1－3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq\f(1,12)，当且仅当3x＝1－3x，∴x＝eq\f(1,6)时，等号成立，∴y＝x(1－3x)的最大值为eq\f(1,12).20．解：(1)由已知得f(1)＝－a2＋6a即a2－6a－3<0.解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴不等式f(1)>0的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)>b，∴3x2－a(6－a)x＋b－6<0，由题意知，－1,3是方程3x2－a(6－a)x＋b－6＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a6－a,3)＝2，,\f(b－6,3)＝－3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))21.解：(1)由x>0,y>0,y＝3n－nx>0，得0<x<3.所以x＝1或x＝2，即Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．记y＝－nx＋3n为l,l与x＝1,x＝2的交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1＝2n,y2＝n,∴an＝3n(n∈N＋)．(2)∵Sn＝3(1＋2＋…＋n)＝eq\f(3nn＋1,2)，∴Tn＝eq\f(nn＋1,2n).又eq\f(Tn＋1,Tn)＝eq\f(n＋2,2n)>1⇒n<2，∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1<T2＝T3