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文档简介

PAGEPAGE4必修五阶段测试三(第三章不等式)时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017·山西太原期末)不等式x(x-2)>0的解集是()A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-2,0)C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)2.(2017·江西金溪县一中月考)直线a>b>0,那么下列不等式成立的是()A.-a>-bB.a+c<b+cC.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D.(-a)2>(-b)23.y=logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2-4x+3)·\f(1,x2+x-2)))的定义域是()A.{x|x≤1或x≥3}B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|x≤-2或x>3}4.若x,y∈R,x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有()A.最小值eq\f(1,2)和最大值1B.最小值eq\f(3,4)和最大值1C.最小值eq\f(1,2)和最大值eq\f(3,4)D.最小值15.(2017·黑龙江鸡西期末)若x,y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥y,,x+y≤1,y≥-1,)),则z=-2x+y的最大值为()A.1B.-eq\f(1,2)C.2D.-56.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b7.已知a>0,b>0,则eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+2eq\r(ab)的最小值是()A.2B.2eq\r(2)C.4D.58.(2017·山东德州武城二中期末)不等式eq\f(3x2+2x+2,x2+x+1)≥m对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是()A.m≤2B.m<2C.m≤3D.m<39.x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-2≤0,,x-2y-2≤0,,2x-y+2≥0,))若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或-1B.2或eq\f(1,2)C.2或1D.2或-110.(2017·贵州铜仁期中)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若b2+c2=2a2,则cosAA.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.-eq\f(1,2)11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-7≤0,,x-y+3≥0,,y≥0.))若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为()A.5B.29C.37D.4912.若对满足条件3x+3y+8=2xy(x>0,y>0)的任意x、y,(x+y)2-a(x+y)+16≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,8]B.[8,+∞)C.(-∞,10]D.[10,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设常数a>0,若9x+eq\f(a2,x)≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为________.14.(2017·湖北黄冈期末)已知实数x,y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y≤1,,x≥0,,y≥0,))则w=eq\f(4x+2y-16,x-3)的取值范围是________.15.给定区域D:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+4y≥4,,x+y≤4,,x≥0,))令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定________条不同的直线.16.(2017·山西忻州一中期末)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a,b,c为不相等的正数,且abc=1.求证:eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)<eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c).18.(12分)(2017·安徽蚌埠二中期中)解不等式0<eq\f(x-12,x+1)<1,并求适合此不等式的所有整数解.19.(12分)(2017·内蒙古阿盟一中期末)(1)已知x>0,求f(x)=eq\f(2,x)+2x的最小值和取到最小值时对应x的值;(2)已知0<x<eq\f(1,3),求函数y=x(1-3x)的最大值.20.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y-7=0,,y=1,))得A(6,1),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+3=0,,y=1,))得B(-2,1),而目标函数z=a2+b2表示点C到原点距离的平方,所以当点C与A(6,1)重合时,a2+b2取到最大值37.12.C∵xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+y,2)))2,∴3x+3y+8=2xy≤eq\f(x+y2,2),∴eq\f(x+y2,2)-3(x+y)-8≥0,解得x+y≥8,∵(x+y)2-a(x+y)+16≥0恒成立,即a≤x+y+eq\f(16,x+y),又x+y+eq\f(16,x+y)≥10.∴只需a≤10,故选C.13.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5),+∞))解析:∵a>0,x>0,∴9x+eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))=6a.当且仅当9x=eq\f(a2,x),即3x=a时取等号,要使9x+eq\f(a2,x)≥a+1成立,只要6a≥a+1,即a≥eq\f(1,5).∴a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5),+∞)).14.[5,6]解析:w=eq\f(4x+2y-16,x-3)=eq\f(4x-3+2y-4,x-3)=4+2×eq\f(y-2,x-3),设k=eq\f(y-2,x-3).则k的几何意义是区域内的点到定点D(3,2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由图象得AD的斜率最小,BD的斜率最大,其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))),B(1,0),此时kAD=eq\f(\f(1,2)-2,0-3)=eq\f(1,2),此时w最小为w=4+2×eq\f(1,2)=4+1=5,kBD=eq\f(0-2,1-3)=1,此时w最大为w=4+2×1=6,故5≤w≤6.15.6解析:画出可行域如图所示,其中z=x+y取得最小值时的整点为(0,1),取得最大值时的整点为(0,4),(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.16.18解析:由2x+8y-xy=0得eq\f(2,y)+eq\f(8,x)=1,∴x+y=(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)+\f(8,x)))=10+eq\f(2x,y)+eq\f(8y,x)≥18.当且仅当2x2=8y2,即x=2y时,等号成立.17.证明:证法一:∵a,b,c为不等正数,且abc=1,∴eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c)=eq\r(\f(1,bc))+eq\r(\f(1,ca))+eq\r(\f(1,ab))<eq\f(\f(1,b)+\f(1,c),2)+eq\f(\f(1,c)+\f(1,a),2)+eq\f(\f(1,a)+\f(1,b),2)=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c).故原不等式成立.证法二:∵a,b,c为不等正数,且abc=1,∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)=bc+ca+ab=eq\f(bc+ca,2)+eq\f(ca+ab,2)+eq\f(ab+bc,2)>eq\r(abc2)+eq\r(a2bc)+eq\r(ab2c)=eq\r(a)+eq\r(b)+eq\r(c).故原不等式成立.18.解:∵0<eq\f(x-12,x+1)<1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,x-12<x+1,,x-1≠0,))∴0<x<3,且x≠1.故不等式的解集为{x|0<x<3,且x≠1},∴适合此不等式的所有整数解为x=2.19.解:(1)f(x)=eq\f(2,x)+2x≥2eq\r(\f(2,x)·2x)=4,当且仅当eq\f(2,x)=2x,即x=1时,等号成立,∴f(x)的最小值为4,此时对应的x的值为1.(2)∵0<x<eq\f(1,3),∴1-3x>0.y=x(1-3x)=eq\f(1,3)·3x(1-3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x+1-3x,2)))2=eq\f(1,12),当且仅当3x=1-3x,∴x=eq\f(1,6)时,等号成立,∴y=x(1-3x)的最大值为eq\f(1,12).20.解:(1)由已知得f(1)=-a2+6a即a2-6a-3<0.解得3-2eq\r(3)<a<3+2eq\r(3).∴不等式f(1)>0的解集为{a|3-2eq\r(3)<a<3+2eq\r(3)}.(2)∵f(x)>b,∴3x2-a(6-a)x+b-6<0,由题意知,-1,3是方程3x2-a(6-a)x+b-6=0的两根,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a6-a,3)=2,,\f(b-6,3)=-3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3±\r(3),,b=-3.))21.解:(1)由x>0,y>0,y=3n-nx>0,得0<x<3.所以x=1或x=2,即Dn内的整点在直线x=1和x=2上.记y=-nx+3n为l,l与x=1,x=2的交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1=2n,y2=n,∴an=3n(n∈N+).(2)∵Sn=3(1+2+…+n)=eq\f(3nn+1,2),∴Tn=eq\f(nn+1,2n).又eq\f(Tn+1,Tn)=eq\f(n+2,2n)>1⇒n<2,∴当n≥3时,Tn>Tn+1,且T1=1<T2=T3

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