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文档简介
第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题人教版八年级数学上册
如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?
两点之间,线段最短①②③温故知新如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?P泵站建在点P可使输气管线最短如图:在铁路旁边有一张庄,现在要建一火车站,为了使张庄人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路上选一点来建火车站,并说明理由。张庄∟垂线段最短温故知新
引言:
前面我们研究了一些关于“两点的所有连线中,线
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.引入新知问题1
相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?探索新知BAl追问1
这是一个实际问题,你打算首先做什么?将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.探索新知B··Al(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;探索新知追问2
你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?B·lA·探索新知追问2
你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?(2)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l的什么位置时,
AC与CB的和最小(如图).BAlC追问1
对于问题2,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?探索新知问题2
如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?探索新知问题2
如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA··作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.探索新知问题2
如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·B′C探索新知问题3
你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′C证明:如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知,
BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC
=AC+B′C=AB′,AC′+BC′
=AC′+B′C′.探索新知问题3
你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′探索新知问题3
你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′证明:在△AB′C′中,
AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即AC+BC最短.若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.探索新知B·lA·B′CC′追问1
证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么?探索新知追问2
回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?B·lA·B′CC′运用新知练习如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路:
由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC
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