高中数学-基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE3.4基本不等式（第一课时）教学设计一、 教材分析《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识,

它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。二、教学目标1．通过让学生观察第24届国际数学家大会会标图案中隐含的与几何图形面积有关的相等关系与不等关系，从中抽象获得代数关系：一个重要不等式，体会数形结合的思想，并通过对重要不等式的证明，进一步提炼、完善重要不等式，2．通过观察，猜想得到基本不等式，并分别从对重要不等式的换元证明，分析法证明和几何法证明三种不同角度认识及证明基本不等式且学会简单应用；3．通过对基本不等式的探究及应用过程，培养学生自主，合作，探究的思维品质，同时感悟数学来源于生活，又应用于生活。以上教学目标结合了学生实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．三、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．四、教学基本流程（一）背景材料→抽象概括重要不等式→探究重要不等式的证明（二）关系式→归纳猜想基本不等式→探究基本不等式的证明→基本不等式的代数解释→基本不等式的几何解释→基本不等式的应用→归纳小结五、教学情境设计：探究（一）：重要不等式的形成与证明“阅读”一段微课，回答问题1：微课内容：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你你能从这幅图里找到与它们面积有关的相等关系吗？相信这个是难不倒你的，因为在初中就是根据该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，（回忆勾股定理的证明过程）体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的数学思想．问题1：从这张“弦图”包含的几何图形中你能抽象概括出与它们面积有关的不等关系吗？【设计意图】微课的引入丰富了学生对赵爽“弦图”的认识，同时也避免了教师让学生看材料导致的枯燥，还大大节省了教学的时间。（1）（2）【师生活动】教师让学生观看微课，学生在观看完微课后思考相应问题。（1）（2）问题1.1：将上图（1）中的“风车”抽象成图（2）。设直角三角形两条直角边长为，那么大正方形的边长为．于是，大正方形的面积，而4个全等直角三角形的面积之和．观察4个全等直角三角形的面积之和与正方形的面积的大小关系，我们可以得到怎样的式子呢？根据的实际意义，考虑有无限制条件？【设计意图】通过具体的问题引导学生思考，避免问题过大导致学生不知道研究什么。【师生活动】教师让学生自主阅读问题并找学生填空。问题1.2：当的值改变导致4个全等直角三角形的面积变化时，可能相等吗？如果相等，此时满足怎样的大小关系？【设计意图】通过几何画板的演示，由具体到抽象的帮助学生的认识，避免某些学生无法抽象动态画面而导致无法解决此问题。【师生活动】教师让学生观察并回答相应问题。问题1.3：根据上述推理你能完善刚才得出的式子吗？你能给出它的证明吗？问题1.4：通过证明我们发现的限制条件是否可以再扩大？如果可以，你能继续完善刚才得到的式子吗？【设计意图】通过一步步的追问，让学生明确研究问题的思路，很多问题的研究都是一步步完善的，而不是一步到位的。【师生活动】教师给出问题，让学生独自思考作答。问题1.5：回忆我们是怎样得到重要不等式的？【设计意图】让学生回忆研究问题的方法，渗透由几何图形抽象概括重要不等式的数学思想，同时体现以形助数的研究策略，从而教会学生如何去研究问题。【师生活动】学生经过短暂的思考后回答，教师板书并适时补充。探究（二）：基本不等式的形成与证明计算下面式子的值，比较大小。思考：观察上面式子的特点，你能归纳猜想出更一般的结论吗？【设计意图】让学生学会由特殊到一般的归纳猜想结论。【师生活动】学生自己在学案上填空，并归纳出相应的结论。问题2：观察重要不等式的式子结构特点，考虑如何通过重要不等式证明我们刚才猜想得到的式子？证法一：【设计意图】让学生学会通过换元法证明基本不等式。【师生活动】教师引导学生观察重要不等式的“形”，考虑换元思想证明基本不等式。问题3：能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？我们一起来分析一下。证法二：要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证(-)④显然,④是成立的,当且仅当时,④的等号成立。【设计意图】让学生初步感受分析法的证明过程。【师生活动】教师让学生自主填空。问题4：我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，根据这两个定义你能得到基本不等式的代数解释吗？【设计意图】证明完毕后，让学生认识基本不等式的代数解释，从而让学生对基本不等式的认识更加深刻。DCADCABE问题5：利用右图你能得出基本不等式的几何解释吗？证法三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．问题5.1：在圆中半径与半弦有怎样的大小关系？问题5.2：你能用表示半径吗？问题5.3：你能用表示半弦？【设计意图】让学生认识基本不等式的几何解释，再次丰富学生对基本不等式的认识。【师生活动】先让学生独立思考，之后再小组合作交流，挑选小组代表发言。探究（三）：基本不等式的简单应用例1、已知是正数，（1）若，则，当且仅当时等号成立；（2）若，则，当且仅当时等号成立；【设计意图】让学生学会基本不等式的简单应用。【师生活动】教师先让学生做出答案，之后继续发问，本题为什么会考虑用基本不等式来解决？让学生自己观察基本不等式的结构形式特点，总结出基本不等式打通了和式与积式的转化。例2、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？【设计意图】让学生学会用数学知识解决实际应用问题。【师生活动】教师让学生到黑板板演，学生纠正，点评。课堂小结：本节课：1.在知识层面：你学会了哪两个不等式？2.在数学思想方法层面：我们是怎样得到两个不等式的？体现了怎样的研究问题思路？都涉及了哪些数学思想方法？何时应用基本不等式？【设计意图】通过具体的问题引导让学生对本节课的知识框架及研究思路有一个整体的认识。【师生活动】让学生举手回答，不完善的地方教师引导或补充。小知识：国际数学家大会（简称ICM）是国际数学界四年一度的大集会.首次会议于1897年在瑞士苏黎世举行.每次国际数学家大会的开幕式上，由国际数学联合会领导人宣布该届菲尔兹奖获奖者名单，颁发金质奖章和奖金，并由他人分别在大会上报告获奖者的工作。菲尔兹奖是数学家的最高荣誉，奖章正面是阿基米德头像,并用拉丁文写有：“超越人类极限，做宇宙主人”的格言，奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪”。【设计意图】丰富学生的学识，让学生领略数学的文化魅力。【师生活动】教师让学生自主阅读欣赏。阅读完毕后，教师给出：我希望在以后的某一届数学大会上看到你的身影。给学生以激励，让学生对数学的学习延伸到课外。课后作业：1.书面作业：必做：课本选做：若，则为何值时有最小值，最小值为多少？2.研究性作业：你还能从其他角度来解释基本不等式吗？【设计意图：作业设计分为必做与选做及研究性作业,体现差异性教学,以照顾不同层次的学生。】学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识.如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提.这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用.因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，借助填空的方式让学生先领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等），以便在下节课重点解决这三个限制条件时做铺垫.效果分析大部分学生对于解决必做题没有什么大的问题，个别学生对于应用题的步骤，规范程度依旧不够。但大部分学生在解决选做题时还是有一定的难度，还仅限于对公式简单的套用，并没有深刻理解公式中的真正含义。当然，由于第一节课时间比较紧，不能对基本不等式的应用进行深入的讲解，无法让学生深刻理解公式中的含义也有一定的关系。教材分析《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识,

它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。3.4基本不等式（第一课时）作业试题必做题：1..（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，他们的和最小？（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，他们的积最大？2.已知直角三角形的面积等于，两条直角边各位多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？3．用长的铁丝折成一个面积做大的矩形，应当怎样折？选做题：（1）若，则为何值时有最小值，最小值为多少？（2）若，则为何值时有最小值，最小值为多少？3.4基本不等式（第一课时）课后反思：

优点：（1）信息技术的恰当运用大大增强了教学效果。①通过在课前播放微课，让学生回忆当初是如何通过“赵爽”弦图证明勾股定理的，给学生以新鲜感，也为本节课深入研究“赵爽”弦图做铺垫，同时避免了教师口述引领复习，学生兴趣不高的缺陷。②几何画板的运用。此阶段的学生抽象思维还是比较薄弱的，通过几何画板形象演示“赵爽”弦图中值改变让学生具体感受何时这两块面积相等，以及在基本不等式的几何解释中通过几何画板演示让学生形象感知等号成立的条件，有效的突破了学生抽象想象的难度。（2）数学思想引领课堂。①让学生观察第24届国际数学家大会会标图案中隐含的与几何图形面积有关的相等关系与不等关系，通过抽象概括的数学思想获得代数关系：一个重要不等式，体会由形到数的数形结合的思想。②观察几个关系式，通过猜想归纳，由特殊到一般的数学思想得到基本不等式，并给出基本不等式的代数与几何解释，再次体现数形结合的数学思想。（3）分组学习，合作学习提高效率。由于学生在基本不等式的几何解释的证明环节有一定的难度，所以先让学生独立思考后小组合作交流，既让学生有一定的想法，又让他们通过合作产生思维的碰撞，除培养学生的交流合作能力外，又教会学生可以从几何角度来解释基本不等式。缺点：由于本节课教学预设比较充分，因此实际生成若与设计不符合时，现场驾驭有一定的瑕疵，另外教学节奏快慢结合不够好，课堂结尾显得有些仓促.课标分析1．通过让学生观察第24届国际数学家大会会标图案中隐含的与几何图形面积有关的相等关系与不等关系，从中抽象概括获得代数关系：一个