第三节-求数列的前n项和课件

第三节求数列的前n项和备考方向明确方向比努力更重要复习目标学法指导1.等差、等比数列的前n项和公式.2.等差、等比数列的求和公式应用.(发展要求)3.常见求数列前n项和的方法.(1)倒序相加法(2)错位相减法(3)裂项法(4)分组求和法4.特殊数列求和.1.从求等差数列前n项和公式中体现高斯算法(即倒序相加法)的实质.2.从求等比数列的前n项和公式中体会错位相减法的作用.3.注意把握各种特殊数列.比如通项是分式形式,一般采取裂项求和;能转化为等差、等比的可以分组求和等.知识链条完善把散落的知识连起来网络构建一、等差数列与等比数列的前n项和二、求前n项和1.求和问题的切入口:对通项公式的分析研究,首先要准确识别出是等差数列还是等比数列.(1)从通项公式上识别,若an是关于n的一次函数,则数列{an}是等差数列.(2)从前n项和公式上识别,若Sn是关于n的无常数项的二次函数,则数列{an}是等差数列;若Sn是关于n的有非零常数项的二次函数,则从第二项起{an}为等差数列;若Sn是关于n的指数型函数与常数项之和,且指数型函数的系数与常数项互为相反数,则数列{an}为等比数列.2.三种常见求和类型(1)若数列的通项公式是由等差数列与等比数列之积构成的,常用错位相减法求和.(2)若数列的通项公式是由等差数列和等比数列之和构成的,常用拆项分组法求和.(3)若数列的通项是分式结构,分母所含因式是等差数列中相邻项时,常用裂项相消法求和.4.2+4+6+…+2n=n2+n.5.1+3+5+7+…+2n-1=n2.四、数列求和的基本思路1.一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具有某种方法适应特点的形式,从而选择合适的方法求和.2.解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路:一是转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成;二是不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.等价转换思想是解决数列求和问题的基本思想方法,它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决.温故知新1.数列{an}的前n项和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于(

)(A)9 (B)8 (C)17 (D)16A解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.故选A.A

3.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=

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高频考点突破在训练中掌握方法考点一分组法求和【例1】

已知数列{an},{bn}满足a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),bn=an-3n(n∈N*).(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.反思归纳分组法求和的常见类型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和.迁移训练在数列{an}中,a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn.(1)证明:数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求Sn;(3)证明:Sn+1>Sn+2n+n.考点二错位相减法求和【例2】数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的自然数an>0,4Sn=(an+1)2.(1)求证:数列{an}是等差数列,并求通项公式;(1)证明:令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,两式相减得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,所以an+1-an=2,则数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.反思归纳(1)新数列{cn}={an·bn},其中数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,求数列{cn}前n项和分三步:①写出数列{cn}的前n项和Sn=c1+c2+c3+…+cn;②把上述和式等号左右各项都乘以等比数列{bn}的公比q得qSn=qc1+qc2+qc3+…+qcn;③把所得两式相减,注意等号右边要错位相减,错位相减部分恰好组成一个等比数列的若干项的和式,然后整理化简.(2)错位相减法求数列的前n项和是一种重要方法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征:数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列.所谓“错位”,就是要找“同类项”相减,要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.错位相减法在使用时由于运算量较大,易出现因运算不准确而致错的问题,所以在求解过程中要注意在“两式相减”“结果整理”这些环节上的检查,最后可将n=1和n=2代入所得表达式进行检验.迁移训练(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.考点三裂项相消法求和【例3】数列{an}的前n项和为Sn,an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1+S4=0,b9=a1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;解:(1)因为an是Sn和1的等差中项,所以2an=Sn+1,所以Sn=2an-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以an=2an-1,当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,反思归纳(1)裂项相消法一般适用分式数列求和.把数列的通项分解为两项的差是这种方法使用的关键所在.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.(2)裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.迁移训练考点四含绝对值数列求和【例4】在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.反思归纳(1)有些数列是因项的正负分布不同而产生分段.对于这种数列,我们就要按参加求和的项是否是同一种符号的项分为两类来求和.需要注意的是该数列的项是按照什么规律进行分类的,只有准确把握项的正负分类才能正确地求解.(2)有些数列是因奇数项和偶数项分别按照不同规律而产生分段.对于这种数列,我们就要按参加求和的奇数项和偶数项的个数是否相同分为两类来求和.在每一类中,要注意奇数项和偶数项分别有多少,避免因分类不清而致错的现象产生.迁移训练(3)记Sn为数列{|an+1-an|}的前n项和,证明:Sn<6(n∈N*).解题规范夯实在平凡的事情上精益求精裂项相消及错位相减法求和【例题】

已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解题规范规范要求:(1)对bn中的符号易忽视讨论,当n为偶数时和当n为奇数时和是不同的;(2)裂项相消时,要注意消去了哪些项,余下哪些项;温馨提示:

(1)第1问实质是基本量的计算,对等差数列的通项公式及前n项和公式要得心应手;【规范训练1】(2017·山东卷)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{xn}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.课堂类题精练在练习中体会学习的乐趣类型一分组法求和1.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2016等于(

)(A)22016-1 (B)3·21008-3(C)3·21008-1 (D)3·21007-2

B2.有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为

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答案:2n+1-n-2类型二错位相减法求和3.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn=

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解析:Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-2(1-2n)-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1=-2-(n-1)·2n+1,所以Sn=2+(n-