2021-2022学年广西桂林市灵川县高二年级下册学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年广西桂林市灵川县潭下中学高二下学期期中考试数学

试题

一、单选题

1.晨=（）

A.4B.8C.10D.15

【答案】D

【分析】利用组合数公式直接计算作答.

【详解】谖=簪=15.

1x2

故选：D

2.i（2+3i）=

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

【答案】D

【详解】分析：根据公式=可直接计算得，（2+3。=-3+万

详解：i（2+3i）=2i+3i2=-3+2i,故选D.

点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主

要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共朝复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决

此类问题时，注意避免忽略『=-1中的负号导致出错.

3.己知函数/（力="，则f'（x）=（）

A.-B.exC.InxD.xex''

X

【答案】B

【解析】根据基本初等函数的导数公式可得出结果.

【详解】//（x）=","、'（工人".

故选：B.

【点睛】本题考查导数的计算，熟悉基本初等函数的导数公式是计算的关键，考查计算能力，属于

基础题.

4.对于命题“如果a>b>0”,“那么/>〃“，用反证法证明，应假设（）

A.cr>b2B.a2<b2C.a2^b2D.a2<b2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.

【详解】命题“如果a>b>0”,那么/>从”的结论是02>",而反证法证明命题时，是假设结

论不成立，即结论的反面成立，

所以所求假设是/4/A

故选：D

5.函数/(x)=alnx+x在x=l处取得极值，则〃的值为

A.0B.—1C.—D.—■

22

【答案】B

【详解】试题分析：:(力=2+1/«0,+0))有题意函数在x=l处取得极值，则令/⑴=。，可得

a--\

【解析】函数的极值

6.2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注.若A,B,C,。四人在自由式滑

雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有()

A.8种B.12种C.16种D.24种

【答案】C

【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.

【详解】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根

据分步乘法原理，不同的选法共有2x2x2x2=16种，

故选：C

7.己知函数“X)的导函数为:(x),若y=/'(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是

()

【解析】根据导函数大于0,原函数单调递增；导函数小于0,原函数单调递减；即可得出正确答案.

【详解】由导函数得图象可得：x>0时，r（x）<0,所以〃x）在（y，0）单调递减，

排除选项A、B,

当x>0时,广（X）先正后负,所以“X）在（0,+8）先增后减，

因选项C是先减后增再减，故排除选项C,

故选：D.

8.已知向量加，〃分别是直线/的方向向量和平面a的法向量，若cos〈MJ,〃）=_g,则直线/与平面a

所成的角为（）

兀c兀­兀r兀

A.-B.-C.-D.一

6342

【答案】A

【分析】根据平面法向量的定义及直线与平面所成角的概念，化简计算即可得出答案.

【详解】设直线/与平面a所成的角为，，则$汨。=卜0$〈见砌=；.

0=y.选项A正确，选项BCD错误

_2J6

故选：A.

9.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生,

甲说：”是丙获奖.“乙说：”是丙或丁获奖丙说：“乙、丁都未获奖丁说：”我获奖了.”这四位大学生

的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就

说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.

【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；

若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；

若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.

【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.

10.定义域为R的可导函数y=/(x)的导函数尸(X),满足且"0)=2,则不等式

了(力>涣、的解集为()

A.(p,。)B.(-<»,2)C.(0,+a?)D.(2,+巧

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=4。，利用导数可判断出函数y=g(x)为R上的增函数，并将所求不等式

e

化为g(x)>g(o),利用单调性可解出该不等式.

【详解】构造函数g(x)=萼，g，(x)=r(")："x)>0,

所以，函数y=g(x)为R上的增函数，

由［"(0)=2,则g(o)=半=2,/(x)>2e\可得绰>2,即g(x)>g(O),

.-.x>0,因此，不等式/(x)>2e'的解集为(0,+8).

故选：C.

【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析

问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.如图，在四棱锥P-中，侧面P4Q是边长为4的正三角形，底面ABC£>为正方形，侧面

PAZ〃底面ABC。，〃为平面ABC3上的动点，且满足MP*MC=0,则点M到直线A3的最远距

离为

A.2遥B.3+亚C.4+石D.4+2也

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，求出点M的轨迹，然后求出点加到直线A8的最远距离

【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系

则尸(2,0,2®,C(0,4,0),

设M(a,b,0),0<a<4,0</?<4

MP=(2-a-b,2^3],MC=(-a,4~b,0)

MP-MC=0,

:.MP>MC=-2a+a2-4b+b2=0>整理得(a-1)2+(b-2)2=5

M为底面438内以。(1，2)为圆心，以「=6为半径的圆上的一个动点

则点”到直线A3的最远距离为4-1+石=3+石

故选B

【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹,

然后再求出点到线的距离问题

12.若函数/(x)=e'—+l有两个不同的极值点，则实数。的取值范是()

eeee

A.a>—B.()<〃<—C.a<——D.a<——

4444

【答案】A

【分析】求出函数/*)的导数f(x),再利用导数与极值的关系求出了'(X)有两个不同零点的“的取

值范围作答.

【详解】函数/*)=6*-2/+1定义域为R,求导得f(x)=e'-4ax,

依题意，函数/(x)=e*-4ax在R上有两个不同的零点，

令g(x)=e'-4成,求导得g，(x)=e*-4a,显然函数&'⑶在R上单调递增,

当“W0时，g'(x)>0恒成立，函数((x)=g(x)在R上单调递增，函数/(X)最多一个零点，不符合

题意，

当a>0时，由g'(x)=O得x=ln4〃，当x<In4a时，g'(x)<0,当x>In4a时，g'(x)>0,

函数g(x),即/'(x)在(-<»,In4n)上单调递减，在(In4a,+8)上单调递增，

f'(x)min=尸(In4a)=4a(l-In4a),

当x<ln4a时，0<e*<4a,而Tax的取值集合为(-4“ln4a,+oo),

因此(x)在(-8,In4a)上取值集合为(4a(l-ln4a),+<»),

当x>ln4a时，令/?(x)=ln4x-2x,h'(x)=--2,当0<x<，时，〃'(x)>0,当x>1时，〃'(x)<(),

x22

即函数〃(x)在(0,；)上单调递增，在(g,+8)上单调递减，/?(x)W//(；)=ln2-l<0,因此1114a<2a,

令夕(x)=e*-x2,xzi,<p'(x)=ex-2x,令y=e工-2x,当时，恒有y'=e*-2>0,

即函数y="(x)在U，+8)上单调递增，e'(x)N"(l)=e-2>0,函数*(外在上单调递增，

v2

当时，奴x)》e(l)=e-l>0,因此当x21时，e>x.

2x2

取与=max{1,2a},当xN/时，e'>x.f'(x)=e-4ax>x-Aax,

而函数Y-4or在岛，+8)上的取值集合为［x：-4%,+8),因止匕/(x)在(In4a,+<»)上取值集合为

(4a(l-ln4a),+oo),

于是得函数((x)=e'-4以在R上有两个不同的零点，当且仅当4a(l-ln4a)<0,解得

4

所以实数。的取值范是

4

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，

结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

二、填空题

13.已知复数z满足z=l+i(i是虚数单位)，则5=.

【答案】1—i

【分析】利用共轨复数的定义直接求解作答.

【详解】复数z=l+i,所以W=

故答案为：1-i

14.已知向量〃=(3,4,5),6=(0,0,1),则〃/的夹角为.

【答案】£

4

【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，计算作答.

15J?

【详解】因为向量”=(3,4,5),b=(0,0,1),因此8$〈〃])=,““：，=/,,,—=—,而

V32+42+52xl2

jr

0<〈a,b)<7t,则〈。,力=—,

TT

所以”,6的夹角为：.

故答案为：~~

4

15.某校甲、乙、丙、丁4个学生自愿参加植树活动，有A,B,C这3处植树地点供选择，每人只

能选其中一处地点参与植树，且甲不在A地、乙不在B地植树，则不同的选择方式共有

种.

【答案】36

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算作答.

【详解】计算不同的选择方式的种数需分步进行，甲、乙选植树地点各有2种方法，丙、丁选植树

地点各有3种方法，

由分步乘法计数原理得：2x2x3x3=36,

所以不同的选择方式共有36种.

故答案为：36

[x2-l,x<l

16.已知函数/(x)=Inx,，若关于x的方程2[”X)T+(1+2M)/(X)_〃?=0有5个不同的实

-------1

Ix

数解，则实数机的取值范围是.

【答案】0</n<1

【分析】根据给定条件，分析、探讨函数的性质及图象，令/(x)=r,把原方程根的问题转化为

直线y=r与函数y=f(x)图象公共点个数，再结合二次函数实根分布求解作答.

【详解】当X21时，/(x)=—,求导得((X)=上坐，当l<x<e时，r(x)>0,当x>e时，

XX

ru)<o,

函数f(x)在|l,e)上单调递增，在(e,x)上单调递减，当x=e时，f(x)取得极大值f(e)=L,

e

当x<l时，=在(-0,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当x=0时，/(幻取得极小值

/(0)=-1,

rfn/(l)=0=l2-l,因此函数/(x)在(0,e)上单调递增，当时，/(x)>0恒成立,

令〃x)=/,在同一坐标系内作出直线y=f及函数y=.f(x)部分图象，如图,

当r<-l时，方程/(幻=,无实根，当f=-l或时，方程/⑴邛有1个实根，

e

当一l<f40或f时，方程/(》)=/有2个实根，当0<r<l时，方程/(8)=，有3个实根,

ee

依题意,方程g«)=2/+(l+2m)-/n=0有两个不等实根;再&气)，

△二(1+2加产+8"?=4机2+12机+1>0,解得m<一不3一0或加>一13+及,

当且仅当-1<4<0<f,或0<4=时，原方程有5个不同实数解,

ee

g(-l)=l-3m>0

当一1<乙<0</2时，<g(0)=-m<0,解得满足△>(),则°<相<；,

e

1e+2c—2八

g(-)=--------加>0

eee

g(0)=T〃=0

„1+2m1

当4=0<弓时,0<------<-，无解,

e4e

1e+2c—2

g(一)=-1-------rn>0

eee

g(0)=T%>0

当o<4<,=芍时,„1+2加1

0<------<-，无解,

e4e

/、e+2e-2

g(-)=-2-------m=0

eee

综上得：。＜旭＜：,

所以实数m的取值范围是。＜机＜；.

故答案为：。＜，”＜§

【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在

性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

三、解答题

17.在1-g)的展开式中.

(1)求第3项；

(2)求含,项的系数.

X

【答案】(1)112/(2)-448

【分析】(D直接利用二项式定理计算得到答案.

(2)直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】(1)^X-1-J=(X-2X-2)8＞T,=Cy-2(~2x-2)2=(-2)2C1x6.=4C；x2=112x2

8r2rrrs3r

(2)Tr+]=C；x-(-2%-)=(-l)2C；x-,令8-3r=—1,解得/'=3.

所以(=(-1)323点/=-・»所以含：项的系数为-448.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

18.已知函数f(x)=lnx-；x,xe(0,+oo).

⑴求函数/*）的图象在点（2,/（2））处的切线方程.

（2）求函数JU）的单调递增区间.

【答案】（I）y=ln2-1

（2）（0,2）

【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为广（2）,再根据点斜式得结果；

（2）先求导数,再根据导数大于零得函数/（x）的单调递增区间.

【详解】⑴解：〃犬）=欣-1，得r（x）=：_g,

/./（2）=ln2-l,f（2）=0,

函数在（2J（2））处的切线方程为y=ln2-l.

⑵解：.•.「⑺己一品头，

令制x）>0,得0<x<2,令r（x）<0,得x>2,

又的定义域是（0,+8），

；•函数〃x）的单调递增区间为（0,2）.

19.已知数列｛为｝的首项为2,且用

（I）写出数列｛%｝的前4项，并猜想数列｛q｝的通项公式；

（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.

【答案】（I）q=2,4=3,%=5,%=9,猜想：a“=2"T+l.（1［）见解析

【分析】（1）由归纳猜想即可得到答案；

（2）按照数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】（I）6=2,a2=3,a,=5,a4=9,

猜想：«„=2"-'+1.

（II）当相=1时，猜想显然成立，

假设〃=女（女21）时，猜想成立，即4=2/一+1,

•*,ak+\=2%-1=2（2，T+1）-1=2*+1,

即〃=%+1时，猜想也成立.

n

,对一切〃eN+，an=2-'+\.

【点睛】本题考查归纳推理与数学归纳法证明等式，由到〃=4+1时，除等式两端的变

化外，还要充分利用归纳假设，正确写出步骤，使问题得到证明.

20.如图，在四棱锥P-MCD中，P£)_L平面A8C。，四边形43co是矩形，点E是PC的中点，

PD=CD=2BC.

(1)证明：24//平面

(2)求二面角E-3£>-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵

6

【解析】(1)连接AC交于。，得到OE//E1,结合线面平行的判定定理，即可证得PA〃平面班)E.

(2)以。为原点，分别以04，DC，OP的方向为x轴，，轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系,

求得平面的一个法向量々和平面8。的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)连接AC交8。于。，在4c中，。，E为中点，所以OE〃出，

因为OEu平面BDE,P4a平面BQE,所以小//平面双出.

(2)以。为原点，分别以D4，DC，OP的方向为x轴，),轴，z轴正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，

设尸。=2,则E(OJl),B(l,2,0),且瓦=(0,1,1),DB=(l,2,0),

―/、fV4-Z=0.、

设平面BDE的法向量为勺=(x,y,z),满足f*+2y_0取丫=1，则4=(-2,1,-1),

UU

因为P£>J_平面ABC。，所以可以取平面BCD的一个法向量为%=(0,0,1).

可得cos(外,乙)飞一百

所以二面角E-BD-C的余弦值为".

6

【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：

1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二

面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向

量的夹角的大小就是二面角的大小.

21.第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获

得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌.假设冬奥会上某

项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛.比赛时按

预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌.

(1)决赛时共有多少种不同的出场顺序？

(2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种?.

(3)若每名参赛队员获得奖牌的可能性相等，求中国队获得奖牌的概率.

【答案】(1)720;

(2)600；

(3)y.

【分析】(1)由题可知6个队员的全排列；

(2)先排中国队有可种，再排其他队有其种，即得;

(3)由题可得获奖的所有结果数及中国队获得奖牌的结果数，即求.

【详解】(1)由题可知决赛时不同的出场顺序共有4=720种.

(2)先排中国队有A"中，再排其他队有父利

故中国队不是第一个出场的比赛顺序有可用=5X120=600种；

(3)由题可知获奖的所有结果共有耳=120种，

其中中国队获得奖牌的结果有48=60利*

所有中国队获得奖牌的概率为尸=^=J

22.已知函数,f(x)=gx2-2or+Inx,aeR.

(1)讨论f(x)的单调性;

⑵若/(x)有两个极值点小x2(x,<x2),求/(々)-2〃与)的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)^-ooi+|ln2.

【分析】(1)求出函数y=/(x)的定义域和导数，对实数。的取值进行分类讨论，利用导数分析导

函数y=/(x)的符号变化，由此可得出函数y=/(x)的单调递增区间和递减区间；

(2)由(1)可知演、々是关于X的二次方程/_2or+1=0的两根，利用韦达定理可将/(^)-2/(x,)

113

表示为以々为自变量的函数，换元，=¥>1，可得出/(%)-2/(占)=-,+；+53+1,令

g(r)=-夕+：+/lnr+l，利用导数求出函数y=g(。在fe(l,+«))上的值域，由此可得解•

【详解】(1)函数/(x)=；x2-2ox+lnx的定义域为(0,+8),

f'(x]-x-2a+—=-——2"'+',令y=x2-2ox+l.

XX

当A