2021-2022学年上海市徐汇区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题

一、填空题

1.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划

采用分层抽样法,抽取一个样本容量为90人的样本,则应在甲校抽取的学生数是.

【答案】30

【分析】根据分层抽样时样本容量与总体容量成正比，可以求出甲校抽取的学生数.

【详解】因为甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，计划采用分层抽样法.

所以3600:5400:1800=2:3:1,因此抽取一个样本容量为90人的样本,甲校抽取的学生数是

故答案为30

【点睛】本题考查了分层抽样定义，考查了数学运算能力,属于基础题.

2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推

选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有—种.

【答案】255

【分析】可以从所有学生中抽取2人，减去从每个年级中各抽取2人的组合数，从而得出结果.

【详解】所有的选法共有父8=378种，

这2名学生属于同一个年级的选法有C；+C：2+C；=123种，

故此2名学生不属于同一个年级的选出方法有378-123=255种.

故答案为：255.

1+3+5+…+(2〃-1)=110—+—+•••+—5—(〃eN*)

3.若L1,22-3"-(〃+1)」，贝|j”=

【答案】10

【分析】利用等差数列的求和公式和裂项相消即可求出答案.

(1+2/?-1)-=110(1--—)

【详解】由题意得2〃+1,

2UOn

n'=------

即"+1,

所以〃(〃+1)=110,

所以"=10.

故答案为：10.

4.如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系

。一小中，点（2。°）和点（°2，T）均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为.

16

—71

【答案】3

【分析】根据坐标确定圆锥的高与底面半径，再根据圆锥体积公式得结果.

.\JOA\-2

【详解】由题意得圆锥的高为1°川,底面半径为21万\0A\,

l^-x22x4=16万

所以圆锥体积为33,

16

—71

故答案为：3

【点睛】本题考查圆锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.已知直线/的方向向量为1=点"°'2，T）在/上，则点PG」』）到/的距离为

【答案】1

【分析】求出万与直线/的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离.

【详解】"=（2,T,2）,

a~AP2+0+2_2V2

CQS<a,AP>=

点尸（3』」）到，的距离产碎I,万山广

故答案为：1.

6.图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2

是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形“，莱洛三角形是以正三角形的三

个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5,底面任意

两顶点之间的距离为20,则其侧面积为.

图1图2图3

【答案】10°左

【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积.

【详解】由题意得“8C为等边三角形，且边长为20,如图所示，

/=--20=—

所以弧4C的长度为33,

20〃

曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为亍，宽为5的矩形，

1204_.

3x---x5=10A0A%

所以曲侧面三棱柱的侧面积为3

故答案为：10°万

7.48两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜利

者赢得100元奖金.第一局比赛A胜，后因为有其他要事而中止比赛，则将100元奖金公平分给

48两人，则A应该得到的奖金数为—元.

【答案】乃

【分析】A赢得这场比赛的情况为第二局A胜；第二局A输，第三局A胜，求出A赢得这场比赛的

概率，即可求出A应该得到的奖金数.

【详解】A赢得这场比赛的情况为第二局A胜；第二局A输，第三局A胜，

„1113

p-__|__x-=一

故A赢得这场比赛的概率2224,

3

100x-=75

所以A应该得到的奖金数为4元.

故答案为：75.

8.复印纸幅面规格只采用A系列和5系列，其中A系列的幅面规格为：①4,4,4，一、4所有规格

的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以V表示）的比例关系都为》沙=1：应；②将4纸张沿长度

方向对开成两等分，便成为4规格：4纸张沿长度方向对开成两等分，便成为&规格；…；如此

对开至4规格.现有…，4纸各一张.若4纸的幅宽为2dm,则这9张纸的面积之和等于

dm2

511—511^

【答案】4##4

【分析】根据题意先逐一得出4,4,4,4,4纸张的长和宽，进而求得4的面积，再由

4,4,4,…,4纸张的面积是以640为首项，公比为5的等比数列，再根据等比数列的求和公式即

可求得这9张纸的面积之和.

【详解】依题意可得，

4的长、宽分别为是2J5dm,2dm.4的长、宽分别为4dm,2拒dm；

4的长、宽分别为4亚dm,4dm.4的长、宽分别为8dm,40dm；

"。的长、宽分别为8&dm,8dm,

所以4纸的面积为8及x8=64及dm)

则4,4,4,…,4纸张的面积是以64a为首项，以5为公比的等比数列，

则这9张纸的面积和为2

5110

故答案为：4.

9.已知球。的半径为1，48是球面上的两点，且48=百，若点P是球面上任意一点，则

苏•丽的取值范围是.

3-

【答案】L2'2_

【分析】以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点48,尸的坐标，用来表示沙•方，进而求

出答案.

【详解】由题意，可得==

^li±iiz(<.l

C0Ss==/ACRm1Z.AOB-......

则2x1x12又由乙所以3,

以球心°为坐标原点，以为x轴正方向，平面0/8的垂线为z轴建立空间坐标系,

/(1,0,0),8(——,0),、

则'2'2'设DP(",z),

—­——1J3

PA=(]-x,-y,-z),PB=(---x,---y,-z)

则22

PA-PB=(1—x)(_■--x)+-y)+z2=x2+y2+z2—--—(x+y/iy)

所以2222

因为尸(x,y,z)在球面上，则/+/+z2=l,所以-+^41,

7^.p5=---(x+>/3y)

所以22、”，

设机=x+岛，当岛一”?=0与圆/+丁=1相切时，加取得最值.

|0+0+加|]

又由"+(招2,解得网=2,

^4-P5=---(x+V3v)

所以-2Mm42,所以2222

故答案为：221

【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，向量的数量积的运算，以及直线与圆的位置关系的综合

应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，结合直线与圆的位

置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

10.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以。为顶点，任意向上翻折，折痕

与8c交于点片,然后复原，记』8&二%；第二步，将纸片以。为顶点向下翻折，使/。与

用。重合，得到折痕然后复原，记4。刍=%；第三步，将纸片以。为顶点向上翻折，使

8与心。重合，得到折痕然后复原，记按此折法从第二步起重复以上步骤

得到%，％，…，*，…，贝’吧％=.

71

【答案】6

【分析】先分析出递推式，再求出｛4｝的通项，最后算出极限即可.

141,71

a?=一(—a,)%J=T—%)

【详解】由第二步得■22;由第三步得222,

ex..=-(--a...)(7:>2)a-乡=(a,1-5)

依此类推2%J八，所以’62M,6,

7171..71

a.=—a„=—hma=—

①若6,贝ij6,此时-6.

71,几、兀1

a,-{a”---}a、------

②若6,则数列6是以6为首项，2为公比的等比数列,

/兀XZ11兀

+-

所以，即626

lima'=]im[(a]-一+"

所以―°—"66

liman=—

综上，e6

71

故答案为：6

11.取棱长为。的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对

正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此

多面体：

①有12个顶点；②有24条棱：③有12个面；

九3

④表面积为3屋；⑤体积为6.

以上结论正确的是.(填上所有正确的序号)

【答案】①②⑤

【分析】根据题意结合图形可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三

角形面，计算或者数数可得到顶点、棱和面的个数，再利用割补法求出多面体的表面积和体积即可.

【详解】由图可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三角形面，总计

有6+8=14个面，则③错误；

-(4x6+3x8)=24

每个正方形有4条边，每个三角形3条边，而每条边对应两个面，所以共有2条

棱，则②正确；

每个顶点对应4条棱，每条棱对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半，即12个，则①正确：

~~~a6x—a2=3a2

三角形和小正方形的边长都是2,所以小正方形的总面积为2,三角形的总面积为

8x—x-a2xsin60°=V3a2fs+x/sV2

22,即多面体的表面积为I7尸,则④错误;

8

多面体的体积为原正方体的体积减去8个三棱锥的体积，8个三棱锥的体积为-

于是多面体的体积为06a~6a,则⑤正确.

故答案为：①②⑤

12,设数列也｝的前“项和为S"，4=1,a2=a（a>l）,|。“+2-4川|=h向一?|+"（（/>0,“eNj

且｛%“｝、他t｝均为等差数列，则S2„=.

[答案]S2n=〃(1+。)

【解析】根据已知条件知数列是首项为aT,公差为d的等差数列，可求出

|%-a,,|=aT+（〃TW,再根据已知条件转化求出等差数列包，｝、包，"的通项公式，再利用分组

求和即可得解.

[详解]_闻=,_"="[

又|%+2-4+11=卜”+1-a”|+d,即凡+2-J一|4用一%|"

，数列"”"一©｝是首项为公差为"的等差数列，•出+「％|=aT+（〃T）d①,

又｛%,｝，｛%”7｝分别构成等差数列，根据①式可得

=±[a-1+(2〃-2)刈(">2)②,

%+i-a2„=±[a-1+(2〃-1)〃]("21)③,

*-。2“+1=±J-1+2”町("21)④,

由②+③，得-=±[a-1+(2«-1)</]±[a-1+(2»-2)d](n>1)

又｛%T｝是等差数列，所以%必为常数，

所以叫-a2n-i=[a-l+(2n-Y)d]-[a-l+(2n-2)d]=d("N2),

或«2n+i-*=T"1+(2+-l)d]+[。-1+(2M-2)d]=-d(n>2)

由①得|%一々|=4_[+",即=±(。-1+4),

•/ci2=a「.％=±(Q-l+d)+a又q=l

:.a?-%=a-1±(a-1+d)即％-1=-d或4-〃]=2(。-1)+d(舍去)

g〃+1-a2n-\=7,

•'J是首项为1,公差为一”的等差数列，=1-(〃-1W,

同理，由③+④得，。2〃+2一。2”=±口一1+2〃町±[。一1+(2〃-1)町(〃21),

a

所以出“+2-2n=d或a2n+2-a2n=-d,

%—。2=-a+1—44-/=±(。—1+2d)%—=—a+1—d±(a-1+2d)

即%一4="或％-。2=-2。+2-3”(舍去)，

••。2〃+2~~a2n=d,

'｛%，｝是首项为0,公差为"的等差数列，•,•%=a+(〃TW,

从而«2*-!+a2k=a2M+%*+2=a+l(kwN*),

所以$2"=4+&+…+。2”=(l+a)+…+(l+a)="(l+a).

故答案为：S2,="(l+a)

【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的

方法有：(1)分组求和法；(2)倒序相加法；(3)”""用(数列｛“"｝为等差数列)：裂项

相消法；(4)等差x等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难

题.

二、单选题

13.若尸为两条异面直线/，加外的任意一点，则()

A.过点P有且仅有一条直线与/，切都平行

B.过点P有且仅有一条直线与/，机都垂直

C.过点尸有且仅有一条直线与/，机都相交

D.过点户有且仅有一条直线与/，机都异面

【答案】B

【详解】解：因为若点尸是两条异面直线/，机外的任意一点，则过点尸有且仅有一条直线与

/，机都垂直，选B

14.已知数列"J满足”"+%+4=%+|+“”+3,那么（）.

A.也｝是等差数列B.是等差数列

C.｛%"｝是等差数列D.｛“3，｝是等差数列

【答案】D

【分析】通过%+%“=%|+/+3（"€2）可知*4-%“=%3-4,进而可得%6-%3=4+3-4,从而数

列｛%“｝是等差数列.

【详解】由%+""+4=。"+1+""+3得a…-4+1=%+3-a”,

a

,•°〃+5—n+2="".4—,。"+6-"〃+3=勺”一%+2,

故4+6一。”+3=%+3-。”,

即有&（/2）一〃3（〃+1）=〃3（”+1）一砥

故数列｛%“｝是等差数列，

故选：D

15.空间直角坐标系。一k2中，经过点尸（X。，%*。），且法向量为"=（48，C）的平面方程为

/（x-x0）+8（y-y°）+C（z—z0）=0,经过点「（x。,比/。）且一个方向向量为行=二0）的

X-X。_Z-Z。

直线/的方程为〃°°,阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a的方程为

x_y_z

3x-5y+z-7=O,经过（°儿°）的直线/的方程为3-5一-1,则直线/与平面。所成角的正弦值为

（）

叵Vw叵好

A."io-B.^5"c.-D.亍

【答案】B

【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线/与平面

。所成角的正弦值.

【详解】因为平面a的方程为京-5了+2-7=0,故其法向量为"=（二一%）,

x_y_z一

因为直线/的方程为3一万一口，故其方向向量为拉=（3,2，T）,

9-10-0_2_V10

故直线,与平面。所成角的正弦值为ExAl35,

故选：B.

【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的

求法，这是解决此题的关键.

16.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重

要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于21与多面体在该点的面角之和的差

（多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体

71

的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是不，

2i-3x—=乃

n

①正方体各顶点的曲率为2；

②任意三棱锥的总曲率均为4万；

③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为8万.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】根据几何体顶点的曲率和几何体总曲率的定义求解.

71

【详解】①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是5,所以正方体在各顶点的曲率为

24一3x—=一

22,故正确;

②如图所示:

A点的曲率为：2万-NB4C-NDAC-NBAD,

8点的曲率为：2兀-ZABC-乙4BD-NCBD,

C点的曲率为：27T-ZACB-ZACD-ZBCD,

D点的曲率为：-/.ADC-Z.ADB-Z.BDC,

则三棱锥的总曲率均为肺-(N43C+4C3+/3月。)-(NZM8+NABD+ZBDA),

-{Z.ADC+Z.ACD-NDAC)-(/BCD+NBDC+CBD)=4乃故正确.

7TTT7T

2%-3x-=—16x-=8万

③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为22,所以该儿何体的总曲率为2

故正确.

故选：D

三、解答题

17.如图，在直三棱柱"8C-44G中，BAA.BC.

(1)若助=期,求证：期,平面48C；

Q)若B4=BC=BB『2,"是棱8c上的一动点.试确定点"的位置，使点/到平面43c的距离

等于2.

【答案】⑴证明见解析

(2)当点”为棱8c的中点时，使点〃到平面43c的距离等于2

【分析】(1)先证明8c用和‘与1"田，再根据直线与平面垂直的判定定理可证/4,平面

48c.

(2)以8为原点，848耳,8c分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系：设M(0,0,/)(0〈W2),利用点

面距的向量公式列式可求出结果.

【详解】⑴在直三棱柱"C-481G中，明,平面/8C,所以明，80,BB}1BA,

cg

又因为A4_L8C,BAcBB］=B,所以8cl平面5444,所以8c,/与,

因为阴_L",BA=BB',所以四边形町4为正方形，所以1NR,

因为48nBe=8,所以盟,平面48c

(2)由(1)知，A4］与］。两两垂直，

以8为原点，84叫BC分别为x,%z轴建立空间直角坐标系：

因为8/=8。=84=2,则8(0,0,0),4(2,2,0),5,(0,2,0),C(0,0,2)

设M(0,0,f)(0WW2),

则=(0,0,2—f),4。=(-2,0,0),BXC=(0,—2,2)

设平面4B,C的一个法向量为万=(x,y,z),

[«-45i=-2x=0.=0

则[万・4C=-2y+2z=0,则[y=z,

取V=l,则z=],万=(0,1,1),

版向12Tl12Tl

所以点"到平面44C的距离等于团|JO+1+l&,

V212TlM

又已知点用到平面4BC的距离等于2,所以应2,

解得"1,t=3（舍）,

V2

所以点加为棱8c的中点时，使点M到平面W的距离等于T.

18.现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为12…，67；

第二行依次为6879,…,134；…依次把表格填满现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始,

第一列从上到下依次为1，2，・“，31；第二列从上到下依次为32,33,…,62；…依次把表格填满若

他也(12/<31,1<;<67)分别表示第一次和第二次填法中第i行第j列的数.

⑴求旬的表达式(用V表示);

(2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为N,求N的值.

【答案】(1产=67(1)+)

(2)7

【分析】(1)第i行的第一个数为67('7)+1,第i行的第/个数为67('T)+',得到答案.

⑵计算4=31(4-D+i,根据％浊得到11-6,验证得到答案.

【详解】(1)第一种填法中：第i行的第一个数为67(,7)+1,

第i行的第7个数为67(1)+1+厂1=67(-)+乙

即为=67(1)+)

(2)第二种填法中：第/列的第一个数为

第7列的第i个数为'"TH"''】=31(/7)+，，

故%=31(/-D+i

当67(i-l)+J=31(/-l)+i时，在同一小格里两次填的数相同，整理得1上-5/=6

当i=l,，=1时,%。

当/=6,./=12时，%=347；

当‘=11,/=23时，附=693；

当\16,_/=34时，%=1039；

当，=21,J=45时，aij=1385；

当i=26,J=56时，%=1731：

当i=31,'=67时，%=2077,

故N=7.

19.已知数列｛%｝和也｝的通项公式分别为%=3〃+6,"=2〃+7(〃6叱)，将集合

｛x|x=a“,〃eN*｝u｛x|x=b",〃eN.｝中的元素从小到大依次排列，构成数列。勺此，…

⑴求。，。2，。3，，4；

⑵求证：在数列｛%｝中、但不在数列也｝中的项恰为02M4,…，“2”…；

⑶求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(1)G=9,。2=11,，3=12,4=13；(2)证明见解析;(3)

’6左+3(”=4左-3)

[6E(―)工.

C.~•,fr€A

6A6(«=4fr-l)

•6i+7(n=4^)

【详解】(1)。=9,&=11£=12勺=13；

(2)①任意〃eN*,设。2,i=3(2"-1)+6=6〃+3=4=2k+7,

则k=3"-2,即°2”-i=4"-2.

②嫉设%“=6n+6=bk=2k+[=k_3n_jN(矛盾)，..％任也｝

•••在数列也｝中、但不在数列也｝中的项恰为生，4,…

(3)怎-2=2(34-2)+7=6左+3=。2£_],

砥一1=6%+5a2k=6左+6b3k=6k+7

''5

・..6左+3<6左+5<6左+6<6左+7

.・•当％=1时，依次有a=〃|也=c2,a2=c3,Z>3=。4,

'6Jt+3(n=4k-3)

_*+5(”=4h2)产

'6k+6(»=4fr-l),€

...16〃+~(，:=4f)

20.为了求一个棱长为友的正四面体的体积，某同学设计如下解法.构造一个棱长为1的正方体,

如图1：则四面体"°片"为棱长是正的正四面体，且有

1

片面体附陶防《一^B-ACBy-〃-阳"一七-四8-^D-ACDi=§=­

3

图1

(1)类似此解法，如图2,一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为石，内，J历，求

此四面体的体积；

(2)对棱分别相等的四面体月8。中，AB=CD,AC=BD,/O=8C.求证：这个四面体的四个面

都是锐角三角形；

(3)有4条长为2的线段和2条长为“，的线段，用这6条线段作为棱且长度为机的线段不相邻，构

成一个三棱锥，问机为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？

【答案】⑴2

(2)证明见解析

47316G

m=----------

(3)3时，构成的三棱锥体积最大，最大值为27

【分析】(1)类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减

去四个三棱锥体积即可得到答案；

(2)在四面体中，由已知可得四面体/8C。的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、

高分别为6、c,证明△NBC为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；

(3)当2条长为机的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最

值.

【详解】(1)设四面体48CO所在长方体的棱长分别为

a2+b2=5a2=4

,+c2=13<b2=\

则卜+0』°,解得卜=\

V=abc----abcx4=—abc=2

所以四面体的体积323

(2)在四面体48CO中，

因为力8=CD,AC=BDfAD=BCf

所以四面体188的四个面为全等三角形，

即只需证明•个面为锐角三角形即可.

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,

则432=。2+匕=/+(?,JC2=a24-C2,

22

所以482+6。2>4。2,AB2+AC2>BC2AC+BC>AC\

所以“8C为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形;

(3)当2条长为切的线段不在同一个三角形中，

如图，不妨设“D=BC=机，BD=CD=AC=2,取8c的中点E,

连接/E、DE,

贝lJ4E_L8C,DE工BC,而N£riOE=£,所以8cl平面/E。，

则三棱锥的体积3曲,

AE=DE=J4--

在AAED中，，4,AD=m,

16>/3

27

4G16G

tn=----一

故3时，构成的三棱锥体