2022届高考数学一轮复习核心素养测评第4章正弦定理、余弦定理的应用举例

核心素养测评二十四

正弦定理、余弦定理的应用举例

巩固提升练（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得

ZABC=120°,则A,C两地间的距离为

A.10kmB.10V3km

D.10\^7km

C.10V5km

【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2・2ABCBCOS120。

=102+202-2x10x20x（—：）=700.所以AC=10\'T（km）.

2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船

自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时，它

们所航行的时间是（）

55

A.——小时B.一小时

147

147

C.——小时D.一小时

55

【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:

可知BC=10-4x,

BD=6x,zCBD=120°,

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由余弦定理可得，

CD2=BC2+BD2-2BC-

BDcoszCBD

=(10-4x)2+36x2+2x(10-4x)x6xxj

5

=28x2-20x+100,所以当时两船相距最近.

3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的

仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()

A.(30+30V3)mB.(30+15v13)m

C.(15+30V13)mD.(15+15V3)m

【解析】选A.在APAB,ZPAB=30°,ZAPB=15°,AB=60m.sin15°

=sin(45°-30°)

V6-V2

=sin45°cos30°-cos45°sin30°=----------.

4

ABsin30°

由正弦定理得PB=----------;—

sinlS

=30(V6+v,<2)(m),

所以建筑物的高度为PBsin45°=30(V石+\'2)x手=(30+30\'q)m.

4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°

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方向且B到C的距离为,3km,则A,B两船的距离为()

A.3kmB.V'T5km

C.2\3kmD.3V2km

【解析】选A.画出图形如图所示,

由题意可得NACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=\'3.在MBC中，由余弦定理可得

AB2=AC2+BC2-2ACBCCOS150°=13,所以AB=V13,即A,B两船的距离为\'宜km.

5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水

柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东300方向前进100m到达

点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是()

A.50mB.100m

C.120mD.150m

【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,

则在AABC中,/BAC=60°,AC=h,AB=100,

BC=7'3h,根据余弦定理得，

(V3h)2=h2+1002-2h-100cos60°,

即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去)，故水柱的高度是50m.

6.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得/

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BCD=15°,NBDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()

世纪金榜导学号

A.5\另B.15v号C.54D.15\后

BC30

【解析】选D.在ABCD中,NCBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得--------------:

sin3Osinl35

所以BC=15N'2在R3ABC中，

AB=BCtanzACB=15\,23=15\16.

7.长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B

在离堤足C处的2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为a,则坡度值tana=世纪金榜导事写

()

【解析】选A.由已知，在AABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,

且NQ+NACB=TT.

由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcoszACB,gp3.52

5V231

=1.42+2.82・2x1.4x2.8XCOS（TT-。）,解得cos所以sina-

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sina，231

所以tana==

cosa5

二、填空题（每小题5分，共15分）

8.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得N

ACB=45°,ZADB=30",ZBCD=60°,CD=20m,则塔高AB=m.

【解析】设塔高AB=hm,在Rt^ABC中，因为/ACB=45°,所以BC=AB=hm,

在RSABD中，因为NADB=30°,

所以BD=v13hm,

在ABCD中,NBCD=6（T,CD=20,

由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CDBCCOS60°,

即3h2=400+h2-20h,解得h=10.

答案:10

9.（2020•烟台模拟）如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一

山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为a,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°

的方向上，仰角为B,若B=45°,则此山的高度CD=米，仰角a的正切值为

【解析】设山的高度CD=x米油题可得:NCAB=45°/ABC=105°,AB=300米,

nCBD=45。，在△ABC中，可得：nACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可

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ABCBACr—

得^o--二匚o-，解得:CB=300'—米,

sm30sm45sm105

AC=150（，石+V2）米.

在R3BCD中，由/CBD=45°可得:X=CB=300\'2米.

CD300x7r—

在Rt^ACD中,可得:tana==------~K-3-1.

AC150（、6+、2,|

答案:300\'2\'3-1

10.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的

方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和

谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时.|世纪金榜导学号一

【解析】设海轮“和谐号与海轮’奋斗号相遇所需的时间为x小时,如图，

在AABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,NACB=120°.

由余弦定理得（21X）2=100+（9X）2-2X10X9XXCOS120°,整理，得36x2-9x-10=0,解得x=二或

5

x=^—（舍）.

12

2

所以海轮“和谐号与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为一小时.

3

2

答案「

3

综合运用练（15分钟35分）

1.（5分）如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在

C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得

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ZBCD=120°,C,D两地相距600m,则铁塔AB的高度是（）

A.120V2mB.480m

C.240v12mD.600m

【解析】选D.设AB=x，则BC=x,BD=V3x,

BC2+CD2-BDZXZ+6QQZ-3XZ1

在ABCD中,由余弦定理知cos1200=---------------=---------------=--

2BC•CD2X600X2

解得x=600m,(x=-300舍去).

故铁塔AB的高度为600m.

2.（5分）如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察

点C,D,在某天10:00观察到该船在A处,此时测得NADC=30°,2分钟后该船行驶至B处,此时

测得/ACB=60°,ZBCD=45°,ZADB=60°,则船速为千米/分钟.

【解析】在ABCD中,NBDC=30°+60°=90°,

CD=1,/BCD=45。,所以BC=\2.

在△ACD中,NCAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,

CDAC\2

所以=----------AC=—

sin450sinSO2

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3

在^ABC中,AB2=AC2+BCK2ACXBCXCOS60O=",

2

j"i-"

v6、'6

所以AB—,所以船速为千米/分钟.

224-

\6

答案——

4

3.（5分）如图，勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,

两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为米.

ABD

【解析】设山高CD为x米，在R3BCD中,

有BD=CD=x米，在RMACD中，

有AC=2x米,AD=\；'3X米.

而AB=AD-BD=(V，r3-1)x=100.

解得:X=50\'3+50.

答案:(50\，'5+50)

4.（10分）已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船

正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22。方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好

用0.5小时能截住该走私船？世纪金榜导学号

5733\团

参考数据：sin38=-sin22-=--

V1414J

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【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x

海里，则BC=0.5x海里,AC=5海里，由已知,/BAC

=180°-38o-22o=120°,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°,

所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.

、耳

AC*sinrB>lCr5x-5y3

又由正弦定理得sin/ABC=;所以NABC=38°,

BC7

又/BAD=38°,所以BC||AD,所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小

时截住该走私船.

5.（10分）已知在东西方向上有M,N两座小山，山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度

分别为AM=100m和BN=200m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角

为30°,该测量车向北偏西600方向行驶了100\/3m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B

处的仰角为。，且NBQA=0,经测量

tan0=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.世纪金榜导学号

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【解析】在R3AMP中,NAPM=30°,AM=100m,

所以PM=100\/3m.

连接QM,在APQM中,NQPM=60°,

又PQ=100\’号m,

所以APQM为等边三角形，

I"

所以QM=100V3m.

在RfAMQ中，由AQ2=AM2+QM2得AQ=200m.

在RtABNQ中,tan9=2,BN=200m,

所以BQ=100v5m,cos0=-^".

15△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQAQCOS6

=（ioo\：亏）2,所以BA=IOO\^5.

所以两发射塔顶A,B之间的距离是100、'亏m.

拓广探索练

1.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离

为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P

的仰角0的大小（仰角。为直线AP与平面ABC所成的角）.若AB=15m,AC=25m,/BCM=30°,

则tan0的最大值是（）

世纪金榜导学号

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<30

B.----D江

10

【解析】选D.由已知，在R3ABC中,

AB153

sinNACB=-----=—

AC255

贝ijcoszACB=-.