2021年浙江省高考数学试题及答案

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分

150分。考试用时120分钟。

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的

位置上。

2.答题时，请按照答题纸上"注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答

一律无效。

参考公式:

如果事件A,B互斥,那么尸（4+8）=P（/）+尸。）柱体的体积公式，=以

如果事件A,B相互独立,那么尸（48）=尸（⑷尸（5）其中S表示柱体的底面积，〃表示柱体的高

y=Lsh

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n

锥体的体积公式3

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，”表示锥体的高

球的表面积公式

5=4K/?2

展?区+斥'+邑）〃球的体积公式

台体的体积公式34

V=-nRi

3

其中E，*分别表示台体的上、下底面积，”表示台

其中R表示球的半径

体的高

一、选择题

1.设集合/={x|xNl},8={x[—l<x<2},则/口8=（）

A.B.C.{x|-l<x<l}D.{x|l〈x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：4n8={x|lWx<2}.

故选：D.

2.已知aeR,(l+az)z=3+z,(，为虚数单位)，则4=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数。的值.

［详解】(l+az)z-i+ai2=i-a=-a+i=3+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：—a=3,.-.a=-3.

故选：C.

3.已知非零向量则“D=H”是“£=尸的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，区=原瓦=5,1="瓦i=当Z810C时，3—B与"垂直，0.

所以・成立，此时GHB，

二二九2不是a=B的充分条件，

当G=b时,M=0,，一，c=0,c=0,；♦q.,c成立,

•••工:=":是方=B的必要条件，

综上，=是"£=，’的必要不充分条件

故选：B.

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

侧视图

33五

A.B.3D.372

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】几何体为如图所示的四棱柱/88-44勒。1，其高为1，底面为等腰梯形Z8CQ,

该等腰梯形的上底为血，下底为20，腰长为1，故梯形的高为

故1ca=；x(a+2应卜#X1=^，

故选：A.

x+l>0

x-y<0,则2=%-工y的最小值是（）

5.若实数x,y满足约束条件<

2x+3^-l<0一

A.-2B-4c4D-A

【答案】B

【解析】

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为V=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为2的直线在V轴

上截距的最大值即可.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件〈x-y<0的可行域,

2x+3y-\<0

如下图所示:

目标函数2=》-；>化为y=2x-2z,

X=-1

解得《।

2x+3y-1=0U=1

当直线y=2x—2z过A点时，

13

z=x—取得最小值为一

故选：B

6.如图已知正方体,M,N分别是4。，DR的中点，则()

A.直线4。与直线。8垂直,直线MN//平面4BCD

B.直线4。与直线。超平行，直线"N,平面

C.直线4。与直线Q8相交，直线MN//平面Z8CZ)

D,直线4。与直线异面，直线平面

【答案】A

【解析】

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//Z6,4O_L平面460,即可得出结论.

【详解】

连为9,在正方体45cz)—4479中,

M是4。的中点，所以用为Z4中点,

又N是。产的中点，所以MN//AB,

MVz平面ABCD,u平面ABCD,

所以〃平面Z8CD.

因为不垂直8。，所以MV不垂直3。

则不垂直平面，所以选项B,D不正确;

在正方体ABCD-Z4G。]中，4D]14Q,

“8_1平面44。。，所以力8,4。，

AD}cyAB^A,所以4。_1_平面

O/u平面Z64,所以

且直线4。,是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个

面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

B.y=/(x)-g(x)-l

「出

c._y=/(x)g(x)D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)—；=x2+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,j^/(x)-g(x)--=x2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

(1

对于c,y=/(x)g(x)=sinx,则j/=2xsinx+x2+—cosx,

4

,71,f71y/2'7l~211V2

当x=一时，y=—x-----F一十—X---->0,与图象不符，排除C.

422I164J2

故选：D.

8.已知是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sin£cosy,sinycosa三个值中，大于1的个数的最

大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【解析】

3

(分析］利用基本不等式或排序不等式得sinacos尸+sin0cos/+sin/cos«<-,从而可判断三个代数

式不可能均大w,再结合特例可得三式中大w的个数的最大值.

si,n2a+cos2pc

【详解】法1：由基本不等式有sinacos«

2

sin2y?+cos2ysi.n2/+cos-2a

同理sin/7cos/<,sin/cos<

22

3

故sinacos尸+sin6cos/+sin/costz<—,

故sinacos尸,sin°cosy,sin/cosa不可能均大于；.

rr71c兀冗

取a=一,0=一，7--

634

则sinacos/?=；<；,sin£cosy=>；,sin/cosa=~^~>g，

故三式中大吟的个数的最大值为2,

故选：C.

法2：不妨设则cosa>cos/?>cosy,sina<sin/?<siny,

由排列不等式可得:

sinacos/?4-sin/?cos/+sin/cosa<sinacosy+sin夕cos/?+sin/cosa,

13

而sinacosy+sin/?cos£+sinycos。=sin(/+(7)+—sin2y9<—,

故sinacos仇sinpcos/,sinycosa不可能均大于；.

_.71cnR

取二二一,pY=—

634

则sin(7cos/?=；<；,sin£cosy=-^>；,sinycosa=~^~>；，

故三式中大号的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注

意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

9.已知a,beR,ab>0,函数/(尤)=奴2+优尤eR).若/(sT)J(s),/(s+f)成等比数列，则平面上点

3,/)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】由题意得f(s-Z)J\s+/)=[/(5)]2,即[a(s-f>+b][q(s+f)2+可=(磁2+人丫，

对其进行整理变形：

(as?+at~-2ast+b^as2+at2+2asf+6)=(磁2+b)>

^cis~+a1+b)—(2asf)~—(as-+b)~=0>

{las2+at2+2b”产-4a2s2t2=0,

-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，

所以-2ad+2b=0或f=0,

工J

其中。2b一为双曲线，f=0为直线.

aa

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心

素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

e记数列的前项和为

10.已知数列｛凡｝满足%N*).｛a,,｝nSn,则()

99。「

B.3<S]<4C.4<Si。。<—

A/<£0G<30tlD.5<Si。。<5

【答案】A

【解析】

2

【分析】显然可知，S＞1利用倒数法得到一匚1

100+—再放缩可得

24

7

1114+1

7=＜丁+彳，由累加法可得为2;一反，进而由4+1=/节=局部放缩可得《—然后

也,2(«+1)21+在“%〃+3

利用累乘法求得％的’最后根据裂项相消法即可得到鸟。。＜3’从而得解.

【详解】因为q=1，。向=^^7(〃eN*所以a.>0,5100>1,

(、2

an111111

1+\[^an+\anT2)4

1177—1〃+1

根据累加法可得，了＜1+h=〒，当且仅当〃=1时取等号，

、

4ananM+1

(〃+D1+Ja“[+二〃+3

〃+l

an〃+3

6

由累乘法可得小港E'当且仅当〃=1时取等号,

由裂项求和法得:

…cJ111111

所以Woo«6|----+----+----+即]<百0<)<3.

100(233445

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到阮，芥二的不等关系，再由累加法可求得42日%,由

题目条件可知要证So。小于某数，从而通过局部放缩得到%，氏+1的不等关系，改变不等式的方向得到

6

a,<~~~,最后由裂项相消法求得5<3.

(“+1)(〃+2)100

二、填空题

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正

方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为小正

方形的面积为昆，则3=.

【解析】

【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

【详解】由题意可得，大正方形的边长为：4=而:不=5，

则其面积为：S,=52=25,

小正方形的面积：$2=25—4x|gx3x41=l,

S,25«

从而不=丁=25.

J11

故答案为：25.

12.已知aeR,函数:",2若则。=_________,

l|x-3|+tz,x<2,L\

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得。的值.

【详解】/[/(痛)]=/(6-4)=/(2)=|2-3|+〃=3,故a=2,

故答案为：2.

13.已知多项式(x—1)3+(x+1)4=X，+%%+。4，贝U%=_______，

a2+ai+a^=.

【答案】(1).5;(2).10.

【解析】

【分析】根据二项展开式定理，分别求出(x-l)3,(x+4)4的展开式，即可得出结论.

【详解】(X-1)3=X3-3X2+3X-1,

(x+1)4-x4+4x3+6x2+4x+1,

所以q=1+4=5,。2=-3+6=3,

%=3+4=7,%=—1+1=°，

所以g+。3+。4=10.

故答案为:5,10.

14.在中，NB=60o，AB=2,A/是8C的中点，AM=273)则/C=

cosZM4C=.

【答案】(1).2.713(2).如羽

13

【解析】

【分析】由题意结合余弦定理可得8C=8,进而可得ZC,再由余弦定理可得cos/朋NC.

【详解】由题意作出图形，如图，

BM

在中，由余弦定理得RM?=4g2+8M2—28M.8/.cos3，

,1

即12=4+8河2—28Afx2x—,解得创/=4(负值舍去)，

2

所以8C=28朋'=2C朋=8,

在A/BC中，由余弦定理得NO?=ZB2+8C2—2/8-8C-COS8=4+64—2X2X8XL=52,

2

所以NC=2jii；

心+/河2—52+12—162场

在△力MC中，由余弦定理得cos/跖4。=

24。ZC2x273x271313

故答案为：2万；之叵

13

15.袋中有4个红球加个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为自，若取出的两个球都是

红球的概率为L一红一黄的概率为L则机-〃=___________,后代）=____________.

63

8

(2).9-

【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得加，〃的值，再根据随机变量J的分布列即可求出E（J）.

C*26i

【详解】尸(J=2)=4=荐---=k=>C：+“+4=36,所以加+〃+4=9,

°加+〃+4^m+n+4。

尸(一红一黄)=[C"=粤=?=；n"，=3,所以〃=2,则机_〃=1.

^m+n+436"J

1ClCl4x55C2105

由于尸e=2)=『pe=i)=岩=.=§,尸化=0)=衣

3618

1,5,5158

•・・£化)=—x2+—xl+—x0n=—+—=—

6918399

Q

故答案为：1；一.

9

16.已知椭圆W+《=i(a>b>0),焦点耳(―c,0),玛(c,0)(c>0),若过耳的直线和圆

a~b

+/=。2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PB_Lx轴，则该直线的斜率是,

椭圆的离心率是.

【答案】(1).—(2).—

55

【解析】

2

【分析】不妨假设。=2,根据图形可知，smZPF,F2=-f再根据同角三角函数基本关系即可求出

k=tanZPFiF2=-y[5；再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.

【详解】

如图所示：不妨假设c=2,设切点为B,

sinZPF.F.=sinZBF,A=["!=—,tanZPF]F2=/-2下

'2'仙|3'乒尹5

所以小苧，由心陶，闺用=2C=4,所以质|=容附用叫x=竽，

rr

J\\2\Jbin，

于是2。=|尸司+1尸居|=4指，即”=26，所以e=£=」==』S.

a2<55

故答案为：汉1；正.

55

17.已知平面向量£,立,小6)满足同=1帆=2,73=0,@—3"=0.记向量2在£3方向上的投影

分别为x，y，在"方向上的投影为z,则x2+/+z2的最小值为—

【答案】I

【解析】

【分析】设G=(1,O),3=(0,2),己=(能,〃)，由平面向量的知识可得2x+y-J^z=2,再结合柯西不等式

即可得解.

【详解】由题意，设不=(1,0)石=(0,2)忑=(加,〃)，

则(a-B)-c=加-2〃=0,即〃？=2”，

又向量2在方向上的投影分别为x,修所以2=(x,y),

所以24在1方向上的投影z="普=华当=在乎，

©ylm2+n2±15

即2x+y干y[5z=2,

所以Y+j?+z?='22+12+(±>/5j(x2-i-y2+z2^>+y+V5zj=g,

2

x=—

‘XJ二z5

1

当且仅当<21+V5即y-时，等号成立,

2x+y干亚z-2

出

Z=+

2

所以f+V+z?的最小值为

2

故答案为：—.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出x,%z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小

值.

三、解答题

18,设函数/(x)=sinx+cosx(xeR).

求函数y=[/[x+W)]

(1)的最小正周期;

711T

(2)求函数丁=/(%)/X-I在0,-上的最大值.

【答案】（1）兀；（2）1+—.

2

【解析】

【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得V=l-sin2x,再由三角函数最小正周期公式即可得解;

（2）由三角恒等变换可得y=sm2》一孙―,再由三角函数的图象与性质即可得解.

2

71

【详解】（1）由辅助角公式得/（x）=sinx+cosx=J^sinX~\-----

4

22

3乃、

则y=f1+/=sinIxH----=2sin21x+—=l-cos2x+—=1-sin2x,

4)4JI2)

2乃

所以该函数的最小正周期7=茎=4；

717171

（2）由题意，y=/（x）/X--V2sinlx+—■y12smx=2sinx-\—sinx

44

6)

2sinx-sinx+—cosxV2sin2x+V2sinxcosx

2)

7l-cos2x6..①疝2A且c°s2x+叵

72------------F—sin2x=sin(2x-

22222~T

八乃一，rC771兀37r

由0,—可得2x----G-----,—

22444

所以当2x—生=工即x=包时，函数取最大值1+也

4282

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，=120。,48=1,8C=4,尸4

M,N分别为BC,PC的中点，PD1DC,PM1MD.

.w

(1)证明：ABVPM

(2)求直线4N与平面PDM所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析：(2)巫.

6

【解析】

【分析】(1)要证可证0C_LPM,由题意可得，PD1DC,易证从而。C_L

平面P3A/,即有Z)C_LPA/,从而得证；

(2)取中点E,根据题意可知，ME,。河,9两两垂直，所以以点河为坐标原点，建立空间直角

坐标系，再分别求出向量方和平面尸DM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】(1)在△DCM中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°.由余弦定理可得0M=,

所以0河2+。。2=c"2，...由题意DC1PD且尸0cZ)A/=。，，DC_L平面POM,

而PMu平面PDAf,所以。CJ.PM,又ABI/DC,所以Z8_LPA/.

(2)由尸ABLPM，而48与DM■相交，所以PM_L平面4BC7),因为AM=不，所以

PM=2正，取4。中点E，连接ME,则两两垂直，以点加为坐标原点，如图所示，

建立空间直角坐标系，

则4(-6,2,0),P(0,0,2V2),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-l,0)

(T1)—(3石5

又N为尸C中点，所以N--,--,^2,AN=——,——,yjl.

I22JI22J

由(1)得CD_L平面PDA/,所以平面尸DM的一个法向量为=(0,1,0)

5

.0\~AN-n\2席

从而直线NN与平面PDM所成角的正弦值为sin6='=/.

IAN\\nI/2725+26

V4+4+

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明力3，尸〃，可以考虑。C_LPM,

题中与。。有垂直关系的直线较多，易证。C_L平面尸从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第

一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.

9

20.已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，a｝=--,且4s“+1=3S“—9.

（1）求数列｛凡｝的通项；

（2）设数列出｝满足她+（〃—4）%=0（〃€N*）,记也｝的前“项和为北，若7；〈幼，对任意〃eN*恒

成立，求实数4的取值范围.

【答案】（1）a„=-3•（!）"；（2）-3<2<1.

【解析】

【分析】（1）由4s,川=35.一9,结合S“与%的关系，分〃=1,〃22讨论，得到数列｛4｝为等比数列，

即可得出结论；

（2）由3〃+（〃-4）4=0结合⑴的结论，利用错位相减法求出7；,7；〈九2对任意〃eN*恒成立，分

类讨论分离参数4,转化为九与关于”的函数的范围关系，即可求解.

【详解】（1）当〃=1时，4（（2]+。2）=3q-9,

9c2727

=—9=----二--------------------

44216

当“22时，由4se=3S“—9①,

得4S“=3s,i-9②，①一②得=3%

a,0,.-.,

16“%4

%3，、93

又片广皿是首项为一“公比%的等比数列，

YI—43

(2)由3〃,+(〃—4)%=0,得々=一一—az,=(/7-4)(-r,

斤以北=_3x1_2x(£|.lx]£|+0x[*]+…+(〃.4).(m

lit)-2'图—lx图+…+(〃-5).图+(〃-4).图

两式相减得;7；=_3x|+]()+(*)+(*)+…[*)_(〃_4)(力

2i-f-V.

916UJ(3丫川

=-4+—(〃-令⑺

4

"/AO-(….图…(J)•

所以7；=-4〃《()"”，

由7；4地得-4〃G严<4(〃-4).(和恒成立，

即4(〃-4)+3〃20恒成立，

〃=4时不等式怛成立；

〃<4时，4<-----=-3-------,得4V1；

〃一4〃一4

,1<>>

〃〉4时，A>------3--------,得几N—3；

〃一4n-4

所以—3K2VI.

【点睛】易错点点睛：(1)己知S"求/不要忽略〃=1情况；(2)恒成立分离参数时，要注意变量的正负

零讨论，如(2)中2(〃-4)+3〃20恒成立，要对〃—4=0,〃—4>0,〃—4<0讨论，还要注意〃一4<0

时，分离参数不等式要变号.

21.如图，已知产是抛物线必=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，S.\MF\=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与48两点，斜率为2的直线/与直线M4,九山,48,x轴依次交于点P,

Q,R,N,且p?N|2=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.

【答案】⑴_/=4x；（2）（f,-7-4百”卜7+46,l）U（l,+8）.

【解析】

【分析】（I）求出P的值后可求抛物线的方程.

（2）设N8:x=W+l,幺（项,必）,8卜2，%）,N（〃,0）,联立直线Z8的方程和抛物线的方程后可得

=-4,乂+%=4/,求出直线的方程，联立各直线方程可求出力，为，力，根据题设条件可

（〃+1丫3+4J

得—7=7——①，从而可求〃的范围―

k«-V（2/-1）

【详解】（1）因为|〃曰=2,故p=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

⑵设Z8:x=（y+1,A（xl,yl）,B（x2,y2）,N（n,O）,

y1

所以直线/：X=/+〃，由题设可得“Hi且—.

22

x=ty+\.

由2，可得p2一4“一4=0，故凹为=-4,凹+%=4/，

y=4x

因为|RN『=|PN|.|QM，故故/=1甫

（x+1）

广告T2（〃+1）必

又MA:y=-（x+1）由<可得力

X.+12玉+2—弘

x=—+n

2

2（〃+1）为

同理坨

2%2+2—%

x=ty+\

2d

由y可得力

X=——+〃2t-\

2

2（〃T）2（〃+D为x2（〃+l）y

2t-2X9+2-%2%j+2—y

/_I\2

整理得到q=（2z-l）2-——-哈__-~~r，

（“+1J（2々+2-％）（2须+2-必）

_4（21）2

序2一事+2T

_4（21）2_（2I）2

|华3+4z

3+4产

（2i『

令s=21-1,则/=且sH0,

2

3+4rS2+2S+4,24,3、3

故7------B=1+-+—=4

（21）s2ss44

n+\

I>2YT+14/1+1>0

故，n-\I-4即，

nw1

nw1

解得〃4一7-4石或一7+46«〃<1或">L

故直线/在x轴上的截距的范围为“4—7—43■或一7+464〃<1或〃>1.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方

程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题

转化为常见函数的范围问题.

22.设a,b为实数，且a>l,函数=优-bx+e?(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意6>2e2,函数/(X)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意b>e3函数/(力有两个不同的零点片,x2,满足》，>21吧西+《.

2eb

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(l)bWO时，〃x)在R上单调递增；6>0时，函数的单调减区间为8,log“\-),单调增区

(2)(1,e2]；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；

(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取

值范围；

(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.

【详解】⑴/(X)^ax-bx+e2,f'(x)^ax\na-b,

①若640,则/'(x)=a'lna-b20,所以/1)在R上单调递增；

②若b>0,

当xe1-8,log“白)时，/,(x)<0J(X)单调递减，

当xe(log〃备,+oo卜寸，/'(x)>0,/(x)单调递增.

综上可得，bKO时，/(X)在R