2023届上海市宝山区高三上学期数学一模期末试卷及答案

高三上学期数学〔一模)期末试卷一、单项选择题1.直线的一个法向量可以是〔

〕A.

B.

C.

D.

2.“函数〔，且〕的最小正周期为2〞，是“〞的〔

〕A.

充分非必要条件

B.

必要非充分条件

C.

充要条件

D.

既非充分也非必要条件3.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，那么这5个不同的数的中位数为4的概率为〔

〕A.

B.

C.

D.

4.以下结论中错误的选项是〔

〕A.

存在实数x，y满足，并使得成立

B.

存在实数x，y满足，并使得成立

C.

满足，且使得成立的实数x，y不存在

D.

满足，且使得成立的实数x，y不存在二、填空题5.假设集合，那么________．2=6x的准线方程为________．7.复数z满足〔i为虚数单位〕，那么________．8.设，那么和的夹角大小为________．〔结果用反三角函数表示〕9.二项式，那么其展开式中的常数项为________．10.假设实数x，y满足，那么的最大值为________．11.圆锥的底面半径为1，高为，那么该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为________．12.方程在区间上的所有解的和为________．13.函数的周期为2，且当时，，那么________．14.设数列的前n项和为，对任意，均有，那么________．15.设函数，给出以下的结论：①当时，为偶函数；②当时，在区间上是单调函数；③当时，在区间上恰有3个零点；④当时，设在区间上的最大值为，最小值为，那么．那么所有正确结论的序号是________．16.假设定义在N上的函数满足：存在，使得成立，那么称与在N上具有性质，设函数与，其中，，与在N上不具有性质，将a的最小值记为．设有穷数列满足，这里表示不超过的最大整数．假设去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表为，那么的值为________．三、解答题17.如图，在长方体中，T为上一点，．〔1〕求直线与平面所成角的大小〔用反三角函数表示〕；〔2〕求点到平面的距离．18.函数．〔1〕当时，解不等式；〔2〕设，且函数存在零点，求实数的取值范围．19.设函数的最小正周期为，且的图像过坐标原点．〔1〕求、的值；〔2〕在中，假设，且三边，，所对的角分别为，，，试求的值．20.分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点．〔1〕

假设点M的坐标为，求的面积；〔2〕假设点M的坐标，且直线与交于两不同点A、B，求证：为定值，并求出该定值；〔3〕如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆〔其中r为定值，且〕的两条切线，分别交于点P，Q，直线的斜率分别记为．如果为定值，试问：是否存在锐角，使？假设存在，试求出的一个值；假设不存在，请说明理由．21.假设有穷数列：满足〔这里i，，常数〕，那么称又穷数列具有性质．〔1〕有穷数列具有性质〔常数〕，且，试求t的值；〔2〕设〔，常数〕，判断有穷数列是否具有性质，并说明理由；〔3〕假设有穷数列：具有性质，其各项的和为20000，中的最大值记为A，当时，求的最小值．

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量.故答案为：C.

【分析】由直线方向向量的定义得到个方向向量为，设出直线法向量的坐标结合数量积的坐标运算公式代入数值计算出t的值，由此得到直线的法向量。2.【解析】【解答】解：当函数〔，且〕的最小正周期为2时，所以,不能得出，故充分性不成立，当时，的最小正周期为，故必要性成立综上：“函数〔，且〕的最小正周期为2〞，是“〞的必要非充分条件.故答案为：B.

【分析】由周期的公式计算出，分情况讨论当取不同的值时求出函数的周期，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。3.【解析】【解答】根据题意：从10个数中任取5个不同的数，那么根本领件为，那么这5个不同的数的中位数为4的有：，故概率.故答案为：C

【分析】根据题意由排列组合的定义即可求出根本领件的个数以及满足5个不同的数的中位数为4的事件的个数，再由古典概率的定义计算出结果即可。4.【解析】【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：，令，可知可行域内的点在边界时，取得最大值或最小值；对于A项，最优解在时，，因为，所以的最大值为9，且此时.所以A不符合题意；对于B项，即，由根本不等式知，当且仅当时等号成立，即，解得，且点在可行域内，B项正确，不选；对于C项，最优解在时，，因为，所以.所以满足，且使得成立的实数x，y不存在，所以C项正确，不选；对于D项，由对C项的分析可知，满足，且使得成立的实数x，y不存在，所以D项正确，不选；故答案为：A.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点边界点时，z取得最大值或最小值并由直线的方程求出边界点的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可求出最值；对选项逐一判断即可得出答案。二、填空题5.【解析】【解答】解：因为集合，所以.故答案为：〔-4，-3〕

【分析】利用交集的定义即可得出答案。6.【解析】【解答】解：抛物线方程可知p=3，∴准线方程为x=﹣=﹣故答案为x=﹣【分析】根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线性质求得其准线方程．7.【解析】【解答】因为，所以，即.故答案为：1-i

【分析】结合复数的运算性质整理化简即可得出结论。8.【解析】【解答】解：向量，所以，所以.故答案为：.

【分析】根据题意由数量积的坐标运算公式代入数值计算出，由此即可求出角的大小。9.【解析】【解答】由二项式展开式为常数项，可知，所以常数项为.

【分析】首先根据题意由二项式定理的通项公式，令x的系数为零即6-2r=0即r=3并把数值代入到通项公式计算出结果即可求出常数项。10.【解析】【解答】不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，由可得，那么表示直线在轴的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大，即有最大值；联立，解得，故.故答案为：4.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点C时，z取得最大值并由直线的方程求出点C的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可求出最大值。

11.【解析】【解答】圆锥的底面半径为1，高为，那么圆锥的母线长为，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知，解得故答案为：π

【分析】根据圆锥的截面由勾股定理计算出母线的值，再由弧长公式计算出结果即可。12.【解析】【解答】方程，即为：，解得或，因为，所以或，所以方程在区间上的所有解的和为π故答案为：π

【分析】首先由二倍角的余弦定理整理得到关于sinx的方程，求解出sinx的值进而求出角的值进而得到答案。13.【解析】【解答】解：因为函数是周期为2的周期函数，所以，又当时，，所以.故答案为：

【分析】首先由周期公式整理得到结合对数的运算性质即可求出函数的值即可。14.【解析】【解答】当时，，当时，由，得，两式相减得，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故答案为：

【分析】首先由数列余弦公式和数列前n项和公式的关系即可得到数列的通项公式，由此得出数列为等比数列结合等比数列的前n项和公式计算出结果即可。15.【解析】【解答】①当时，，定义域为，且，函数为偶函数，故①正确；②当时，，由，得，那么在上不单调，故②错误；③当时，，由，即，那么，，共四个零点，故③错误；④当时，，周期，区间的长度为，即为周期，所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大，令，即，故④正确；故答案为：①④.

【分析】由奇偶性的定义即可判断出选项①正确；结合正弦函数的单调性即可判断出选项②错误；把a、b的值代入整理求出函数的解析式令计算出零点的个数由此判断出选项③错误；把a、b的值代入整理函数的解析式，然后求出周期由周期的性质即可得到函数的单调性，进而可知最大，结合正弦函数的单调性即可求出最值由此即可判断出选项④正确；进而得到答案。16.【解析】【解答】因为与在N上不具有性质，所以在N上恒成立，令在N上恒成立，当时，最小，所以联立，得到，令，那么，当时，，递减，当时，，递增，所以，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，而，取，那么，所以，故答案为：2626.

【分析】根据题意把问题转化为f〔x〕≥g〔x〕在N上恒成立，令在N上恒成立，根据函数的单调性求出a0=e2，从而求出Sn，再求出答案即可．三、解答题17.【解析】【分析】法一：(1)根据题意作出辅助线结合线面垂直的性质定理即可得出直线与平面所成的角即为，由直角三角形中的几何关系计算出，进而求出角的大小。

法二：根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABCD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出,进而求出直线与平面所成角的大小。

(2)法一：结合长方体的性质由三角形的几何计算关系求出三角形的面积再由等体积法代入数值计算出点到平面的距离。

法二：根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合向量坐标的运算公式代入数值即可求出距离的值。18.【解析】【分析】(1)把m的值代入求出函数的解析式结合题意即可得到，利用不等式的性质即可得出整理化简即可求出x的取值范围。

(2)结合题意得到当时，方程有解，构造函数，结合二次函数在指定区间上的最值即可求出函数f(x)的再由即m的取值范围。19.【解析】【分析】(1)利用条件即可求出再由点在图象上把点的坐标代入即可求出。

(2)根据题意利用正弦定理整理化简即可得到，再由余弦定理得出结合根本不等式即可求出，即由此得到以及，从而即可求出结果。20.【解析】【分析】(1)根据题意首先求出焦点的坐标，再由点在椭圆上计算出m的值，结合三角形的面积公式代入数值计算出面积值即可。

(2)根据题意联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数