高二数学重点知识串讲-(29)课件

1.1.2

四种命题【自我预习】1.原命题与逆命题条件结论若q，则p微提醒写原命题的逆命题时,不要交换命题的前提条件.2.原命题与否命题否定若﹁p，则﹁q微提醒写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误.3.原命题与逆否命题若﹁q，则﹁p否定互换

微课堂·微思考【思考1】四种命题中原命题是否是固定的?提示:原命题不是固定的,任何一个命题都可以作为原命题,从而有另外的三种命题.【思考2】由原命题写出逆命题、否命题、逆否命题的关键是什么?提示:关键是分清楚原命题的条件和结论,然后按照逆命题、否命题、逆否命题的定义来写.【自我总结】四种命题的四个注意点(1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件和结论.(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“>”“≥”“都”等的否定要注意改写正确.(4)判断四种命题的真假:①要熟练掌握四种命题的相互关系,注意它们之间的相互关系;②利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.【自我检测】1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是 (

)A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选A.a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.2.已知命题p:“若x≥a2+b2,则x≥2ab”,则下列说法正确的是(

)A.命题p的逆命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”B.命题p的逆命题是“若x<2ab,则x<a2+b2”C.命题p的否命题是“若x<a2+b2,则x<2ab”D.命题p的否命题是“若x≥a2+b2,则x<2ab”【解析】选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab,则x≥a2+b2”,故A,B都错,命题p的否命题是:“若x<a2+b2,则x<2ab”,故C正确,D错误.3.“若x>y,则x2>y2”的逆否命题是 (

)A.若x≤y,则x2≤y2

B.若x>y,则x2<y2C.若x2≤y2,则x≤y D.若x<y,则x2<y2【解析】选C.原命题的逆否命题为若x2≤y2,则x≤y.4.命题:“若A=B,则sinA=sinB”的逆命题是________.

【解析】根据逆命题的定义可知,将原命题的条件和结论分别充当命题的结论和条件即可,那么命题“若A=B,则sinA=sinB”的逆命题是:“若sinA=sinB,则A=B”.答案:若sinA=sinB,则A=B类型一四种命题的概念【典例】1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 (

)A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧.(3)若m≤0或n≤0,则m+n≤0.(4)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.【思路导引】找出命题的___________,然后写出命题的_______否定和_______否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.条件和结论条件的结论的【解析】1.选B.原命题的条件是f(x)是奇函数,结论是f(-x)是奇函数,同时否定条件和结论即得否命题;若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.2.(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n<0.否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0.(2)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.(3)逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0.否命题:若m>0且n>0,则m+n>0.逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0.(4)逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b.否命题:在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B.逆否命题:在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b.【解题流程】【方法技巧】四种命题的转换方法(1)逆命题:交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.(2)否命题:同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.(3)逆否命题:交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.【拓展延伸】常见词语的否定词语是都是>至少有n个至多有n个否定不是不都是≤至多有n-1个至少有n+1个【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)当1<x<2时,x2-3x+2<0.(2)若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac<0,则该函数图象与x轴有交点.【解析】(1)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2.否命题:若x≤1或x≥2,则x2-3x+2≥0.逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.(2)逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点,则b2-4ac<0.否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac≥0,则该函数图象与x轴无交点.逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴无交点,则b2-4ac≥0.【补偿训练】写出命题“若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形”的逆命题、否命题、逆否命题.【解析】逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补.类型二四种命题真假的判断【典例】1.命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 (

)A.0

B.2

C.3

D.42.判断下列命题的真假. (1)“正三角形都相似”的逆命题.(2)“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.【思路导引】先正确地写出对应的命题,再进行判断.【解析】1.选B.原命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”为假命题;逆命题“若ac2>bc2,则a>b(a,b,c∈R)”为真命题;否命题“若a≤b,则ac2≤bc2(a,b,c∈R)”为真命题;逆否命题“若ac2≤bc2,则a≤b(a,b,c∈R)”为假命题.2.(1)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.(2)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.因为方程x2+x-m=0无实根,所以判别式Δ=1+4m<0,解得m<-,故m≤0,为真命题.【延伸探究】1.若本例2(2)改为判断“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆命题的真假,则结果如何?【解析】原命题的逆命题为“若x2+x-m=0有实根,则m>0”.因为方程x2+x-m=0有实根,所以判别式Δ=1+4m≥0,所以m≥-,故逆命题为假命题.2.若本例2(2)改为判断“若m>0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题的真假,则结论如何?【解析】原命题的逆否命题为“若mx2+x-1=0无实根,则m≤0”.因为方程mx2+x-1=0无实根,则m≠0,所以判别式Δ=1+4m<0,则m<-,故m≤0,为真命题.【方法技巧】判断四种命题真假的方法(1)要正确理解四种命题间的相互关系.(2)正确利用相关知识进行判断推理.(3)若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,只需举一个反例说明即可.【补偿训练】有下列几个命题:①“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”的否命题;②“若m=2,则直线x+y=0与直线2x+my+1=0平行”的逆命题;③“已知a,b是非零向量,若a·b>0,则a与b方向相同”的逆否命题;④“若x≤3,则x2-x-6>0”的逆否命题.其中为真命题的个数是 (

)A.1

B.2

C.3

D.4【解析】选B.易知①②为真命题;③当a=(0,1),b=(1,1)时,a·b>0,但a与b不同向,所以原命题为假命题,故③为假命题;④中逆否命题为“若x2-x-6≤0,则x>3”,易知④为假命题.【核心素养培优区】易错误区案例命题中条件与结论的否定错误【典例】命题“若x2+y2=0,则x,y全为0”的否命题为______________,是________命题.(填“真”或“假”)

【错解案例】条件“x2+y2=0”的否定是“x2+y2≠0”,结论“x,y全为0”的否定为“x,y全不为0”,所以否命题为:若x2+y2≠0,则x,y全不为0,命题是假命题.答案:若x2+y2≠0,则x,y全不为0假错误原因防范措施对原命题中结论的否定错误对“x,y全为0”的否定应为“x,y不全为0”,而不是“x,y全不为0”【正解】条件“x2+y2=0”的否定是“x2+y2≠0”,结论“x,y全为0”的否定为“x,y不全为0”,所以否命题为:若x2+y2≠0,则x,y不全