(完整版)第二章导数与微分(答案)

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x其次章导数与微分

(一)

fX0XfX0

I

x0

X

3.函数fx在点x0延续，是fx在点x0可导的（A）

5.若函数fx在点a延续，则fx在点a（D）

C.a

6.fxx2在点X2处的导数是（D）A.1B.0C.

-1D.不存在

7.曲线y2x35x24x5在点2,1处切线斜率等于（A）

A.8

B.12

C.-6

D.6

8.设yefx且fx二阶可导，则y（D）

A.efx

BfXref

fX

￡

￡

f

X

丄

2

xC.efxfxD.e

fx

9.若fxax

e,x0

在x0处可导，则a，b的值应为bsin2x,

(A)A.左导数存在；B.右导数存在；C.左右导数都存在1.设函数yfx，当自变量x由x0转变到

Xo

x时，相应函数的转变量

fx0xB.

fx0xC.fx0

XfX0fX。x

2.设fx在xo处可，则lim

fX0B.

Xo

C.fX0

D.2fX0

A.须要不充分条件

B.充分不须要条件

C.充分须要条件

既不充分也不须要条件

4.设函数yfu是可导的，且u

x

2

，则d

y(C)

x2B.xfx2

C.

22

2xfxD.xfx

D.有定义

10?若函数fx在点Xo处有导数，而函数gx在点Xo处没有导数，则Fxfxgx,Gxfxgx在x0处（A）

A?一定都没有导数

B?—定都有导数

C.恰有一个有导数

D?至少一个有导数

11.函数fx与gx在x0处都没有导数，则Fx

gx在xo处(D)

13.yarctg1

，贝Uy

x

A.一定都没有导数

B.一定都有导数

C.至少一个有导数

D.至多一个有导数

12.已知Fx

fgx，在XX。处可导，则（A

）

gx都必需可导

B.fx必需可导

C.gx必需可导

D.

x都不一定可导

B.

1

1x2

C.

x2

1X2

2

x

2

x

14.设fx在点a处为二阶可导,h

hh

C.2fa

15.设fx在a,b内延续，且X。a,b，则在点X。处（B

Afx

C.fx

16

.

设fX17

.

函数y

18

.

设函数19

.设函数的极限存在，且可导

的极限不存在

在点xa处可导，则

B.fx的极限存在，但不一定可导

D.fx的极限不一定存在

nmo

fafah

h

X1导数不存在的点X1o

fxsin2x，贝Uf—

24

yyX由方程xyexey0所确定，则y'0—1___o

1

lnx在点Pe,1处的切线方程y1xe。

e

(1)ysinx

21.若fx

xt22t，则巴

1/2。

yln1t

dx

t0

22.若函数yxecosx

sinx，贝Udy-x

2ecosx。

23.若fx可导，yfffx，则y

fffxffxf

x

24.曲线5y

23

2x

15在点0,1

1

处的切线方程是y1

2

5

53

o

0处的延续性与可导性:

研究下列函数在25.

xx0。

解:vlimsinx

x

sin0?-y

fx

f0

sinx

f0lim-

lim-

0处延续

xx

又0

x0

x0

sinx在x

lim

fxf0

sinx

f0lim-

lim

x0x0x0x

f0f0，故ysinx

在x

limx00处不行

导。

sinx1

x

.1xsin,x0,

1

解：Tlimxsin

x0x

，二函数在x0处延续又lim

x

1xsinx-0

xx

limsin-不存在。x0x

在x0处不行导。

20.曲线y

26.已知fsinx,x0

x,x0

4

0时，fX

cosx,x

1,

yln

』

4x

e1已知y

Ine

I

ncosx,x1,x

lne

ef

可以求得f01

1

4xIne

存在'求

..1x31

1x3

yln^xpx

已知2ln.1x33ln|x|

2

「11

3

x_3X2_

2Jx3

x

3

1x3

「

1

x37.x1x7xlnx

x7

17x

xlnx

1e

xlnxxxlnx

7

7，两边取自然对数可得:

求dYx

ln7

解:

27.解:

28.解:

29.

解:

30.解:31.

解:

32.解:

1

x5ln1xInyIn|x214ln3x

两边对x求导得：

12x2

4」

3x

5」

x

4

x

5

x2x25Fl

33.设x2存在，求

解:dxx22

x,d2y

dx2

x24x22fx2。

(二)

1.设函数f在点0可导,f00，贝U

lim

xC

C.不存在

3，则lxm0

Xo

A.-3

B.6

C.-9

D.-12

3?若函数fx则m

H

h

-o3h

4.设fxx22x

1,

2,11则

A.不延续B

.延续，但不行导

C.延续，且有一阶导数有随意阶导数

5.函数fxx

1

J

2

A.不延续B.延续不行导

C.延续且仅有一阶导数

D.延续且有二阶导数

6?要使函数

.1

sin,

x

0,

0处的导函数延续，则n应取何

值？（D）

7.设函数fx有延续的二阶导数，且2，则极限x叫等于（D）

-1

8.设fx0的某领域内有定

义,

0，且当x0时，f

等价无穷小量,

C.f0不存在D.不能断定f0的存在性

9.设fx为奇函数，且fX。2，则fxc(C)

A.-2C.2

10.设函数3x4，则f0(B)

B.24

C.36D.

48

11.已知x0时，ff0是x的等价无穷小量,f0f02h

h

A.-2

B.-

1C.

2D.不存在

12.若fx在x。可导,在x。处（B）

A.必可导延续但不一定可导

C.一疋不行导不延续

13.若fu可导，且ysinfex，则dycosfexdxo

14.设yx是由方程ysinyx(01，常数）所定义的函数，则

siny

2

y

15.若fx在xa处可导，则lim

h0

fanhfamh

h

16.若

为二阶可微函数

I

n

x2

的y

21

24x2

2

x2

x

22

4x4x2^2

x2x

17.已知fx

1.

2-sinx,x

0,

18.已知

asintacosttcosttsint

则

dx

-1。

dy

d2xdy2

&2

。

3a

19.

1155!

1

62

x16

15

5!

1

。

、6x20.

x2arctg-

x

0,

cX12xarctgx1,

2

x1x2

lim

fx

x0

0_,

21.已知fx

x2

e1

2

x

1,

解：x0时,

x2

e2

x

2x3e

x2

x2

e4

x

2exx2

12

3

x

limx0xxim0

2

2xex

2x

3x2

2

|i2ex

lin

x0

x2

e

xm0

3x2

x2t

=2lim

t0

t

e

2lim2t01

2

X

e

2

22

.解:23

.证:

24

.证证:

Xa

g

2

a

2

X

m

a

Hm

a

HxX

g2

a

2

X

a

ga假如fx为偶函数，且f0存在,证实f0

0。

???f0

存在，

???f

0f0f

0，而

f0

..fxflim0

xt

lim

tf0rftf0lim

x0x0

t0

t

t0

t

???f0

f0，??f00。

设fx对随意的实数论、x2有f捲x2fx1fx2，且f

1，试

fx

xfx

fxf

xfx

xlim

lim

x,fx0fxf0，可得f0

1。从而

fxlim

x0

x

x0上

..fxf0fxf0

fxlimx0

x

xfx。

25.已知yxarctgxIn、1x2，求y。

解:y1

xarctgx—In1

x

arctgx

x12x1x2

21x2

arctgx

26

.已知

yarCSinf^x2

，求八

解:y

2sinx12sinx

2sinx12sinx

2sinx

2cosx2sinxcos2sinx1

...2cos2

x

2

2sinx

3/322sinx

2sinx

27.设yax1a2xarccosax，求dy。2x|

aInax.arccosadx.1a2x

costcosttsint

sint

cost

dydx2

1

tcostt一

Xt

costtsintcosttsintcost

sintcost

sint

i-

1_v31

d2

y

232

2

1厂

dx2

t-

也

-

吋3

。

3

2

x

e，求y。

1

解:Iny—

x

In|x|

In|sinx|-In11ex

x

.1

11

cosxxey

y2xsinx21ex

一xsin

x：1

设28.y11

,xsomx1ctgx

21ex

29.设

Incostsinttcost

dxdx2

t-

3

解:dy

ax

■J

a2xarccosax

dx

Ina

2a2xlna

arccosa.1a2x

1a2xL

dx

2x

a

解:型览dxxttcost

30.函数yyx由方程arctg-In.x12y2确定，求dy

。xdx

解；两边对x求导得：

12

yx2y

丄弩2y

y，解得：y7。

1yx

2xy

xy

x

(三)

1.可微的周期函数其导数(A)A.一定仍是周期函数，且周期相同B.一定仍是周期函数，但周期不一定相同C.

一定不是周期函数D.不一定是周期函数

2.若fx为1,1内的可导奇函数，贝Ufx(B)

A.必有1,1内的奇函数C.必为l,l内的非奇非偶函数

1

3.设fxxnsin(x0)且f0

B.必为l,l内的偶函数

D.可能为奇函数，也可能为偶函数0,则fx在x0处(C)

C.仅有一阶导数

D.可能有二阶导数

(A)

A.

高阶无穷小B.等价无穷小C.低价无

穷小D.不行比较

6.

函数yfx在某点处有增量x

0.2，对应的函数增量的主部等于

0.8,

1

A.令当limfxlimxnsin丄f0

0时才可微

x0

x0

x

B.在任何条件下都可微

C.当且仅当n2时才可微

1D.由于sin-在x

0处无定义，所以不行微

x

4.设fxxax，而a处延续但不行导，则fx在xa处

C)

A.延续但不行导

B.可能可导，也可能不行导5.若fx为可微分函数，当

x

0时，贝U在点x处的ydy是关于x的

B.a1，b1D.a1，b1

内有定义，若当x,时，恒有fxx2，

则x0是fX的（C）

atgxb7.Iim

x0

cln12x

1cosx

2

2，其中a3

c2

0,则必有（

D)d(1

A\e)

A.b4d

B.b4d

C.a4c

D.a

4c

ln1x

8.设lim

x0

ax2X

bx22，则（A)

A.4

B.0.16

C.4

D.1.6

10.设fX在

,

内可导，且对随意

X1，

X2，当X1

X2时，都有

fX1

fX2，则(D)

A.对随意x，fx0

B.对随意x，fx0

C.函数fx单调增强

D.函数fx单调增强

11.设fx可导,

Fxfx1

sinx，若使F

X在x0处可导，则必有

(A)

A.f00

B.f00

C.f0f00

D.f0f0

C.左导数不存在，但右导数存在

D.左、右导数都不存在

12.设当x

0时，exax2bx1是比x2高阶的无穷小，则（A

)

bb

1o

aa

2

b

o

a

2

b

r*

a

9.设fx

233x

，

2

x,

x1

则fX在点x1处的(B)X1

A.左、右导数都存在

B.左导数存在，但右导数不存在1

A.a，b1

2C.a—，b1

213.设函数fx在区间

A?间断点

B.延续而不行导点

0时，etgxex与xn是同阶无穷小，则n为（C）

15.函数fx

x2x2x3x不行导点的个数是（B）A.3B.2C.1D.0

16.已知函数y

yx

在随意点x处的增量yyx

2且当x0时,

1x2

是x的高阶无穷小，y0

，则y1(D

)

A.2

B.

C.e刁

D.e刁

1COSc

,x017.

设fx、x其中gx是有界函数，则fx在x0处（D）

2

xgx,x0

A.极限不存在

B.极限存在，但不延续

C.延续，但不行导

D.可导

1

1

18.

在区间，内，方程x$xpcosx0（C）

20.若fx是可导函数，且fxsin2sinx1，f0

4，则fx的反

21.若fx在xe点处且有延续的一阶导数，且fe2e1，则

dcos-Jx

limfe1__o

x0

dx

22.设fxx3311gx，其中gx在点x1处延续，且g1

6，则f1

1996o

C.

可导的点，且f00D?可导的点，且f0

14.设x

A.无实根

B.有且仅有一个实根

C.有且仅有两个实根

D.有无穷多个实根

19.

Intdytm'则贏1

"，丄二时,

n

dydxn

1n1mm1mn1n1!

函数x

y当自变量取4时的导数值为

1sin

2sin1

a1

23.设fxcos—

—

x

0,1

则当a的值为_>0

1

时

,

x1处延续，当a的值为>2时

,1可导。

24.已知2

x2ex则y4024y50

25.

2小

xcos2x,

10022940

2ax

sin2xe

26.

上延续，则a-2a,

27

.

xm013xsinx

28.cosx2.2

1sin

—x2xsinx2sin21cosx2sin?o

xxx

29.曲线

1

t3

t2

2处的切线方程为

30.lim

x

2ax2a

ln2

。

31.

xe2

32.X211x220

33.xm0

x2

34.

1xtgx

35.曲线

y

?tsin2t

t在点(0,1)处的法线方程为y1

ecost

36

.

设函数yyx由方程Inx2yx3ysinx确定,则dx

37.limx

x

sinIn1sinln1

38.设Infxx存在,d2ydx2

解:

39.yx是由方程组

x

ey

3t22t

sint

所确定的隐函数,

d2y

dx2

解:Xt6x2，即eysint0两边对x求导

eyyxsinteycostyt

eycost得:%1eysint

Xtyt(t

?dydxyteycost

Xt1eysint6t2

d2y

dx2

ddydx.dx

dtdt

eyytcosteysint1eysint6t2eyytsinteycost6t61yysint

esinte

23

1eysint6t2

2ee

o

44

40.设

ytft

其中ft具有二阶导数，且ft

解:dy

dx

tft

41.解:d2y

dx2

fxy，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于

对方程yfxy两边求导得：y1,求豊o

dx

f'再求导

y1y

2

xy

1

42.设fx，且gx

1丄

x—，计算f

1

1

fx

x禾口g

x。

解:43.

x

gx

fx

1x1fx

1xx1

2“2>y

1x1x

1

2

fx1x

2

1fxx

1

1x

fxfx求

gx0

fx

x

2

设gx

x

fxInx

efxInfxe

2x

解:Inf

44

.

解:

2得6yy

fxfxxInfx

求写

dx

两边对x求导得:

3y2y2y2xy

3y2y2xy0，解得：y

2xy

3y2x2，

解得：y创

2

6yy2y

22

xyx

再求导

（其中

2xy

x

3y

45.验证函数y

e

X

满足关系式

xyiy

证:

e

；x

X12、x

12、x4\x

1e4x

x4点3

14xex

1.x.xee

4x046.设曲线C的参数方程是求曲线C上对应于

In2的

点

的切线方程。解:

tIn2时,eln2eln2ln2

e

ln2

e

254

dydxtt

2eete故切线的斜率dydx

eln2

eln2

In2

3，于是所求的切线方

程为：y47.设fxax

b,

xo

X

。

为了使函数fx

于占

4

八、、

Xo处延续而且可

微，应该如何选取系数解：由fX在点

a和

b?

x0处延续可知limfx

XX

limfx

XX0

ax0b,

xX0时，

2x,xx0由fX在点X

a,xX0

X

。

limfxlimfx，得2x0a，代入可得：bx0ax0x02x[

x0，故

XXo

xx

2

a2xo,b

Xo。

fx若xx

48.设Fx

'卄0，其中函数fx在xxo为左方可微分的，

axb,若xx0

应该如何选取系数a和b，使函数Fx在点x0处延续且可微分。

解：由Fx在点x0处延续可知，limFxlimFx得，fx0ax0b，

xxo