2022-2023学年内蒙古包头市高二年级上册学期期末考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年内蒙古包头市高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1.在复平面内，与复数z=-l-i的共知复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由共相复数定义，及复数与点的对应关系可得

【详解】复数z=-l-i的共辄复数为3=-l+i,对应得点为（一“），位于第二项限.

故选：B

2.已知命题P"xeR,sinx41,则（）

A-y?:3x€R,sinx>1BR,sinx>l

Q-TP：3XGR,sinx>1DVXGR,sinx>l

【答案】C

【分析】根据全称命题改为特称命题的规则修改即可.

【详解】全称命题改为特称命题，全称量词改为特称量词，结论改为原结论的反面，故命题

p:VxwR,sinxV1的否定为太£R,sinx>1

故选：C

1-i1+i

3.（l+i）（1-i）2（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【分析】根据复数的运算求解即可.

1-il+i1-il+i1-i-l-i-2i,

【详解】（l+i>（1-评2i必2i2i,

故选：D

51

lireq•x2X4>0n

4.设是两个命题P：H-3>0,66,则p是〃的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

11

rq：X>—X<—r、

【分析】解不等式可得命题P">3或x<-3,2或3,判断{x[x>3或X<-3}£

1L

{xX>—x<-}

2或3,即可判断答案.

【详解】命题即p:x>3或x<-3

251n11

q'.x—x+—>0q,x>—x<-

66即2或3,

_Lli

由于{x[x>3或X<_342X5或x〈丸

故p是4的充分而不必要条件，

故选：A.

5.设耳、玛是两定点，阳用=6,动点尸满足附H明=6,则动点尸的轨迹是（）

A.双曲线B.直线C.线段D.射线

【答案】D

【分析】由条件可得MT明=6=叱|,即可得答案.

【详解】因为阿卜归闾=6=1耳用，所以动点M的轨迹是射线.

故选：D

5

6.设椭圆G的离心率为13,焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线G上的点到椭圆G的两个焦点

的距离的差的绝对值等于8,则曲线G的标准方程为（）

-y2-i

A,不下=1B.*亨=1C,丁-不D.心房”

【答案】A

【分析】根据离心率和长轴长计算得到％=13,c>=5,判断曲线G为焦点在x轴上的双曲线，根

据双曲线的定义计算得到答案.

c

e_\_5

【详解】椭圆G的离心率为413,24=26,卬=13,故q=5,

故椭圆C的两个焦点为片（一5，。），6（5,0）,

曲线G上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8,8（内用|=10,

故曲线G为焦点在x轴上的双曲线，

________.2_]

2a产8,&=4,Z>=V52-42=3故双曲线方程为4?32~

C2=C|=5(2(

故选：A

7.已知点尸是双曲线4上的动点，过原点O的直线/与双曲线分别相交于〃、N两点，

则I।的最小值为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据双曲线的对称性可得。为MN的中点，即可得到西+丽=2而，再根据双曲线的性

质计算可得；

【详解】解：根据双曲线的对称性可知。为的的中点，所以丽+丽=2瓦5,又P在

*-彳=1上，所以当且仅当尸在双曲线的顶点时取等号，所以10”+小卜2|0。标2

故选：C

8.设。是坐标原点，尸是抛物线丁2=2。丫（。＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，成与x轴正向的

夹角为60。，则囱为（）

21VilV1313

~7P~^~P~TP记P

A.4B.2C.6D.36

【答案】B

【分析】过A点做/D'x轴，令FD=m,则〃=2加，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准

线的距离求解即可.

【详解】如图所示过A点做NO'x轴，令FD=m,

因为尸是抛物线V=2PX(P>0)的焦点，成与x轴正向的夹角为60。,

所以由抛物线的性质得勿=2机=阳+。，解得加=P,

故选：B

9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是一了—(

/-I

=0.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉

至1-1

的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为

105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.

26_26+xV5-1

【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则x^+105：

得X"42.07"?/"5.15的.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化

思想解题.

X2

10.已知椭圆/b2的右焦点为尸.短轴的一个端点为直线/：3x-4y=°交

4

椭圆E于48两点.若忸尸|=4,点/到直线/的距离不小于£则椭圆E的离心率的取值范

围是

【答案】A

【详解】试题分析：设6是椭圆的左焦点，由于直线/：3x-4y=°过原点，因此48两点关于原点

对称，从而“空厂是平行四边形，所以监|+|即=|/尸|+阿|=4,即2a=4,a=2,设"(0,6),

,4b4b4

d=——2—

则5,所以5-5,b>\,即146<2,^c2=a2-b2=4-b2,所以0<c4j3,

八Cw也

0<—<——

a2.故选A.

【解析】椭圆的几何性质.

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得a，。关系或范围，解题的关键是利用对称

性得出“刊+忸目就是2°,从而得。=2,于是只有由点到直线的距离得出b的范围，就得出c的取

值范围，从而得出结论.在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义.

P斤C:--^-=l(a>0)m

11.如图，,,乃是双曲线a3的左右焦点，过九的直线与双曲线C的两条渐近

线分别交于A,8两点，若点A为片8的中点，且/则再周=().

A.4B.4GC.6D.9

【答案】A

【分析】结合己知条件得°"〃印，推出乙1°与=4°8=406=60。，然后求出。，即可求得

I耳玛I

【详解】因为点A为尸2^的中点，所以。///尸避，又RBA.FJ,所以°,_1耳8,

|OF1|=|OF21=|OB|,所以406=/ZO8=N8O用=60。

J7

—=tan60°=V3r——

所以a,解得。=1,所以c=/+3=2

故|耳名|=2c=4

故选：A.

12.已知抛物线C：V=8x的焦点为尸，准线与x轴的交点为K,点A在C上且MKkeMM,

则A4FK的面积为()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【详解】F(2,0),K(-2,0),过A作AMI准线,则|AM|=|AF|,

.-.|AK|=^2IAM|,三角形APM为等腰直角三角形，

设A(m2,2/m)(m>0),

由=得2"72=〃/+2,解得=2

则AAFK的面积=4'2出5=40m=8,

故选B.

二、填空题

1

X—

13.若2Vx<8,4<y<6,则V的取值范围是,

747

49T

【答案】

【分析】根据条件得到4V6,得到取值范围.

一1<—1<—11—<1—<1—

【详解】4<"6,故6V4,则4歹6,

7147

一<x—<—

又2Vx<8,故4尸6.

fZ

故答案为：(46)

14.已知命题P：关于x的方程/-ax+4=0有实根；命题4：关于x的函数y=2/+ax+4在

[3,+")上是增函数，若PAg是真命题，则实数。的取值范围是

【答案】［-12,-4卜［4+00)

【分析】根据条件求出命题p,为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可.

【详解】解：命题P：关于X的方程/-改+4=0有实根，则—/-IGNO,解得或“4-4.

_q<3

命题九关于X的函数N=2x2+or+4在［3,+")上是增函数，.一^一，解得“2-12.

若P八4是真命题，

则P，9同时为真命题，

或试-4

则上72,

即-12VaV-4或心4,

故答案为：［72,-4M4+8)

15.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片

后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不

是1”,丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是.

【答案】1和3.

【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2,或1和3：

(1)若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3：

(2)若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”：

所以甲的卡片上写的数字不是1和2,这与己知矛盾；

所以甲的卡片上的数字是1和3.

--,0|F:|x--|+/=4

16.已知12九8是圆I2)(尸为圆心)上一动点.线段48的垂直平分线交B尸

于P,则动点P的轨迹方程为.

y=i

【答案】4.

【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程.

【详解】由题意"于°),尸在线段"的垂直平分线上，则归却=|尸/|,

所以IIIIIIIIII,3^,II,

所以尸在以4尸为焦点，长轴长为2的椭圆上，

c=-b'='a'—c2=—

2a=2,a=1,2,则4,

，y2,

=1

所以轨迹方程为4.

x2+^=l

故答案为：4.

三、解答题

17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴上x,长轴长为4,焦距为2；

⑵一个焦点坐标为（2，0）,短轴长为2.

江+且=1

【答案】（1）4+3-.

X221

—+V=1

⑵5

【分析】（1）根据长轴长求出。=2,根据焦距求出。=1,从而求出6="2-d=6写出椭圆方

程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出6,c,从而求出”，写出椭圆方程.

【详解】（1）•.•椭圆的焦点在x轴上，

22

—工二~\------1।

•••设椭圆的方程为。2b2（a>b>0）,

•••长轴长为4,焦距为2,

...2a=4,2c=2,

...a=2,c=l,

.b=\la2-c2-V5

,,，

37

椭圆的方程为43.

（2）焦点坐标为（2，°）,短轴长为2,

x2/

---+-----1

设椭圆的方程为/b2（a>b>0）,

・.c=2,6=1,

・a=J/）』+。2=y[5

••，

X22_1

----Fy=1

椭圆的方程为5•.

18.已知点,（23）在抛物线V=2px上，08C的重心与此抛物线的焦点尸重合（如图）.

（1）写出该抛物线的方程和焦点厂的坐标；

（2）求线段3C中点M的坐标.

【答案】⑴八32,F（8,0）

⑵（II）

【分析】（1）根据点"（23）在抛物线/=2px上，即可求解；

（2）由已知条件知：尸（8，0）是线段的一个三等分点，且万=2而，由此能求出点M的坐标.

【详解】（1）因为点）（23）在抛物线/=2川上，所以64=4°,解得：p=16,

所以抛物线的方程为：『=32x,焦点坐标为尸（8,0）.

（2）因为的重心与此抛物线的焦点厂重合，由三角形重心的性质可得：AF=2FM,设

f6=2（x0-8）

历（后,万贝"

%）,=（6,-8）,FM=（x0-8,^0））-8=2%,

解得：%=所以线段8c中点M的坐标为（IT）.

2+t

X=---

,6

19.在直角坐标系'S'中，曲线G的参数方程为卜="（，为参数），曲线G的参数方程为

2+s

x=-------

,6

"一"（6为参数）.

（1）写出G的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2cose-sind=0,

求G与C交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标.

【答案】（1/=6>2（出0）；

（2）G，G的交点坐标为［21），（L2）,C3c的交点坐标为（5（-1,-2）.

【分析】（1）消去，，即可得到c的普通方程；

（2）将曲线G，G的方程化成普通方程，联立求解即解出.

x_2+f2+y2

［详、解］（1）因为”——6,丫=业r，所以x-6J,即G的普通方程为/=6x_2（y20）

2+sr'

⑵因为、x----6-，y=-vs,所以6x=-2-y,即。2的普通方程为V,=-6x-2（y40）,

山2cos856=0=2外斓5m。=0,即G的普通方程为2xr=0.

,_I

K=6x-2（y>0）,x=2（=\

联立2x-y=0,解得：1=1或5x=2,即交点坐标为（J」），（L2）；

,,_1

联立I2x—=0,解得：|…1或1尸一2,即交点坐标为b5'一1（-1,-2）

_,42

20.已知函数f八（x）=1\x-a\1+\x-2a+\\

（1）当a=2时，求不等式/GV4的解集；

（2）若求a的取值范围•

【答案】⑴W或、以⑵STUD

【分析】（1）分别在xV3、3<x<4和x±4三种情况下解不等式求得结果;

(2)利用绝对值三角不等式可得到/々"(“-I)-,由此构造不等式求得结果.

【详解】⑴当。=2时，/(x)=|x-4|+k-3|

,、<3

当x43时，/(X)=4-X+3-X=7-2XN4,解得：

当3Vx<4时，/(x)=4-x+x-3=l>41无解；

当x24时，/G)=X-4+X-3=2X-724,解得：一万；

综上所述：/(X)"的解集为卜,或X2?}

⑵/(^)=|x-a2|+|x-2a+l|>|(x-a2)-(x-2a+l)|=|-a2+2a-l|=(a-l)2(当且仅当

时取等号),

'("I)&4,解得：Q4T或心3,

・”的取值范围为ST]U[3,+8)

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

x=百cos2t

21.在直角坐标系才何中，曲线C的参数方程为L=2sin,,(,为参数)，以坐标原点为极点，

psin0+—+加=0

X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为13>

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求〃?的取值范围.

【答案】⑴瓜+"2〃，=。

1951

(2)「五'5_|

【分析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

(2)方法一：联立/与C的方程，采用换元法处理，根据新设。的取值范围求解”的范围即可.

psinf0+^\+m=0—n-sin0p-cos0+m=O

【详解】(1)因为/：I3>，所以22,

173n

—yH---x+TH=0

又因为psnen=y,0-cosn9=x,所以化简为22.

整理得/的直角坐标方程：、6x+V+2w=°

（2）［方法一］:【最优解】参数方程

联立/与C的方程，即将x=J^cos2'，y=2sinf代入JL+y+2/n=°

中，

可得3cos2/+2sin/+2/7/=0=>3(1-2sin2/)4-2sin/+2m=0

化简为-6sin，+2sin，+3+2"?=0,

耍使/与C有公共点，则2"?=6sin2f_2sinf-3有解,

令sinf=a,则。£卜1」］,令/（。）=6/-2。-3,（-1〈茶1）

对称轴为“一石,开口向上，

：J(叽="7)=6+2-3=5

“、12al9

"叽，广=T-3=),

195

--<2m<5

6,即〃?的取值范围为LTP5

［方法二］:直角坐标方程

X=y/3COSIt

,「为参数，消去参数，，可得「"¥"2

由曲线C的参数方程为y=2sin，

石x+y+2m=0

一空x+24m=3y2_2y_6=3(y-；1-

得3y2-2y-4in-6=0(-2WyV2),g|j

联立31即有

-24,1。-必J95

<m<l

3，即122,，机的取值范围是L~n,2

【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解;

方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法

一本质上差不多，但容易忽视了的范围限制而出错.

E+:1

22.设小鸟分别是椭圆彳+’-

的左、右焦点.

pp.PJP=-—

（1）若尸是该椭圆上的一个动点，求24,求点尸的坐标;

（2）设过定点M（°，2）的直线/