2022河南专升本《高数》真题及答案解析

-1

2022年河南省普通高等学校专

科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

题号—4二三四五总分

分数503050146150

注意事项：

答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上

本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效

选题分析:

易（42分）中（73分）难（35分）

选择：选择：选择：

1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/213/5/7/11/13/14/16/17/20/22/19

填空：23/24/25填空：

26/28/30/32/37填空：33/40

计算:27/29/31/34/35/36/38/39计算：

41/43计算：45/47/49

应用：42/44/46/48/50应用：

证明：应用：51/52

证明：证明：

53

一、选择题（每小题2分，共50分）

在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

1.对称区间上/（幻是奇函数，g（x）是偶函数，下列函数是奇函数的是（）

A./U4)

B.g(x)+/W

C.g(x)f(x)

D.—g(—x)

tan3x,、

2.极限hm=()

zo2x

A.i

2

2

B._

3

c.o

D.oo

3.当X->+8时，下列变量不是无穷大量的是()

x2+l

A.

■+4

B.\gx

c.y

D.arctanx

sinx八

2x+,x>0

____

4./(x)=：x<0,则x=0处是/㈤的()

[xcosX,

A.无穷间断点

B.可去间断点

C.跳跃间断点

D.振荡间断点

14

5.极限lim(—5―—―—)的值为().

2%-2f-4

D.oo

6.下列关于函数y=/(x)在点/的命题不正确的是

A.可导必连续

B.可微必可导

C.可导必可微

D.连续必可导

7.设函数y=x"+a/T4---\-a,则y""=().A.a

I2n

B.〃！

C.O

D.n\an

8.设/(x)=lnjl+x,则/'⑴=().

A.2

B.l

1

C._

2

1

D._

4

9.设函数y=/(x)在点x=l处可导，且lim"")-/⑴

3,则广⑴=().

eX2-1

A.2

B.3

C.6

D.12

10.曲线丁=/(8一4)在区间(一8,-4)内的特性是().

A.单调递减且为凸

B.单调递减且为凹

C.单调递增且为凸

D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是().

I

A.12dx_2

B.*声"

C.4'1-九2八二；

1

D.Ji(sinx+cosx)d^=0

12.已知=/(工)+C,则j』/(lnx)为:=().

A.F(lnx)

B.F(lnx)+C

C.xF(lnx)+C

D.—F(lnx)+C

x

13.下列式子正确的是().

A'J/Q)dx=/(幻

B.d=/(x)

c~jra)^=/(x)+c

DJ/'(X)(/X=f{x)

14.平面2x+y—3=0的位置是().

A.平行于xOy面

B.平行于Z轴，但不通过Z轴

C.垂直于z轴

D.通过z轴

222

15.方程土+21=土所表示的曲面为（）•

a2b2c2

A.椭圆抛物面

B.椭圆锥面C.

椭球面

D.椭圆柱面

16.下列广义积分中发散的是（）.

A.产

-2x

C.L

2

A(lnA)

17.常数。〉0,(x2+xy^^-)dx=().

A.O

B.«3

C.”33

2

23

D._a3

3

18.下列方程中为一阶线性微分方程的是().

A.(y+xy')2=xy'

B.w+(y)2+y=0

C.无2y+y=x

D.y〃-2y+y=0

19.已知y=2x是y"+y=2x的解，％是的解，则微分方程

>"+^=2工+2"*的通解是().

A.2尤+e'

B.C(cosx+C2sin尤+2x+e~x

C.Gcosx+Gsinx+e~x

D.Gcosx+C2sinx+2x

20.若函数/(x,y)在点(%,%)处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则()♦

A/'(X(),%)=fy(xo，%)=。

B.若(4,加)是。内唯一极值点，则必为最小值点

Cj〃a,y)・f〃(x,y)-"〃a,y)]2>0,且尸(x,y)>0

XT00抄00岁00XV00

D./"(x,y)・/"a,y)-"〃a,y)]2>0,且广。广)<0

xr00>700^00xr00

22E汽

21.设Z=JT-2孙一»，则=().

晒(1.2)

A.1

B.2

C.—2

D.-1

22.函数/(x,y)=2xy在点(―1,2)沿;=(2,—1)方向的变化率为().

A.25

B.-10

C.-25

D.1O

23.二次积分[dy])(x,y)dx=().

33

33

«3.3-x

C.Jo公]f{x,y)dy

产yr3T

D.Jodxyf(x,y)dy

24.下列级数中绝对收敛的是().

三(一1严

A，Zfnn

-(-Dn

B.y——-

白〃+i

8〃+]〃

D.Y(-I)--------------25.下列说法正确的是（).

占(〃+1)(〃+3)

A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变

B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛

C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛

D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散

、填空题(每小题2分，共30分)

26.函数y=+ln(x+l)的连续区间是____.

/_J_^

V9-X2

27.若/(幻为可导的奇函数，且/'(2)=3,则/'(-2)=口.

28.曲线y=lnx在点.时切线与连接曲线上两点(1,0),(e,l)的弦平行.

29.1im(l-ly+2021=

2X2+1

30.曲线y=——-的垂直渐近线是.

(x=2cos6+sin2。dy

3/.设曲线方程〈c.c(。为参数)，求丁=3.

(y=2sin"+cos2"axe=Q

32.不定积分Jxsinxdx=1.

33.J；max［x,2-x^dx=.

dX2

34.—£costdt(x>0)=_^.

35.函数丁=4才+"*的极值点坐标是.

36.曲面/-5z+盯=3在点(2,1,0)处切平面方程是.

37.设二元函数z=2xy+y2,则。=二.

n27r

38.函数y=lnsinx在区间［］上满足罗尔定理的匕的值是_______.

—94

33

39.L为正向圆周(工一1)2+y2=4,^>(2y4-x3)6fr4-(x-y3)dy=.

4

40.将函数f(x)=-------展开为x的基级数为.

x-6x+5

三、计算题(每小题5分，共50分)

ln(l+5xsinx)

41.求极限lim-------------

101-cosX

?+3

42.若极限lim（------以+。）=0,求的值.

Z8x-\

43.设函数y=arctan,求◎及生

dxdx

求曲线y=3+ln（f+1）的拐点及凹凸区间.

45.计算不定积分1-1—dx.

JVT+T+i

71

COS——X,x>()r2

46.设/(x)=《2,jf(x-l)dx.

[l+x2,x<0

xy—2z—1

47.过点(-3,-2,0)且与直线L:_=1_=一垂直相交的直线方程.

11-1

2

Tdz2dz

48.设二元函数2=一一arcsin(xy),求孙一~y―

dxdy

49.计算二重积分/=JJe'dxdy,其中积分区域D由直线y=x,y=0,x=3围成.

50.判断级数、一;）的收敛性・

四、应用题（每小题7分，共14分）

51.过坐标原点作曲线＞的切线，求：

（1）该切线的方程；

（2）由曲线、切线及y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.

52.质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.

在f=10s时，速度u=100cm/s,外力buZg-cm/s，问f=30s时，质点的速度是多少?

（65«8.062,计算结果取整数，注：F=ma,。为加速度）

五、证明题（每小题6分，共6分）

53.证明多项式/(x)=2V-6x+a在区间［―1,1］上至多有一个零点，其中。为任意实数.

2021年河南省普通高等学校专

科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

【参考答案】

一、选择题(每小题2分，共50分)

1.【答案】C

【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数x偶函数=奇函数，故选C.

2.【答案】A

3x3

【解析】本题考察求“。”型极限，利用等价代换可得：limtan3x=lim=.

0XTO2Xz°2x2

3【答案】D

71

【解析】limarctanx=woo,根据无穷大量的定义知，故选D.

-2

4.【答案】C

limf(x)-limxcosx=0»limf(x)-lim(2x+s^nx)=1,在x=0左右极限存

x—>0+.v—>0-

在且lim/(x)wlim/(x),所以x=0为跳跃间断点，故选C.

.t—>0".t—>0*

5.【答案】A

14x-211

【解析】本题考察求“8—8”型极限，lim(-)=lim=lim=_，故

2

・r-»2x-2x-4412%+24

选A.

6.【答案】D

【解析】根据可微可导连续的关系，知连续不一定可导，故选D

7.【答案】B

【解析】本题考查高阶导数，由结论知，y")=〃!，故选B.

8.【答案】D

【解析】八、户看.—二1_/''(1)=2,故选D.

2(1+x)4

9.【答案】C

【解析】lim"：一/⑴=lim/(x)-/⑴=：/'⑴=3,所以尸(1)=6,故选C.

ax2-lI(尤-1)(尤+1)2

10.【答案】B

ii3

【解析】y=x(x_^=x-4x,y'=4d—12d,在(_8,一4)内y'<0,所以曲线在

(一8,-4)内单调递减；/,=12X2-24X,在(一8,—4)内y”>0,所以曲线在(—8,—4)内是

凹函数，故选B.

11.【答案】C

【解析】根据定积分几何意义，由被积函数y=Ji二三(yNO)知定积分J：Ji二工改表示以

I2171

即JIx"dx=-S^=—.故选C.12.

原点为圆心、1为半径的上半圆面积,

【答案】B

【解析】根据己知条件，由不定积分第一换元法得：

j—/(Inx)tZr=J/(Inx)J(lnx)=F(lnx)+C>故选B.

13.【答案】A

【解析】利用微积分互逆运算：B选项4(Jf(x)dx)=/(x)小，C选项卜'。)办=/(尤),

D观页Jf'(x)dx=f(x)+C,故选A.

14.【答案】B

【解析】平面2x+y—3=0法向量〃=(2,1,0),z轴方向向量s=(0,0,1),〃<=0,即平

面2x+y-3=0与z轴平行；代入原点，得2・0+0-3/0,即平面不经过z轴；故选B.

15.【答案】B

222

【解析】方程三+22=二为椭圆锥面的方程式，故选B.

/b2c2

【解析】f一=f一+f_=Inl.rll+ln|x||,不存在，即发散，故选A.

17.【答案】D

2,

=~a,D.

3

18.【答案】C

【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得^了+了二彳为一阶线性微分方程，故选c.

19.【答案】B

【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，y+y=2x+2”'为微分方程

I2

y"+y=2x+2eT的解；设二阶线性齐次微分方程为y"+y=0,特征方程为r2+l=O,

r=±i,得二阶线性齐次微分方程的通解为：y-C|Cosx+C2sinx,故微分方程

y"+y=2x+2””的通解为qcosx+Qsinx+2x+e~x,古姆B.

20.【答案】C

【解析】/(x,y)在点(修，及))处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分

条件知选项C正确，故选C.

21.【答案】C

dzd2zd2z

【解析】=2x—2y,=—2,=—2,故选C.

dxdxdydxdy(12)

22.【答案】A

【解析】与；=(2,—1)同向的单位向量+=(2，-1),又因为广(—1,2)=4,/'(—1,2)=-2,

’55

df(x,y)2-1

故=•4+•(―2)=25,A.

讥(2,-1)55

23.【答案】C

fO<j<3

【解析】由上力]知积分区域。表达式为：〈,、.，交换积分次序后积

[0<%<3

f0<x<3

分区域。可表示为:0"W3—尤'即上时。/但y心=£时。/(X，y)dy，故选。

24.【答案】A

【解析】根据交错P级数结论，A选项为绝对收敛；B、C、D选项为条件收敛：故选A.

25.【答案】D

【解析】根据级数的性质：收敛级数加减发散级数，结果为发散，选项D正确，选项C错误；

选项A：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化：选

项B：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为

发散；故选D.

二、填空题(每小题2分，共30分)

26.【答案】(—1,3)

[9-X2>0-3<X<3

【解析】定义域：〈xw(-l,3),初等函数在其定义域内都连续,

[x+1>0

故连续区间为(—1,3).

27.【答案】3

【解析】求导后奇偶性发生改变，即(。)为偶函数，则/'(-2)=/(2)=3.

28.【答案】(e—l,ln(e—l))

【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：%=1一°=I所以y'=i=I解得x=e—1,

xe-1

代入y=Inx得y=ln(e-1)；故该点(e-1,1n(e-1)).

29.【答案】e-1

-jr(--)(x+2O21)

【解析】应用第二重要极限，原式=lim[l+(—)]*

30.【答案】尤=1

【解析】lim=8,故x=1为函数y=2厂+1垂直渐近线.

XfI》一1X-1

31.【答案】1

iudydyIdO2cos。一2sm2。

【解析】------=-----------------

dxdxIdO-2sin6+2cos2。

32.【答案】-xcosx+sinx+C

［解析］jxsinxdx=一，xdcosx=-xcosx+Jcosxdx=-xcosx+sinx+C.

33.【答案】3

【解析】xN1时;f(x)=max{x,2-x}=x；x<l时，/(x)=max{x,2-x}=2-x.

jmax{x,2-x}公=J(2-x)公+jxdx=(2x-^x2)x2=3.

°°12°2।

34.【答案】2XCOSX

【解析】变限积分求导，\COS，力=(32ycosx2=2xcosx.

dx^

35.【答案】(Tn2,4)

-oo<x<-In2,y'<0,则y在(一8,-In2)单调递减；

x>-In2,y'>0,则y在(一In2,+8)单调递增；

所以x=—ln2为极小值点，y=4ef2+e+m2)=4.1+2=4,

2

故极值点坐标是(-In2,4).

36.【答案】x+2y-4z-4=0

【解析】令尸(乂％2)=6：—52+盯—3,尸'=y,F'=x,尸'=e-5,则曲面在(2,1,0)

处法向量为〃=(1,2,-4),切平面方程为(X-2)+2(y-l)-4(z-0)=0,即

x+2y-4z-4=0.

37.【答案】dz，］)=2公+8办

【解析】z=2xy+/,2=2y,z%=2x+",即dz=2ydx+(2x+2y)dy,故

%=2dx+86.

n

38.【答案】一

2

【解析】令/'(x)=竺^=0,又因为3，解得“，，则5,

sinx3322

39.【答案】Y乃

【解析】由格林公式得，$(2y+/M+O—>3)⑥=口(四一%斓y=jj(i—2)混y

心口8xdy口

-—Jdxdy-—S圆=-4%.

:1«

40.【答案】'(I—史Jx>xe(-l,l)

441

【解析】f(x)===

%2—6x+5(x—5)(x—1)x—5

二1«

=岁-户，XG(-1,1),

三、计算题(每小题5分，共50分)

41.【解析】原式=lim5xsinx=lim5£=io.

-t^o1-cosxx^012

-JC

2

，八匚,1-/x1+3,jx"+3-ox2+ox+Z?x-/?

42.[解析]lim(------ax+/?)x=lrim---------------------

asx一]./x-1

[.(1-Q)X~+(Q+Z?)X+3-Z?八gg_ptn八人、人zpj1八Jc

=hm----------------------=0,根据有理分式结论，得1—。=0,a+b=0,

XT8x-l

即a=Ifb=-1.

1

43.【解析］"=2x=__J____,也|=1.

dx1+(x了2x(l+x)dx'^'4

'2x"2(x2+l)-2x-2x2-2x2

44.【解析】函数定义域为R,对函数求导y=——v=-------------/+］/

-?+1，)—(x2+l)2―(》+)

令y”=0,即2—2%2=0,得x=—1,%=1,

12

综上所述：凹区间为(—1,1),凸区间为(—8,—1),(l,+oo)；拐点(―l,3+ln2),(l,3+ln2).

45.【解析】令加匚7=r，则x=/-1,dx=3rdt,

3rdt产一1+1t2-l11

原式=JF=3j-y^-力=3(J0力+J771力)=3［卜-1)力+上［6/(/+1)］

2

=3(lz-Z+ln|r+l|)+C=|(l+^-3(l+x/+31n(l+x)41)Hjc.

46.【解析】令x-l=/,当％=—1,/=-2；x=2,t=1；

2

jf(x/⑺力=1(l+/)力+fcos勺力=(/+1/):+2sin-ni=14+J

2

T-2-20237T21°371

交点为（小+2,-/+1）,过点（一3,-2,0）的所求直线的方向向量s=Q+3,f+4,T+l）,直线

xy-2z-1

1=—[—=丁的方向向量为4=(1/，一1),又两直线垂直，所以s_L.»,即s<|=0,则

tx+3y+2z

/+3+/+4+/-1=0,/=-2,所以s=(l,2,3),故所求直线方程为='=--

123

dz2xydzx2x

48.【解析】=+,，_=——+

6x3yJ]一.4dy3yJl—(孙r

2

,dz23zlxy/X

贝Uxy--y-=xy(—+)-v(-+)

dy3y-3y211—(xy)2

c22

孙22

=_2x++X