判别式及根与系数关系

讲义编号 ：课时数学科教师：课型□课12016 内容ax2bxc0(a0b24acax2bxc0(a0的根的判别”来表示，即b24acab.c③计算b24ac的值；④根据b24ac2.ax2bxc0a0方程有两个不相等的实数根b24ac方程有两个相等的实数根b24ac方程没有实数根b24ac﹤0.

b24ac12ax2bxc0(a0x，x12xxbxxc 1 a≠0，①x2x2(xx)22xx 1x1x2 ②x1x2 ③xx2x2xxx(xx)1 1 x2 (xx)22x④21 2 12

⑤(xx)2(xx)24xx 1⑥(xk)(xk)xxk(xx)k2 1 (xx (xx

(xx)24x 1 x2(xx)24x 1 2 12

x2

(xx(xx)2(xx)24x 1⑨x

(x(xx ⑩|x||

| (|x|(|x||x12x2x2+2| 1x2 (xx)22xx2| 11x|2ax2bxc0(a0xx ①当△≥0x1x20当△≥0x1x20x1x20时，两根同为正数；当△≥0x1x20x1x20②当△＞0x1x20当△＞0x1x20x1x20时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0x1x20x1x20利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这a

ba

b（ab为有理数 a=2,b=3,c=-∵a≠0, 【点评】根据b24ac【变式x2axa210若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k

k1且k

k

k1且k【答案】xkx22x10知k0由此方程有两个不相等的实数根知b24ac0k1，综上可知k1k0．【变式】mxx2-（m-1）x-3（m+3）0xx2-（m-1）x-3（m+3）0恒有两个不相等的实数根3．已知方程5x2kx602kx＝2k得x2k， x6，从而解得：x3，k＝- x＝25×22+2k-6＝0k＝-7．x27x3 故方程的另一根为3，k的值为-xx2ax

b，

k

【变式x22xc03，求它的另一根及c4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是3121 xx31215 x312125 3 x25x250，即6x25x500 解法二：所求方程为x31x210，即6x25x500 3 2 D．x222x3一元二次方程ax2bcc0(a0)有两个不相等的实数根，则b24ac满足的条件是 b24ac

b24ac

b24ac

b24ac关于x的一元二次方程x26x2k0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 A．k2

B．k2

C．k2

D．k2 关于方程x22x30的两根x,x的说法正确的是 x1x2

x1x2

x1x2

关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是 一元二次方程2x26x30的两根为、，则()2的值为 已知关于x的方程x2-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围 1 1

11 ，x

设一元二次方程x23x20的两根分别为x、x，以x2、x2为根的一元二次方程 已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根 ． _．当kx的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，已知a，b，cABC(a2+b2)x2-2cx+1＝0请你判断△ABC（x1＋2（x2＋2）＝11，a【答案】C；【答案】ax2bxc0(a≠0)有两个不相等实数根b24ac0【答案】6)2-4×1×2k＞0．解得k92【答案】3，32因此()2)24963．【解析】由题意可知△＝(2)2 k≥0，-4k≥-4，所以【答案】；-；-2；；±【解析】x1+x2=，x1x2=-，+==-2，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=+=，∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=【答案】6x1x22x1x23x2x22x2x(xx)22xx2(xx)4646 1 y213y4

xx3xx2 1从而x2x2(xx)22xx322(2)13， x2(xx)2(2)24 1 1y213y40【答案】x1=4，x2=2.【解析】∵△=4，∴b2-4ac=4，即 2536；x,则个位数字为（x+3）.依题意得解得x1=2，x2=3x=225x=3x22k1)xk22k3x22k1)xk22k30∴a1，b(2k1)，ck22k∴△b24ac[(2k 2k3)4k24k14k28k124k13若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4k130若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4k130

k134k134若方程没有实数根，则△＜0，即4k130

k134k13k＝13 k134Aa2b2B2cC1△4c24(a2b2∵方程有两等根，∴

c2a2b2∴△ABC ∵xx是方程x2＋（2a－1）x＋a2 ∵（x1＋2（x2＋2）＝11，a＝－1a＝5. 又∵Δ＝（2a－1）4a＝1－4a≥0，∴a≤4关于x的方程mx22x10无实数根，则m的取值范围为( C．m＜1且m≠0 已知a、b、c△ABCcx22bxabx22axb是 若x、x是一元二次方程2x2x10的两根，则11的值为 设a，b是方程x2x20130的两个实数根，则a22ab的值为 若ab≠1，且有5a22012a90，及9b22012b50，则a的值是 b

5

9 已知关于x的方程1x2(m3)xm20有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值 422关于x的一元二次方程x2(2m1)x1m20无实数根，则m的取值范围 22

1

1为根的一元二次方程 在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是 已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）当k为 时，两根互为相反数（2）当k为 已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，则代数式的值为 x的方程2x2mx2m1029m4xkx2-2k+1)x+k-1=0x2ya2

xx

xx已知方程组

的两个解为

和 xy1

y

y 1x1、x2x2x23xx8a2 1am＝0x1m≠0△＝22-4·m×1＜0，2【答案】A 即4(a-b)(a-c)＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC【答案】Cx

1xx11

x1x2

1

a2a2013ab1a22ab(a2aab)201312012【答案】A【解析】因为5a22012a90及9b22012b50于是有5a22012a90及5(1)22012190 ab1a1a1可看成方程5x22012x90 a19a9

200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，D.【解析】由题意知△＝[(m3)]241m20m3m 【答案】m54xx22m1)x1m20所以(2m1)24(1)(1m20，解得m54222x222x10；2222【解析】2

122，

1)1．∴x222x10．【答案】∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为（1）k=0（2）k=x1,则 即x1+x2=-即x1x2==0，解得k=.又当k=时，x1+x2=-aa=-1,再将a=-1因第二个方程一定有实根，由△≥0k≤17kk=1或8k=20

k-10k-xxmxx12m 1

x2x229 即

x)22x

29 1 12m12m242∴ 2

m28m330m3m m＝3时，△＝m28(2m1490m＝-11时，△＝m28(2m1630∴m＝-11∴m3

k≠0kk3

k≠0kx1x22(kx1，x20，1