2022-2023学年江苏省连云港市国立第二十一中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年江苏省连云港市国立第二十一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知||=1，||=，且⊥，则|+|为(

) A． B． C．2 D．2参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件便得到，所以可求出，所以得出．解答： 解：∵；∴；∴||=．故选B．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的运算，求的方法：||=．2.设，且=sinx+cosx，则（

）A．0≤x≤π

B．―≤x≤C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜参考答案：B3.命题是R上的增函数，则p是q的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.函数的定义域为（

）A．(0,3)

B．(1,+∞)

C．(1,3)

D．[1,3)参考答案：D5.若，则cos2α的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】根据诱导公式化简，结合同角三角函数关系式和万能公式即可求解cos2α的值．【解答】解：由，则sinα+3cosα=0，可得：tanα==﹣3；则cos2α=cos2α﹣sin2α==．故选：C6.已知都是定义在上的函数，且满足以下条件：

①；②；③．若，则等于(

)

A.

B.

C.

D.

2或参考答案：A7.函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（

）A．f（1）＜f（）＜f（）

B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）

D．f（）＜f（1）＜f（）参考答案：D略8.已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，∵∠A=120°，，则根据向量的数量积的定义可得，设∴即xy=4==x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）∴即的最小值为故选：C【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==，还利用了基本不等式求解最值．9.定义在R上的函数，对任意不等的实数都有成立，又函数的图象关于点（1，0）对称，若不等式成立，则当时，的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．参考答案：[解]解法一：依题意，问题等价于不等式x2－2ax＋2－a≥0在x∈[－1，＋∞)恒成立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a，则Δ＝4a2－4(2－a)≤0或，解得－3≤a≤1.解法二：因为f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，则当a∈(－∞，－1)时，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，那么f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1当a∈(－1，＋∞)时，同理可得f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1综上可得－3≤a≤1.

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某运动员投篮投中的概率，那么该运动员重复5次投篮，投中次数的期望是

；方差是

。参考答案：答案：3；1.212.已知实数x，y满足，若z=x+y的最小值是﹣3，则z的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（k，k），联立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2k，k）时，直线在y轴上的截距最小为﹣k=﹣3，则k=3．当直线y=﹣x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2k=6．故答案为：6．13.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积 为

▲

cm3．参考答案：12cm3

略14.若，则的最小值是___▲______.参考答案：715.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为

.参考答案：试题分析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，所以的方程为，又易知的垂直平分线斜率为，经过圆的圆心，所以的垂直平分线的方程为，即为，或化成．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程．16.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是

.参考答案：【知识点】函数中的新概念问题.

B1【答案解析】(0，2)

解析：因为函数是上的“平均值函数”，所以存在使得，，又所以实数的取值范围是．【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出m关于的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可.17.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．参考答案：9作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=xlnx+ax2﹣1，且f'（1）=﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣2mx+1≤0，求m的取值范围；（Ⅲ）证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xex﹣x2﹣1图象的下方．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．【分析】（Ⅰ）求得导数，代入x=1，解方程可得a；（Ⅱ）由题意可得xlnx﹣x2﹣2mx≤0恒成立，即：恒成立，令，求出h（x）的导数，单调区间，求得最大值，即可得到m的取值范围；（Ⅲ）要证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xex﹣x2﹣1图象的下方，即证：f（x）+2x＜xex﹣x2﹣1恒成立，即证lnx≤x﹣1，即证：ex﹣x﹣1＞0，令φ（x）=ex﹣x﹣1，求得导数，得到单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）易知f'（x）=lnx+1+ax，所以f'（1）=1+a，又f'（1）=﹣1…∴a=﹣2…∴f（x）=xlnx﹣x2﹣1．…（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）﹣2mx+1≤0，即xlnx﹣x2﹣2mx≤0恒成立，即：恒成立…令，则，…当0＜x＜1时，，所以h（x）单调递增；当x＞1时，，所以h（x）单调递减；…∴x=1时，h（x）有最大值，∴，即m的取值范围为．…（Ⅲ）证明：要证明函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xex﹣x2﹣1图象的下方，即证：f（x）+2x＜xex﹣x2﹣1恒成立，即：lnx＜ex﹣2…由（Ⅱ）可得：，所以lnx≤x﹣1，要证明lnx＜ex﹣2，只要证明x﹣1＜ex﹣2，即证：ex﹣x﹣1＞0…令φ（x）=ex﹣x﹣1，则φ'（x）=ex﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，所以φ（x）单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0，即ex﹣x﹣1＞0，…所以x﹣1＜ex﹣2，从而得到lnx≤x﹣1＜ex﹣2，所以函数y=f（x）+2x的图象在g（x）=xex﹣x2﹣1图象的下方．…19.（本小题满分12分）已知函数。(Ⅰ)若，求在处的切线方程；（II）若在R上是增函数，求实数的取值范围。参考答案：(Ⅰ)由，得

，…………2分所以，

……4分所以所求切线方程为，即

………6分（Ⅱ）由已知，得

……………7分因为函数在R上增函数，所以恒成立即不等式恒成立，整理得

………………8分令，∴。当时，，所以递减函数，当时，，所以递增函数

…10分由此得，即的取值范围是…………12分20.四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，△SAD为正三角形.（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，，求实数λ的值；（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A-SB-C的余弦值.参考答案：（Ⅰ）因为平面SDM，平面ABCD，平面SDM平面ABCD=DM，所以，因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又,所以M为AB的中点.因为，.（Ⅱ）因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面，平面平面，在平面内过点作直线于点，则平面，在和中，因为，所以，又由题知，所以所以，以下建系求解.以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则，所以，令得为平面的一个法向量，

同理得为平面的一个法向量，，

因为二面角为钝角，所以二面角余弦值为.21.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，AD＝2，AB=1．SP与平面ABCD所成角为．（1）求证：平面SPD⊥平面SAP;（2）求三棱锥S－APD的体积，参考答案：22.已知函数是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若(1)

证明:在[-1,1]上是增函数;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)

解不等式;

(3)若对所有恒成立,求实数的范围.

参考答案：解析:(1)任取,因为为奇函数,w.w.w.k.s.5.u.c.o.