2021-2022学年北京平谷县镇罗营中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年北京平谷县镇罗营中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．

B． C． D．参考答案：C2.已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为,则下列关系正确的是（）A．

B．C．

D．参考答案：C3.下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是(

)A．y=x2 B．y=﹣x3 C．y=﹣lg|x| D．y=2x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定．【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.利用导数，可以判断函数在下列哪个区间内是增函数（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B因为可知在四个选项中逐一判定可知函数的导函数的符号，可知其单调性递增。选B5.已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的（

） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心参考答案：B6.已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．7.函数的值域是

A．[—2，0]

B．[—2，]

C．[—1，1]

D．参考答案：B，令，则，所以，所以原函数为，因为，所以，即函数的值域为，选B.8.已知,i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在(

)A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限参考答案：A9.设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.等差数列的前n项和为，且，则

(A)8

(B)9

(C)10

(D)11参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是

．参考答案：x﹣y+1=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；连线的斜率﹣1，弦所在直线斜率是1．则直线l的方程是：y﹣1=x，故答案为：x﹣y+1=0．12.若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为__________．参考答案：13.已知函数若函数的图象在点处的切线的倾斜角为________.参考答案：4试题分析：导函数，由导数的几何意义得，解得考点：导数的几何意义14.已知R上可导数学的图象如图所示,则不等式的解集为_______.参考答案：15.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为________．

参考答案：略16.设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为

．参考答案：14【分析】由题意可得+=，即有D在线段AC上，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，故S△ABC=S△ABP，结合已知中△ABP的面积为8，即可得到答案．【解答】解：由3+4=m，可得+=，可设=+，则D，A，C共线，且D在线段AC上，可得=，即有D分AC的比为4：3，即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，故S△ABC=S△ABP=×8=14．故答案为：14．【点评】本题考查向量共线定理的运用，以及三点共线的坐标表示，考查三角形的面积的求法，注意运用比例法，考查运算能力，属于中档题．17.已知若,则实数t=__________参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为，且

；数列为等差数列，且

.（1）求数列的通项公式；（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.参考答案：解：（1）由，令，则，又，所以

…2分当时，由，可得，即

………4分所以是以为首项，为公比的等比数列，于是

…………6分（2）数列为等差数列，公差,可得…………7分从而，

………………11分.

……12分19.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅲ）当时，对任意的正整数，求证：，且不等式都成立.参考答案：解：（I）由题设可得函数在上是增函数，当时，不等式即恒成立.当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；------4分当时，，于是在上单调递增.又（Ⅲ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数对于任意的正整数，有，则---------10分20.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．参考答案：(Ⅰ)解：由?2sinAcosB+sin(B+C)=0，……2分即2sinAcosB+sinA=0，…………………4分而sinA≠0，∴cosB=-，B=．……………………6分(Ⅱ)解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．……8分解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b=，………………10分由cosC=，得，解得BD=．………………………12分解法二：作AE平行于BC，并延长BD交AE于E，在△ABE中，∠BAE=，AB=4，AE=1，且BD=BE，又BE2=AB2+AE2-2AB·AEcosA，即BE2=16+1-2×4×1×=13，这样BD=BE=．………………12分21.（本小题满分12分）

某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取—个容量为120的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），［70，80），[80，90），［90，100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：(l)算出第三组[60,70）的频数，并补全频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数，参考答案：解：（1）因为各组的频率之和等于1,所以分数在内的频率为：

，

……………3分

所以第三组的频数为（人）.

……………4分

完整的频率分布直方图如图.

ks5u……6分

（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计

值为分.

……………8分

又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为:

（分）.………11分

所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分.

………12分

略22.（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。（1） 证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2） 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1