北京育才实验学校2022年高三数学文月考试题含解析

北京育才实验学校2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数与的定义域均为R，则A.与与均为偶函数

B.为奇函数，为偶函数C.与与均为奇函数

D.为偶函数，为奇函数参考答案：D2.已知p：α是第一象限角，q：α＜，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若α=，满足在第一象限，但α＜不成立，若α=0，满足α＜，但α在第一象限不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据角与象限之间的关系是解决本题的关键．3.已知集合，，则（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：由题意，，所以．故选B．考点：集合的运算．对数函数与指数函数的性质．4.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1

(B)3

(C)4

(D)8参考答案：C因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c．若sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则角A等于(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得b=2c，再由余弦定理以及a2﹣b2=bc，求得cosA的值，从而求得A的值．解答： 解：在△ABC中，sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c．由余弦定理，cosA=，a2﹣b2=bc，可得cosA===﹣，由0＜A＜π，可得A=．故选C．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．6.如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A以D为原点，DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则D(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，B(2，2)∵E为BC的中点，∴，∴直线AE的方程为，直线BF的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.7.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则(

)A．B2

D．1

参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．L4A

解析：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．【思路点拨】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．8.函数定义在实数集上有，且当时，，则有A．

B．C．

D．参考答案：B略9.函数在的图像大致为（

）参考答案：C10.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于(

)（A） （B）

（C） （D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，于D，三边分别是a，b，c，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PAC的面积分别是，二面角、、的度数分别是，则S=

．参考答案：S1cosα+S2cosβ+S3cosγ由已知在平面几何中，在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b?cosC+c?cosb，我们可以类比这一性质，推理出：若四面体P﹣ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S1、S2、S3，二面角P﹣AB﹣C、P﹣BC﹣A、P﹣CA﹣B的度数依次为α、β、γ，则S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ．故答案为：S1cosα+S2cosβ+S3cosγ．

12.已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．参考答案：略13.数列是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=

.参考答案：114.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．参考答案：0.1【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．15.已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为

．参考答案：

16.曲线﹣y2=1（n＞1）的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1+PF2=2，则△PF1F2的面积为

．参考答案：1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式，然后分别求解，最后得出|PF1||PF2|=2，解出结果．【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|﹣|PF2|=2①|PF1|+|PF2|=2②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=﹣，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，则△PF1F2的面积为S=|PF1||PF2|==1，故答案为：117.已知点（2,3）在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为_____________.参考答案：2本题考查了双曲线离心率的求解策略，考查了双曲线中的基本量难度较小。由条件知半焦距，将点代入双曲线方程得①，又②，联立两式解得，解得离心率.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知圆和直线．(1)求证：对总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？参考答案：1）圆心C(0,1)，半径则圆心到直线l的距离（或此直线恒过一个定点，且这个定点在圆内。）2)19.已知向量，，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）先由条件得再利用向量的坐标公式计算代入得解；（2）先计算和的三角函数值，再由展开结合条件的三角函数可得解.【详解】（1），又，，，，（2），由（1）得，，又，，【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可.20.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．（Ⅰ）证明：b+c=2a；（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由题意知，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得，可化简为，由θ的范围可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，解得…∵，∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA，∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…∴sinC+sinB=2sinA，∴b+c=2a…（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，∴…=…==，…∵θ∈（0，π），∴，当且仅当，即时取最大值，SOACB的最大值为…21.如图，O为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．参考答案：（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根据焦距等于其长半轴长可求，故可得椭圆的方程.（2）设直线方程为，，【详解】解：（1）由题意可知：,，又，有，故椭圆的方程为：．（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.设（），联立直线方程和椭圆方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故点的纵坐标为3．【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个