2021-2022学年广东省汕头市潮阳城南中学高一数学理月考试题含解析

2021-2022学年广东省汕头市潮阳城南中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（4分）若三棱锥的三个侧面两两垂直，侧棱长为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A． π B． π C． 3π D． 2π参考答案：C考点： 球的体积和表面积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案．解答： 设三棱锥A﹣BCD中，面ABC、面ABD、面ACD两两互相垂直，AB=AC=AD=1，则AB、AC、AD两两互相垂直，以AB、AD、AC为长、宽、高，构造正方体如图所示，可得该正方体的外接球就是三棱锥A﹣BCD的外接球，设球半径为R，可得正方体的对角线长等于球直径2R，即2R==，解得R=，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴外接球的表面积是S=4πR2=4π×=3π．故选：C．点评： 本题给出特殊的三棱锥，求它的外接球的表面积．着重考查了多面体的外接球、长方体的对角线长公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．2.数列满足，则等于（

）A．98

B．-40

C．45

D．-20参考答案：C3.已知全集U=R，集合，，则等于

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．5.点P在直线上运动，，，则的最小值是（

）A. B. C.3 D.4参考答案：C∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（2，3），∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值|A′B|==3．故选：C．6.与不共线的三个点距离都相等的点的个数是（

）（A）1个 (B)2个 (C)3个 (D)无数多个参考答案：D7.偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x3；②对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．[﹣] C．[﹣2，] D．[﹣]参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥8f（|x|），从而有|x+t|3≥8|x|3，从而得到|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）2≥4x2，经整理便可得到3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（|x+t|）≥8f（|x|）；∴（|x+t|）3≥8（|x|）3；∴（|x+t|）3≥（2|x|）3；∴|x+t|≥2|x|；∴（x+t）2≥4x2；整理得，3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立；设g（x）=3x2﹣2tx﹣t2，g（t）=0；∴g（t+1）=3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0；解得t；∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣]．故选：A．【点评】考查偶函数的定义，y=x3的单调性，不等式的性质，并需熟悉二次函数的图象．8.数列{an}的前n项和Sn满足,则下列为等比数列的是(

)A. B. C. D.参考答案：A当时，由得，即；当时，由得，两式相减，得，即，则，又，所以数列是以3为首项、公比为3的等比数列；故选A.

9.设，则

(

)A

f(x)与g(x)都是奇函数

B

f(x)是奇函数，g(x)是偶函数

C

f(x)与g(x)都是偶函数

D

f(x)是偶函数，g(x)是奇函数参考答案：B10.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在[2013,2013]上的最大值与最小值之和为

______________．参考答案：略12.集合，则_____________参考答案：13.在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。参考答案：

解析：∶∶∶∶∶∶，令

14.已知函数，对于下列命题：①若，则；②若，则；③，则；④．其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．参考答案：①②略15.函数在上恒有||＞，则取值范围是________．参考答案：16.点（2，3，4）关于x轴的对称点的坐标为_____参考答案：17.在△ABC中，点D在线段BC上，且，，则△ABC面积的最大值为__________．参考答案：【分析】在、中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。【详解】设，所以,在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，，①在中，由余弦定理可知：，②,由①②可得，③因为④（当且仅当等号成立），把③代入④中得，面积.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式、基本不等式。解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.(1)怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

(2)如果左栏矩形ABCD要满足

（是常数，且）,怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形

广告面积最小.参考答案：(2)设BC=x

则当时，广告宽

高，可使广告面积最小当时，广告的高为140cm，宽为175时，可使广告面积最小。19.成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数。

参考答案：解析：设四数为，则即，当时，四数为当时，四数为20.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn、Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求Sn、Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．参考答案：（1），，；（2）147．试题分析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，通过分析可知数列是首项为、公比为的等比数列,数列是首项为、公差为的等差数列，由等比数列的前项和公式，等差数列的前项和公式即可求出;（2）通过分析、是关于的单调递增函数，故是关于的单调递增函数，要求满足的最小值应该是，此时应注意实际问题中取整的问题．试题解析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；1分数列是首项为、公差为的等差数列，2分所以数列的前项和，4分数列的前项和，6分所以经过年，该市更换的公交车总数；7分（2）因为、是关于的单调递增函数，9分因此是关于的单调递增函数，10分所以满足的最小值应该是，11分即，解得，12分又，所以的最小值为147．考点：1、等差数列、等比数列的定义的灵活应用；2、等差数列、等比数列的前项和公式；3、函数的单调性；4、求最值问题．21.（本小题满分22分）将m位性别相同的客人，按如下方法入住A1、A2、…、An共n个房间。首先，安排1位客人和余下的客人的入住房间A1；然后，从余下的客人中安排2位和再次余下的客人的入住房间A2；依此类推，第几号房间就安排几位客人和余下的客人的入住；这样，最后一间房间An正好安排最后余下的n位客人。试求客人的数目和客房的数目，以及每间客房入住客人的数目。

参考答案：解析：设安排完第k号客房Ak后还剩下ak位客人，则a0=m，an－1=n…(4分)

因为第k号客房Ak入住的客人数为，所以，即……(8分)

变形得．

这表明数列bk=ak+6k－36是等比数列，公比q=，

其中b0=a0－36=m－36，bn－l=an－l+6(n－1)－36=7n一42．

……(12分)代入通项公式得7n一42=，即………………(16分)由于m为正整数，并且与互质，故