第7合成运动a牵连平动

例（用绝对法求解）半径为r、偏心距为e

的圆形凸轮以匀角速度ω

绕定轴O转动，AB杆长l

，其A端置于凸轮上。图示位置AB水平，OA铅直，OC水平，求此瞬时AB杆角速度、角加速度。像这样的问题用绝对法求解较繁，尤其求特殊位置上的运动规律时。而用合成法可能很简单。第二篇运动学1第二篇运动学第7章点的合成运动汽车以速度

向前运动，人u研究人的运动。从车厢观察，v以速度

相对汽车向前运动，人的速度为u

，从地面观察，人的速度为v

＋u。本章为重点内容之一。本章和下章应特别注意概念的重要性（严格、准确掌握）。7.1

点的合成运动的有关概念例1

汽车内行走的人。2人（动点）地面（静系）汽车（动系）绝对运动相对运动牵连运动一点（动点）二系（动系、静系）三运动（绝对、相对、牵连）三种运动的“关系”：绝对运动＝牵连运动＋相对运动——运动合成与分解注意各种运动的主体，尤其注意牵连运动的概念。牵连点直接联系人绝对运动与相对运动的因素是座位，即在牵连运动中，直接影响点的运动的因素是：牵连点的运动。具体表示三种运动的量:绝对轨迹、绝对位移、绝对速度、绝对加速度相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度牵连轨迹、牵连位移、牵连速度、牵连加速度分析这一问题，有以下事实：点点刚体在任一瞬时，动系上与动点重合的点。针对牵连点的！OxyO¢x¢y¢第二篇运动学第7章点的合成运动3第二篇运动学第7章点的合成运动例2

汽车轮子上点的运动。4第二篇运动学第7章点的合成运动（绝对运动） （牵连运动）

＋

（相对运动）如果上述运动过程很短，如Δt，在此时间段内，绝对轨迹即OM，相对轨迹即M1M，牵连轨迹即OM1，如图。由此易得三种位移之关系：OM

=

OM1

+

M1M

va

=ve

+vr速度合成定理但加速度合成定理不易直接得到，需用矢量法(见后)。旋轮线运动OM复杂运动直线运动OM1简单运动＋

圆周运动M1M＋

简单运动5第二篇运动学第7章点的合成运动7.2

矢量的绝对导数和相对导数绝对导数dA

Δ

A

dx

dy

dz

=

lim

=

i

+

j

+

kdt

Δ

t

dt

dt

dtDt

fi

0相对导数~

~

~

~

~dt

dt

dt

dtdt

dtdt

dA

=

lim

ΔA

=

dx'

i

'+

dy'

j

'+

dz'

k

'

=

dx'

i

'+

dy'

j

'+

dz'

k

'Δt

fi

0

Δt二、动系平动时绝对导数和相对导数的关系

A

=

x'i

'+

y'

j

'+z'

k

'

A

=

xi

+

yj

+

zk

=

x'i

'+

y'

j

'+z'

k

'矢量一、定义静系中动系中

i

'、j

'、k

'当动系平动时，在动系和静系中均为常矢量。~dt

dtdt

dt

dtdy'

dz'

dA

dx'

j

'+

k

'+0

=

dA=

i

'+动系平动时：矢量的绝对导数=相对导数~~~dt

dt

dt

dt

dt

dtdz'

=

dz'dy'

=

dy'

,dx'

=

dx'

,这里，标量变量对时间导数与坐标系无关。①标量函数对时间的导数与坐标系选取有关吗？②矢量函数对时间的导数与坐标系选取有关吗？AzxyOzyO¢x二者相等？6第二篇运动学第7章点的合成运动三、动系转动时绝对导数和相对导数的关系

当动系转动时，i

'、j

'、k

'在动系中为常矢量，但在静系中不再为常矢量。

dt=

dA

+

w

·

A~dt=

dA

+

x'(w

·

i

')

+

y'(w

·

j

')

+

z'(w

·

k

')~dt

dt

dtdt

dt

dt

dtdA

=

dx'

i

'+

dy'

j

'+

dz'

k

'

+

x'

di

'

+

y'

dj

'

+

z'

dk

'

泊松公式w

为动系转动角速度矢量=

w

·

bdtdb7.3

牵连运动为平动时速度、加速度合成定理动点M，静系Oxyz，动系O'x'y'z'。dt

2dt静系中，vaa

2

=

dva

=

d

r=

dr

，adt

2dtdtrrdt~

~2

~=

d

r

'

=

dvr

=

dr

'，a动系中，v当牵连运动为平动时，dt

2d2

rdtdtO'eO'O'e

dv

dr=

O'

,=

O'=

av

=

v

=，arrdt

dtdv

dvdt

dtdr

' dr

'~~

=

r

=

r

=

,

av

=速度合成定理在前面已经得到，这里再系统推一下。7第二篇运动学第7章点的合成运动一、速度合成定理O'

r

=

r

+

r

'aa

ae

ar

=

+

vdta

O'

+

dr

'=

vdvr

~

dvO'+dt

dtaa

=dt

dt

dt

dr

=

drO'

+

dr

'求导

va

=

ve

+

vr~

上页公式二、加速度合成定理

va

=

ve

+

vrdt

dt

dtdva

=

dve

+

dvr求导r

=

a

+

aa

O'a上页公式速度合成定理加速度合成定理解题步骤：（一）选动点、动系（及静系——可默认为地面）；（二）分析动点的各种运动，画运动图（速度、加速度图）；（三）求解。讨论：上面两个矢量式即牵连运动为平动时，点运动合成法的基本方程。在平面问题中，两个定理各能解几个未知量？为何种量？注：速度图总为平行四边形，故一般借助几何关系求解（几何法）。事实上，与动系运动形式无关。8例1：例7-1(老书例8-1)（求速度）凸轮顶杆机构。已知凸轮偏心距OC

=e，半求AB的速度。径r

=3e,匀角速度w

0

。当OC与CA垂直时，先考虑用绝对法如何求？第二篇运动学第7章点的合成运动分析：运动机构的目的是传递运动和将运动状态改变。在用合成法求解问题时，动点一般选在两物体

接触的部位（具体如何选后面将逐步讨论），而且总选特殊点。先考虑用合成法求解。9第二篇运动学第7章点的合成运动vavevr首先看清机构如何构成，各物体作何种运动，已知和待求量。欲求AB速度，因其作平动，故只求其上一点的速度即可，而AB上A点在二物体的接触部位，故试选AB上A点为动点；在选动点的同时，应选动系，动系一般选在另外的刚体上，显然选凸轮；静系选地面。这种选法是否可行，要作进一步分析。分析三种运动和三种轨迹，若较简单和易分析，则可行。绝对运动：沿AB的直线运动；相对运动：沿凸轮边缘的圆周运动；牵连运动：绕O点的

定轴转动。故均较简单。三种轨迹也易知。试画速度图（注：一定为平行四边形），已知ve，故可求va。10第二篇运动学第7章点的合成运动解：选AB上A点为动点，凸轮为动系，画速度图。由条件易知：j

=30ve

=

OA

w

0

=

2ew

0302eweav

=

v

tanj

=由速度图，即AB杆速度。注1：在能清楚表达的前提下，可在原图上画运动图。vavevr注2：在能清楚表达的前提下，一般不用画出坐标系，但必须说明动系、静系是如何选的。11第二篇运动学第7章点的合成运动例2：(老书例8-3)（求速度）图示机构，半圆凸轮半径为R，速度为v，已知θ。求AB杆的角速度。分析：机构运动情况：凸轮平动，杆转动。。动点在二物体接触部位选，事实上有三种选法：①凸轮上C点；②杆上C点；③接触的几何点（设想有一小环套在凸轮边缘和杆上）。若动点选前两种，相对轨迹均未知，故否决掉。若选③，绝对运动又未知。没有办法了吗？考虑其他点。显然凸轮圆心O是一个特殊点，试试看。动系如何选？显然选杆此时，绝对运动：沿水平直线运动；相对运动：与AB平行的直线运动；牵连运动：转动。三种轨迹易知，故可解牵连速度，AB角速度即知。R12vavevrv第二篇运动学第7章点的合成运动解：动点O，动系AB，（静系地面），画速度图。va

=v

。由速度图，ve

=

va

tanq

=

v

tanqywsin

qRROAAB=

v

tan

q

=

v

sin

q

tan

q=

ve讨论：①由上面解法得到启示，例2-1也可选C点为动点，同学试解；②事实上，本题选凸轮与杆的接触点(几何点)为动点也可解，同学试解。13第二篇运动学第7章点的合成运动例3：例7-4(老书例8-4)（求加速度）平行四连杆机构（双曲柄机构）。AB

=CD

=r，BC

=AD=l，j，w，e。求小环M的加速度。分析：（易分析，略）aa14araetae

naB

naBtwaaarae

naB

nt

taB

aew第二篇运动学第7章点的合成运动解：动点小环M，动系BC杆，画加速度图。牵连加速度与B点相同：at

=

at

=

re,e

Ban

=